đáp án và cách giải

Câu 1. Để rút gọn biểu thức \( P = x^3 \sqrt{x} \) với \( x > 0 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định: - Biểu thức \( \sqrt{x} \) có nghĩa khi \( x \geq 0 \). Tuy nhiên, theo đề bài, \( x > 0 \). 2. Biểu diễn căn bậc hai dưới dạng lũy thừa: - Ta biết rằng \( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \). 3. Thay vào biểu thức: - Thay \( \sqrt{x} \) bằng \( x^{\frac{1}{2}} \) trong biểu thức \( P \): \[ P = x^3 \cdot x^{\frac{1}{2}} \] 4. Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: - Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta cộng các指数： \[ P = x^{3 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{6}{2} + \frac{1}{2}} = x^{\frac{7}{2}} \] 因此，简化后的表达式为 \( P = x^{\frac{7}{2}} \)。 答案是：\( D.~P = x^{\frac{7}{2}} \)。 Câu 2. Để tìm tập xác định của hàm số $y = \log_3(4x - x^2)$, ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit dương, tức là: \[ 4x - x^2 > 0 \] Bước 1: Giải bất phương trình \( 4x - x^2 > 0 \). Ta viết lại bất phương trình dưới dạng: \[ x(4 - x) > 0 \] Bước 2: Tìm các điểm làm thay đổi dấu của bất phương trình. Phương trình \( x(4 - x) = 0 \) có hai nghiệm là \( x = 0 \) và \( x = 4 \). Bước 3: Xác định các khoảng để kiểm tra dấu của bất phương trình. Ta xét các khoảng: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 4) \), và \( (4, +\infty) \). - Trong khoảng \( (-\infty, 0) \), chọn \( x = -1 \): \[ (-1)(4 - (-1)) = (-1)(5) < 0 \] - Trong khoảng \( (0, 4) \), chọn \( x = 2 \): \[ (2)(4 - 2) = (2)(2) > 0 \] - Trong khoảng \( (4, +\infty) \), chọn \( x = 5 \): \[ (5)(4 - 5) = (5)(-1) < 0 \] Bước 4: Kết luận tập xác định. Từ các kết quả trên, ta thấy rằng \( x(4 - x) > 0 \) chỉ đúng trong khoảng \( (0, 4) \). Vậy tập xác định của hàm số \( y = \log_3(4x - x^2) \) là: \[ D = (0, 4) \] Đáp án đúng là: \( A.~D = (0, 4) \). Câu 3. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', các cạnh AB, BC, CD, DA đều vuông góc với nhau và có độ dài bằng nhau. Ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng BA và CD. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của hình lập phương và các đường thẳng vuông góc. - Đường thẳng BA nằm trên mặt phẳng ABCD và vuông góc với đường thẳng AD. - Đường thẳng CD cũng nằm trên mặt phẳng ABCD và vuông góc với đường thẳng AD. Do đó, ta có thể suy ra rằng đường thẳng BA và đường thẳng CD nằm trên cùng một mặt phẳng và vuông góc với nhau. Vậy góc giữa hai đường thẳng BA và CD là 90°. Đáp án đúng là: D. 90°. Câu 4. Để tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định trực tâm: Vì tam giác ABC đều nên trọng tâm G cũng là trực tâm của tam giác này. Ta có \( G \) là giao điểm của các đường cao hạ từ mỗi đỉnh của tam giác ABC. 2. Tính khoảng cách từ S đến (ABC): Vì \( St \perp (ABC) \) và \( t \) là trung điểm của \( BC \), ta có: \[ St = a \] 3. Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng SG: Vì \( G \) là trọng tâm của tam giác đều ABC, ta có: \[ CG = \frac{2}{3} \times \text{đường cao của tam giác ABC} \] Đường cao của tam giác đều cạnh \( a \) là: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2}a \] Do đó: \[ CG = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a \] 4. Tính khoảng cách từ S đến C: Ta sử dụng Pythagoras trong tam giác vuông \( SGC \): \[ SC = \sqrt{SG^2 + GC^2} \] Biết rằng \( SG = St = a \) và \( GC = \frac{\sqrt{3}}{3}a \), ta có: \[ SC = \sqrt{a^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{3}{9}a^2} = \sqrt{a^2 + \frac{1}{3}a^2} = \sqrt{\frac{4}{3}a^2} = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3} \] 5. Tính góc giữa SC và (ABC): Gọi góc giữa SC và (ABC) là \( \theta \). Ta có: \[ \sin \theta = \frac{St}{SC} = \frac{a}{\frac{2a\sqrt{3}}{3}} = \frac{3a}{2a\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Do đó: \[ \theta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là \( 60^\circ \). Đáp án đúng là: \( A.~60^0 \) Câu 5. Để tính góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ACCA'), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng (ABCD) và (ACCA') có giao tuyến là đường thẳng AC. 2. Chọn một đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến AC: - Chọn đường thẳng BD nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AC. - Chọn đường thẳng A'C' nằm trong mặt phẳng (ACCA') và vuông góc với AC. 3. Tính góc giữa hai đường thẳng BD và A'C': - Vì ABCD là hình lập phương, nên các cạnh đều bằng nhau và các góc đều là 90°. - Ta có BD là đường chéo của mặt đáy hình lập phương, do đó BD = a√2 (với a là độ dài cạnh của hình lập phương). - A'C' cũng là đường chéo của mặt đáy hình lập phương, do đó A'C' = a√2. 4. Xác định góc giữa BD và A'C': - Góc giữa BD và A'C' chính là góc giữa hai đường chéo của hai mặt đáy của hình lập phương. - Ta biết rằng trong hình lập phương, góc giữa hai đường chéo của hai mặt đáy là 90°. 5. Kết luận: - Góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ACCA') là góc giữa hai đường thẳng BD và A'C', tức là 90°. Vậy đáp án đúng là: \[ D.~90^0. \] Câu 6. Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và cạnh bên S4 vuông góc với đáy. Điều này có nghĩa là S4 là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) đã cho là $\frac{6a}{7}$. Ta cần tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD). Do đáy ABCD là hình bình hành, nên các điểm A và C đối xứng qua tâm O của hình bình hành. Mặt khác, vì S4 vuông góc với đáy, nên khoảng cách từ A đến (SBD) sẽ bằng khoảng cách từ C đến (SBD). Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) cũng là $\frac{6a}{7}$. Đáp án đúng là: D. $\frac{6a}{7}$. Câu 7. Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta có thể sử dụng công thức tính thể tích của khối chóp: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] Trong trường hợp này, ta có thể coi tam giác ABC là đáy và AD là chiều cao của khối chóp. Bước 1: Tính diện tích đáy (tam giác ABC). Tam giác ABC là tam giác vuông tại A với AB = AC = 2a. Diện tích của tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 2a \times 2a = 2a^2 \] Bước 2: Tính thể tích của khối chóp. Chiều cao của khối chóp là AD = 3a. Vậy thể tích V của khối chóp ABCD là: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times AD = \frac{1}{3} \times 2a^2 \times 3a = 2a^3 \] Vậy thể tích của khối tứ diện ABCD là: \[ V = 2a^3 \] Đáp án đúng là: C. \( V = 2a^3 \)