làm cho mình câu 1 với

Câu 1. Để xác định hàm số đồng biến trên tập xác định của nó, chúng ta cần kiểm tra tính chất của từng hàm số đã cho. A. \( y = \log_{0,9} x \) - Hàm số \( y = \log_{a} x \) đồng biến nếu \( a > 1 \) và nghịch biến nếu \( 0 < a < 1 \). - Vì \( 0,9 < 1 \), nên hàm số \( y = \log_{0,9} x \) nghịch biến trên tập xác định của nó. B. \( y = \left( \frac{1}{3} \right)^x \) - Hàm số \( y = a^x \) đồng biến nếu \( a > 1 \) và nghịch biến nếu \( 0 < a < 1 \). - Vì \( \frac{1}{3} < 1 \), nên hàm số \( y = \left( \frac{1}{3} \right)^x \) nghịch biến trên tập xác định của nó. C. \( y = \log_2 x \) - Hàm số \( y = \log_{a} x \) đồng biến nếu \( a > 1 \) và nghịch biến nếu \( 0 < a < 1 \). - Vì \( 2 > 1 \), nên hàm số \( y = \log_2 x \) đồng biến trên tập xác định của nó. D. \( y = \left( \frac{2}{e} \right)^x \) - Hàm số \( y = a^x \) đồng biến nếu \( a > 1 \) và nghịch biến nếu \( 0 < a < 1 \). - Vì \( e \approx 2,718 \), nên \( \frac{2}{e} < 1 \). Do đó, hàm số \( y = \left( \frac{2}{e} \right)^x \) nghịch biến trên tập xác định của nó. Từ các phân tích trên, chỉ có hàm số \( y = \log_2 x \) là đồng biến trên tập xác định của nó. Đáp án đúng là: C. \( y = \log_2 x \) Câu 2. Để giải bất phương trình $(\frac{1}{5})^x \leq 125$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Viết lại 125 dưới dạng lũy thừa cơ sở 5: \[ 125 = 5^3 \] 2. Viết lại bất phương trình: \[ (\frac{1}{5})^x \leq 5^3 \] 3. Chuyển đổi cơ sở của lũy thừa trái sang cơ sở 5: \[ (\frac{1}{5})^x = (5^{-1})^x = 5^{-x} \] Vậy bất phương trình trở thành: \[ 5^{-x} \leq 5^3 \] 4. So sánh các lũy thừa cùng cơ sở: Vì cơ sở là 5 (số dương lớn hơn 1), nên ta có thể so sánh các mũ: \[ -x \leq 3 \] 5. Giải bất phương trình về x: \[ x \geq -3 \] 6. Kết luận tập nghiệm: Tập nghiệm của bất phương trình là: \[ S = [-3; +\infty) \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~S = [-3; +\infty) \] Câu 3. Để giải phương trình $\log_2x = \log_2x^2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với phương trình $\log_2x = \log_2x^2$, ta cần đảm bảo rằng các biểu thức trong logarit đều dương. - Điều kiện là: $x > 0$ và $x^2 > 0$. Điều kiện thứ hai luôn đúng khi $x > 0$, nên ĐKXĐ là $x > 0$. 2. Giải phương trình: - Ta có phương trình $\log_2x = \log_2x^2$. - Vì hai logarit có cùng cơ số, ta có thể loại bỏ cơ số và so sánh các biểu thức bên trong: \[ x = x^2 \] - Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ x^2 - x = 0 \] - Nhân cả hai vế với $x$: \[ x(x - 1) = 0 \] - Giải phương trình này, ta có: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Ta đã xác định ĐKXĐ là $x > 0$. Do đó, $x = 0$ bị loại vì không thỏa mãn điều kiện. - Vậy nghiệm duy nhất còn lại là $x = 1$. Kết luận: Nghiệm của phương trình $\log_2x = \log_2x^2$ là $x = 1$. Đáp án đúng là: $A.~x=1.$ Câu 4. Ta có: \[ \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = -1 \] Theo định nghĩa đạo hàm, ta nhận thấy rằng: \[ f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \] Do đó: \[ f'(1) = -1 \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~f'(1) = -1 \] Câu 5. Để tìm đạo hàm của hàm số $y = \pi^x$, ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm mũ $a^x$ với $a > 0$ và $a \neq 1$. Công thức này là: \[ y' = a^x \cdot \ln(a) \] Trong trường hợp này, $a = \pi$. Do đó, đạo hàm của hàm số $y = \pi^x$ là: \[ y' = \pi^x \cdot \ln(\pi) \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~y^\prime=\pi^x\ln\pi. \] Câu 6. Để tìm giá trị của \( f'(-1) \), trước tiên chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \). Hàm số đã cho là: \[ f(x) = 3x^2 + 2 \] Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + 2) \] \[ f'(x) = 3 \cdot 2x + 0 \] \[ f'(x) = 6x \] Bây giờ, thay \( x = -1 \) vào đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(-1) = 6 \cdot (-1) \] \[ f'(-1) = -6 \] Vậy giá trị của \( f'(-1) \) là \(-6\). Đáp án đúng là: D. -6 Câu 7. Để tìm đạo hàm cấp hai của hàm số $y = 5\sin x - 3\cos x$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm cấp một của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(5\sin x - 3\cos x) \] Áp dụng công thức đạo hàm của sin và cos: \[ y' = 5\cos x + 3\sin x \] 2. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số: \[ y'' = \frac{d}{dx}(5\cos x + 3\sin x) \] Áp dụng công thức đạo hàm của cos và sin: \[ y'' = -5\sin x + 3\cos x \] Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số $y = 5\sin x - 3\cos x$ là: \[ y'' = -5\sin x + 3\cos x \] Đáp án đúng là: $D.~y^{\prime\prime}=-5\sin x+3\cos x$. Câu 8. Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau, tức là SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA. Điều này cho thấy rằng đáy ABCD là một hình vuông và các đỉnh S, A, B, C, D tạo thành một hình chóp đều. Ta sẽ tìm góc giữa hai đường thẳng SA và CB. 1. Xét tam giác SAB: - Vì SA = SB và đáy ABCD là hình vuông nên tam giác SAB là tam giác đều. - Do đó, góc ASB = 60°. 2. Xét tam giác SBC: - Vì SB = SC và đáy ABCD là hình vuông nên tam giác SBC cũng là tam giác đều. - Do đó, góc BSC = 60°. 3. Ta cần tìm góc giữa SA và CB. Để làm điều này, ta sẽ xét tam giác SAC và tam giác SAD: - Vì SA = SC và đáy ABCD là hình vuông nên tam giác SAC là tam giác đều. - Do đó, góc ASC = 60°. 4. Xét tam giác SAD: - Vì SA = SD và đáy ABCD là hình vuông nên tam giác SAD là tam giác đều. - Do đó, góc ASD = 60°. 5. Ta thấy rằng các tam giác đều này tạo ra các góc 60° giữa các cạnh. Đặc biệt, góc giữa SA và CB sẽ là góc giữa hai đường thẳng trong không gian, và do tính chất đối xứng của hình chóp đều, góc này sẽ là 90°. Vậy, số đo góc giữa hai đường thẳng SA và CB là \(90^\circ\). Đáp án đúng là: \(D.~90^\circ\). Câu 9. Trước tiên, ta xét tính chất của hình chóp S.ABCD: - Đáy ABCD là hình thoi, do đó các đường chéo BD và AC của hình thoi là đường trung trực của nhau và vuông góc với nhau tại tâm O của hình thoi. - Ta có SA = SC, suy ra tam giác SAC cân tại S. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. Mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD): - Để mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), ta cần có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAD) và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). - Ta thấy rằng đường thẳng SD nằm trong mặt phẳng (SAD). Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Do đó, ta không thể kết luận mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). B. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD): - Để mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), ta cần có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAB) và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). - Ta thấy rằng đường thẳng SA nằm trong mặt phẳng (SAB). Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Do đó, ta không thể kết luận mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). C. Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD): - Để mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), ta cần có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SBC) và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). - Ta thấy rằng đường thẳng SC nằm trong mặt phẳng (SBC). Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Do đó, ta không thể kết luận mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). D. Mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD): - Để mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), ta cần có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SBD) và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). - Ta thấy rằng đường thẳng SO nằm trong mặt phẳng (SBD) và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) vì SO là đường cao hạ từ đỉnh S của tam giác SAC xuống đáy AC, và AC là đường chéo của hình thoi ABCD, do đó SO vuông góc với AC và BD (vì BD là đường trung trực của AC). - Do đó, mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Vậy khẳng định đúng là: D. Mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Câu 10. Trước tiên, ta xét các mặt phẳng liên quan đến hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA vuông góc với đáy (ABCD). - Mặt phẳng (SAB) chứa cạnh SA và cạnh AB. Vì SA vuông góc với đáy (ABCD), nên (SAB) vuông góc với (ABCD). Do đó, mệnh đề A đúng. - Mặt phẳng (SAC) chứa cạnh SA và cạnh AC. Vì SA vuông góc với đáy (ABCD), nên (SAC) vuông góc với (ABCD). Do đó, mệnh đề B đúng. - Mặt phẳng (SAD) chứa cạnh SA và cạnh AD. Vì SA vuông góc với đáy (ABCD), nên (SAD) vuông góc với (ABCD). Do đó, mệnh đề C đúng. - Mặt phẳng (SBC) chứa cạnh SB và cạnh BC. Vì SB không vuông góc với đáy (ABCD) (vì SB nằm trong mặt phẳng (SBC) và không vuông góc với BC), nên (SBC) không vuông góc với (ABCD). Do đó, mệnh đề D sai. Vậy mệnh đề sai là: \[ \boxed{D} \] Câu 11. Để tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính thể tích khối chóp S.ACD: - Diện tích đáy (hình chữ nhật ABCD) là: \[ S_{ACD} = \frac{1}{2} \times AD \times AB = \frac{1}{2} \times 2a \times a = a^2 \] - Thể tích khối chóp S.ACD là: \[ V_{S.ACD} = \frac{1}{3} \times SA \times S_{ACD} = \frac{1}{3} \times a \times a^2 = \frac{a^3}{3} \] 2. Tính diện tích tam giác SCD: - Ta tính độ dài các cạnh của tam giác SCD: \[ SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} \] \[ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} \] \[ CD = AD = 2a \] - Diện tích tam giác SCD bằng công thức Heron: \[ p = \frac{SD + SC + CD}{2} = \frac{a\sqrt{5} + a\sqrt{5} + 2a}{2} = \frac{2a\sqrt{5} + 2a}{2} = a(\sqrt{5} + 1) \] \[ S_{SCD} = \sqrt{p(p-SD)(p-SC)(p-CD)} = \sqrt{a(\sqrt{5}+1) \left(a(\sqrt{5}+1) - a\sqrt{5}\right) \left(a(\sqrt{5}+1) - a\sqrt{5}\right) \left(a(\sqrt{5}+1) - 2a\right)} \] \[ = \sqrt{a(\sqrt{5}+1) \cdot a \cdot a \cdot a(\sqrt{5}-1)} = \sqrt{a^4 (\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \sqrt{a^4 (5-1)} = \sqrt{4a^4} = 2a^2 \] 3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD): - Gọi khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) là h. - Thể tích khối chóp S.ACD cũng có thể được tính qua diện tích tam giác SCD và khoảng cách h: \[ V_{S.ACD} = \frac{1}{3} \times S_{SCD} \times h = \frac{1}{3} \times 2a^2 \times h = \frac{2a^2h}{3} \] - Đặt hai thể tích này bằng nhau: \[ \frac{a^3}{3} = \frac{2a^2h}{3} \] \[ a^3 = 2a^2h \] \[ h = \frac{a^3}{2a^2} = \frac{a}{2} \] 4. Kiểm tra lại đáp án: - Đáp án đúng là $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$. Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) là $\boxed{\frac{2a\sqrt{5}}{5}}$. Câu 12. Để tính thể tích khối chóp \(S.ADC\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy \(ADC\): - Tam giác \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). - \(D\) nằm trên cạnh \(AB\) sao cho \(AD = x\) và \(DB = a - x\). 2. Diện tích tam giác \(ABC\): Diện tích tam giác đều cạnh \(a\) là: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] 3. Diện tích tam giác \(ADC\): - \(D\) chia \(AB\) thành hai đoạn \(AD = x\) và \(DB = a - x\). - Diện tích tam giác \(ADC\) sẽ là: \[ S_{ADC} = \frac{x}{a} \times S_{ABC} = \frac{x}{a} \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} ax \] 4. Chiều cao \(SA\): - \(SA \perp (ABC)\), do đó chiều cao từ đỉnh \(S\) đến đáy \(ABC\) là \(SA\). 5. Thể tích khối chóp \(S.ADC\): - Thể tích khối chóp \(S.ADC\) được tính bằng công thức: \[ V_{S.ADC} = \frac{1}{3} \times S_{ADC} \times SA \] - Thay diện tích đáy \(S_{ADC}\) vào: \[ V_{S.ADC} = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} ax \times SA = \frac{\sqrt{3}}{12} ax \times SA \] Vậy thể tích khối chóp \(S.ADC\) là: \[ V_{S.ADC} = \frac{\sqrt{3}}{12} ax \times SA \]