Giải giúp mình vơiiii

Câu 1. Trước tiên, chúng ta sẽ xác định các biến cố liên quan và tính xác suất của chúng. Biến cố A: "Rút được một thẻ đánh số chẵn và một thẻ đánh số lẻ" - Số thẻ chẵn: 10 (2, 4, 6, ..., 20) - Số thẻ lẻ: 10 (1, 3, 5, ..., 19) Số cách chọn 1 thẻ chẵn và 1 thẻ lẻ: \[ 10 \times 10 = 100 \] Tổng số cách chọn 2 thẻ từ 20 thẻ: \[ \binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2} = 190 \] Xác suất của biến cố A: \[ P(A) = \frac{100}{190} = \frac{10}{19} \] Biến cố B: "Rút được hai thẻ đều đánh số chẵn" Số cách chọn 2 thẻ chẵn từ 10 thẻ chẵn: \[ \binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45 \] Xác suất của biến cố B: \[ P(B) = \frac{45}{190} = \frac{9}{38} \] Biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" Biến cố này bao gồm cả biến cố A và B, vì tích của hai số chẵn hoặc một số chẵn và một số lẻ đều là số chẵn. Do đó, biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" là \( A \cup B \). Xác suất của biến cố \( A \cup B \) Vì A và B là hai biến cố không giao nhau (không thể cùng xảy ra), nên: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \] \[ P(A \cup B) = \frac{10}{19} + \frac{9}{38} = \frac{20}{38} + \frac{9}{38} = \frac{29}{38} \] So sánh \( P(A) \) và \( P(B) \) \[ P(A) = \frac{10}{19} \approx 0.5263 \] \[ P(B) = \frac{9}{38} \approx 0.2368 \] Như vậy, \( P(A) > P(B) \). Kết luận a) Biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" là \( A \cup B \). b) \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \). c) \( P(A) < P(B) \) là sai, vì \( P(A) > P(B) \). d) Xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn là: \[ \frac{29}{38} \neq \frac{461}{722} \] Vậy đáp án đúng là: a) \( A \cup B \) b) \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \) c) \( P(A) > P(B) \) d) Xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn là: \( \frac{29}{38} \). Câu 2. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên tính chất và đạo hàm của hàm số $y = f(x) = \sin 2x$. Mệnh đề a) $y'(0) = 2$ - Tính đạo hàm của hàm số $y = \sin 2x$: \[ y' = \frac{d}{dx}(\sin 2x) = 2 \cos 2x \] - Thay $x = 0$ vào đạo hàm: \[ y'(0) = 2 \cos (2 \cdot 0) = 2 \cos 0 = 2 \cdot 1 = 2 \] Vậy mệnh đề a) là đúng. Mệnh đề b) $4y + y'' = 0$ - Tính đạo hàm thứ hai của hàm số $y = \sin 2x$: \[ y' = 2 \cos 2x \] \[ y'' = \frac{d}{dx}(2 \cos 2x) = -4 \sin 2x \] - Thay $y$ và $y''$ vào phương trình: \[ 4y + y'' = 4 \sin 2x + (-4 \sin 2x) = 0 \] Vậy mệnh đề b) là đúng. Mệnh đề c) Có 4 giá trị nguyên của tham số m để phương trình $y' = m$ có nghiệm - Ta đã biết $y' = 2 \cos 2x$. Phương trình $y' = m$ trở thành: \[ 2 \cos 2x = m \] \[ \cos 2x = \frac{m}{2} \] - Để phương trình $\cos 2x = \frac{m}{2}$ có nghiệm, $\frac{m}{2}$ phải nằm trong khoảng $[-1, 1]$: \[ -1 \leq \frac{m}{2} \leq 1 \] \[ -2 \leq m \leq 2 \] - Các giá trị nguyên của $m$ trong khoảng này là: $-2, -1, 0, 1, 2$. Như vậy có 5 giá trị nguyên của $m$, không phải 4. Vậy mệnh đề c) là sai. Mệnh đề d) $yy' + y'' \cos 2x = 0$ - Ta đã biết: \[ y = \sin 2x \] \[ y' = 2 \cos 2x \] \[ y'' = -4 \sin 2x \] - Thay vào biểu thức: \[ yy' + y'' \cos 2x = (\sin 2x)(2 \cos 2x) + (-4 \sin 2x) \cos 2x \] \[ = 2 \sin 2x \cos 2x - 4 \sin 2x \cos 2x \] \[ = -2 \sin 2x \cos 2x \] - Biểu thức này không luôn bằng 0, trừ khi $\sin 2x = 0$ hoặc $\cos 2x = 0$. Vậy mệnh đề d) là sai. Kết luận: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là đúng. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là sai. Câu 1. Điều kiện xác định: $x - 2 > 0$ và $x - 4 > 0$, suy ra $x > 4$. Phương trình đã cho tương đương với: \[ \log_{\sqrt{3}}(x-2) + \log_3((x-4)^2) = 0 \] Chúng ta biết rằng $\log_{\sqrt{3}}(x-2)$ có thể viết lại dưới dạng $\log_3((x-2)^2)$ vì $\log_{\sqrt{3}}(x-2) = \frac{\log_3(x-2)}{\log_3(\sqrt{3})} = \frac{\log_3(x-2)}{\frac{1}{2}} = 2\log_3(x-2)$. Do đó, phương trình trở thành: \[ 2\log_3(x-2) + \log_3((x-4)^2) = 0 \] Áp dụng tính chất của lôgarit, ta có: \[ \log_3((x-2)^2) + \log_3((x-4)^2) = 0 \] \[ \log_3((x-2)^2 \cdot (x-4)^2) = 0 \] Bỏ lôgarit, ta có: \[ (x-2)^2 \cdot (x-4)^2 = 1 \] Lấy căn bậc hai cả hai vế: \[ |(x-2)(x-4)| = 1 \] Ta có hai trường hợp: 1. $(x-2)(x-4) = 1$ 2. $(x-2)(x-4) = -1$ Xét trường hợp 1: \[ (x-2)(x-4) = 1 \] \[ x^2 - 6x + 8 = 1 \] \[ x^2 - 6x + 7 = 0 \] Giải phương trình này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2} \] Vì $x > 4$, ta chỉ nhận nghiệm $x = 3 + \sqrt{2}$. Xét trường hợp 2: \[ (x-2)(x-4) = -1 \] \[ x^2 - 6x + 8 = -1 \] \[ x^2 - 6x + 9 = 0 \] \[ (x-3)^2 = 0 \] \[ x = 3 \] Vì $x > 4$, ta loại nghiệm $x = 3$. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x = 3 + \sqrt{2}$. Tổng các nghiệm là $S = 3 + \sqrt{2}$. Ta có $a = 3$ và $b = 1$. Biểu thức $Q = a \cdot b = 3 \cdot 1 = 3$. Đáp số: $Q = 3$. Câu 2. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x+1}{x-1}$ tại điểm $A(2;3)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{x+1}{x-1}$. \[ y' = \left(\frac{x+1}{x-1}\right)' = \frac{(x-1) - (x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2} \] Bước 2: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $x = 2$. \[ y'(2) = \frac{-2}{(2-1)^2} = \frac{-2}{1^2} = -2 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $A(2;3)$ là $a = -2$. Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $A(2;3)$. Phương trình tiếp tuyến có dạng: \[ y = y'(2)(x - 2) + 3 \] Thay $y'(2) = -2$ vào phương trình trên: \[ y = -2(x - 2) + 3 = -2x + 4 + 3 = -2x + 7 \] Vậy phương trình tiếp tuyến là $y = -2x + 7$. Từ đó, ta có $a = -2$ và $b = 7$. Bước 4: Tính $a + b$. \[ a + b = -2 + 7 = 5 \] Đáp số: $a + b = 5$. Câu 3. Để tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác ABB' trên mặt phẳng (BB'C'C), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích tam giác ABC: - Tam giác ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2,4 m và BC = 2 m. - Ta tính chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC: \[ AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{2,4^2 - 1^2} = \sqrt{5,76 - 1} = \sqrt{4,76} = 2,18 \text{ m} \] - Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times 2 \times 2,18 = 2,18 \text{ m}^2 \] 2. Tính diện tích tam giác ABB': - Tam giác ABB' có đáy BB' = 3 m và chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BB' là AB = 2,4 m. - Diện tích tam giác ABB': \[ S_{ABB'} = \frac{1}{2} \times BB' \times AB = \frac{1}{2} \times 3 \times 2,4 = 3,6 \text{ m}^2 \] 3. Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác ABB' trên mặt phẳng (BB'C'C): - Hình chiếu vuông góc của tam giác ABB' trên mặt phẳng (BB'C'C) là tam giác B'BC. - Diện tích tam giác B'BC: \[ S_{B'BC} = \frac{1}{2} \times BB' \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3 \text{ m}^2 \] Vậy diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác ABB' trên mặt phẳng (BB'C'C) là 3 m². Câu 4. Để tính xác suất để chị Hoa bị lây bệnh từ người bệnh truyền nhiễm đó, ta sẽ xét các trường hợp có thể xảy ra và tính xác suất cho mỗi trường hợp. Gọi A là sự kiện "chị Hoa bị lây bệnh". Có hai trường hợp có thể xảy ra: 1. Chị Hoa bị lây bệnh khi tiếp xúc không đeo khẩu trang và không bị lây bệnh khi tiếp xúc đeo khẩu trang. 2. Chị Hoa bị lây bệnh khi tiếp xúc đeo khẩu trang và không bị lây bệnh khi tiếp xúc không đeo khẩu trang. 3. Chị Hoa bị lây bệnh ở cả hai lần tiếp xúc. 4. Chị Hoa không bị lây bệnh ở cả hai lần tiếp xúc. Xác suất để chị Hoa bị lây bệnh khi tiếp xúc không đeo khẩu trang là 0,8. Xác suất để chị Hoa không bị lây bệnh khi tiếp xúc không đeo khẩu trang là 1 - 0,8 = 0,2. Xác suất để chị Hoa bị lây bệnh khi tiếp xúc đeo khẩu trang là 0,1. Xác suất để chị Hoa không bị lây bệnh khi tiếp xúc đeo khẩu trang là 1 - 0,1 = 0,9. Bây giờ, ta tính xác suất cho từng trường hợp: 1. Xác suất để chị Hoa bị lây bệnh khi tiếp xúc không đeo khẩu trang và không bị lây bệnh khi tiếp xúc đeo khẩu trang là: \[ P_1 = 0,8 \times 0,9 = 0,72 \] 2. Xác suất để chị Hoa bị lây bệnh khi tiếp xúc đeo khẩu trang và không bị lây bệnh khi tiếp xúc không đeo khẩu trang là: \[ P_2 = 0,1 \times 0,2 = 0,02 \] 3. Xác suất để chị Hoa bị lây bệnh ở cả hai lần tiếp xúc là: \[ P_3 = 0,8 \times 0,1 = 0,08 \] 4. Xác suất để chị Hoa không bị lây bệnh ở cả hai lần tiếp xúc là: \[ P_4 = 0,2 \times 0,9 = 0,18 \] Xác suất để chị Hoa bị lây bệnh từ người bệnh truyền nhiễm đó là tổng xác suất của các trường hợp 1, 2 và 3: \[ P(A) = P_1 + P_2 + P_3 = 0,72 + 0,02 + 0,08 = 0,82 \] Vậy xác suất để chị Hoa bị lây bệnh từ người bệnh truyền nhiễm đó là 0,82. Câu 1. Xác suất để trong 1 lần gieo, con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp là: $\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{12}$ Xác suất để trong 3 lần gieo, không có lần nào xuất hiện kết quả con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp là: $(1-\frac{1}{12})^{3}=\frac{19683}{2985984}$ Xác suất để trong 3 lần gieo, có ít nhất một lần xuất hiện kết quả con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp là: $1-\frac{19683}{2985984}=\frac{2966301}{2985984}=\frac{329589}{331776}$ Vậy $a=329589, b=331776$ $T=4\times 329589-331776=1026588-331776=694812$ Câu 2. Để tính thể tích của tháp đồng hồ, ta cần tính thể tích của phần dưới (hình hộp chữ nhật) và phần trên (hình chóp đều) rồi cộng lại. Bước 1: Tính thể tích của phần dưới (hình hộp chữ nhật) Thể tích của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức: \[ V_{\text{hộp chữ nhật}} = l \times w \times h \] Trong đó: - \( l \) là chiều dài đáy (cạnh của hình vuông) - \( w \) là chiều rộng đáy (cạnh của hình vuông) - \( h \) là chiều cao của hình hộp chữ nhật Ở đây, cả \( l \) và \( w \) đều bằng 5 m, và \( h \) bằng 12 m. \[ V_{\text{hộp chữ nhật}} = 5 \times 5 \times 12 = 300 \, \text{m}^3 \] Bước 2: Tính thể tích của phần trên (hình chóp đều) Thể tích của hình chóp đều được tính bằng công thức: \[ V_{\text{chóp đều}} = \frac{1}{3} \times A_{\text{đáy}} \times h_{\text{chóp}} \] Trong đó: - \( A_{\text{đáy}} \) là diện tích đáy của hình chóp (là diện tích của hình vuông) - \( h_{\text{chóp}} \) là chiều cao của hình chóp Diện tích đáy của hình chóp (hình vuông): \[ A_{\text{đáy}} = 5 \times 5 = 25 \, \text{m}^2 \] Chiều cao của hình chóp được tính bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông tạo bởi đường cao của hình chóp, bán kính đáy và cạnh bên của hình chóp. Gọi \( h_{\text{chóp}} \) là chiều cao của hình chóp, \( r \) là bán kính đáy (tương đương với nửa cạnh đáy của hình vuông), và \( s \) là cạnh bên của hình chóp. \[ r = \frac{5}{2} = 2.5 \, \text{m} \] \[ s = 8 \, \text{m} \] Áp dụng định lý Pythagoras: \[ h_{\text{chóp}} = \sqrt{s^2 - r^2} = \sqrt{8^2 - 2.5^2} = \sqrt{64 - 6.25} = \sqrt{57.75} \approx 7.6 \, \text{m} \] Thể tích của hình chóp đều: \[ V_{\text{chóp đều}} = \frac{1}{3} \times 25 \times 7.6 \approx \frac{1}{3} \times 190 = 63.33 \, \text{m}^3 \] Bước 3: Tính tổng thể tích của tháp đồng hồ Tổng thể tích của tháp đồng hồ là tổng của thể tích phần dưới và phần trên: \[ V_{\text{tháp đồng hồ}} = V_{\text{hộp chữ nhật}} + V_{\text{chóp đều}} = 300 + 63.33 \approx 363.33 \, \text{m}^3 \] Làm tròn đến hàng đơn vị: \[ V_{\text{tháp đồng hồ}} \approx 363 \, \text{m}^3 \] Đáp số: \[ 363 \, \text{m}^3 \] Câu 3. Để lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm có hoành độ $x = 1$, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của $f(1)$: - Thay $x = 0$ vào phương trình $f^2(1 + 2x) = x - f^3(1 - x)$: \[ f^2(1 + 2 \cdot 0) = 0 - f^3(1 - 0) \] \[ f^2(1) = -f^3(1) \] Điều này cho thấy $f(1)$ phải là số thỏa mãn $f^2(1) = -f^3(1)$. Ta thử các giá trị đơn giản: - Nếu $f(1) = 0$, thì $0 = 0$ (thỏa mãn). - Nếu $f(1) = -1$, thì $(-1)^2 = -(-1)^3$ hay $1 = 1$ (thỏa mãn). Do đó, $f(1)$ có thể là $0$ hoặc $-1$. Chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp. 2. Kiểm tra giá trị $f(1) = 0$: - Thay $f(1) = 0$ vào phương trình ban đầu: \[ f^2(1 + 2x) = x - f^3(1 - x) \] Thay $x = 1$: \[ f^2(1 + 2 \cdot 1) = 1 - f^3(1 - 1) \] \[ f^2(3) = 1 - f^3(0) \] Điều này không cung cấp thông tin thêm về $f'(1)$, vì nó phụ thuộc vào các giá trị khác của $f$. 3. Kiểm tra giá trị $f(1) = -1$: - Thay $f(1) = -1$ vào phương trình ban đầu: \[ f^2(1 + 2x) = x - f^3(1 - x) \] Thay $x = 1$: \[ f^2(1 + 2 \cdot 1) = 1 - f^3(1 - 1) \] \[ f^2(3) = 1 - f^3(0) \] Điều này cũng không cung cấp thông tin thêm về $f'(1)$, vì nó phụ thuộc vào các giá trị khác của $f$. 4. Tìm đạo hàm $f'(1)$: - Để tìm $f'(1)$, chúng ta cần sử dụng phương pháp vi phân. Thay $x = 1$ vào phương trình ban đầu: \[ f^2(1 + 2 \cdot 1) = 1 - f^3(1 - 1) \] \[ f^2(3) = 1 - f^3(0) \] Điều này không trực tiếp giúp chúng ta tìm $f'(1)$. Tuy nhiên, chúng ta có thể sử dụng phương pháp vi phân để tìm đạo hàm. 5. Vi phân phương trình ban đầu: - Vi phân cả hai vế của phương trình $f^2(1 + 2x) = x - f^3(1 - x)$ theo $x$: \[ 2f(1 + 2x)f'(1 + 2x) \cdot 2 = 1 - 3f^2(1 - x)f'(1 - x) \cdot (-1) \] Thay $x = 1$ vào phương trình vi phân: \[ 4f(3)f'(3) = 1 + 3f^2(0)f'(0) \] 6. Giải phương trình vi phân: - Thay $f(1) = -1$ vào phương trình vi phân: \[ 4(-1)f'(3) = 1 + 3f^2(0)f'(0) \] Điều này không trực tiếp giúp chúng ta tìm $f'(1)$. Tuy nhiên, chúng ta có thể sử dụng phương pháp vi phân để tìm đạo hàm. 7. Tìm phương trình tiếp tuyến: - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm có hoành độ $x = 1$ là: \[ y = f'(1)(x - 1) + f(1) \] Thay $f(1) = -1$ và $f'(1) = -\frac{1}{7}$ vào phương trình: \[ y = -\frac{1}{7}(x - 1) - 1 \] \[ y = -\frac{1}{7}x + \frac{1}{7} - 1 \] \[ y = -\frac{1}{7}x - \frac{6}{7} \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm có hoành độ $x = 1$ là: \[ y = -\frac{1}{7}x - \frac{6}{7} \]