giải chi tiết

Câu 3. a) Với $m=7,$ phương trình (1) trở thành: \[ x^2 - 7x + 6 = 0 \] Ta giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó, \( a = 1 \), \( b = -7 \), và \( c = 6 \). Tính delta: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25 \] Vậy các nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{7 + 5}{2} = 6 \] \[ x_2 = \frac{7 - 5}{2} = 1 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 6 \) hoặc \( x = 1 \). b) Để phương trình \( x^2 - 7x + m - 1 = 0 \) có hai nghiệm dương phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \), ta cần: 1. \( \Delta > 0 \) 2. \( S > 0 \) 3. \( P > 0 \) Trong đó: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 1) = 49 - 4(m - 1) = 53 - 4m \] \[ S = x_1 + x_2 = 7 \] \[ P = x_1 \cdot x_2 = m - 1 \] Yêu cầu \( \Delta > 0 \): \[ 53 - 4m > 0 \] \[ 4m < 53 \] \[ m < \frac{53}{4} \] Yêu cầu \( P > 0 \): \[ m - 1 > 0 \] \[ m > 1 \] Vậy \( 1 < m < \frac{53}{4} \). Tiếp theo, ta cần thỏa mãn điều kiện: \[ \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2^2 - 6x_2 + m - 1} = 3 \] Vì \( x_2^2 - 6x_2 + m - 1 = 0 \) (do \( x_2 \) là nghiệm của phương trình ban đầu), ta có: \[ \sqrt{x_1} + \sqrt{0} = 3 \] \[ \sqrt{x_1} = 3 \] \[ x_1 = 9 \] Thay \( x_1 = 9 \) vào phương trình ban đầu: \[ 9^2 - 7 \cdot 9 + m - 1 = 0 \] \[ 81 - 63 + m - 1 = 0 \] \[ 17 + m = 0 \] \[ m = -17 \] Tuy nhiên, \( m = -17 \) không thỏa mãn điều kiện \( 1 < m < \frac{53}{4} \). Do đó, không có giá trị nào của \( m \) thỏa mãn tất cả các điều kiện đã nêu. Kết luận: a) Nghiệm của phương trình khi \( m = 7 \) là \( x = 6 \) hoặc \( x = 1 \). b) Không có giá trị nào của \( m \) thỏa mãn tất cả các điều kiện đã nêu.