Help meeeee

Câu 32. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( y = \sqrt{1 + 3x - x^2} \). 2. Tính đạo hàm thứ hai của hàm số. 3. Thay vào các biểu thức đã cho để kiểm tra xem khẳng định nào đúng. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( y = \sqrt{1 + 3x - x^2} \). Ta có: \[ y = \sqrt{1 + 3x - x^2} \] Áp dụng công thức đạo hàm của căn bậc hai: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{1 + 3x - x^2}} \cdot (3 - 2x) \] \[ y' = \frac{3 - 2x}{2\sqrt{1 + 3x - x^2}} \] Bước 2: Tính đạo hàm thứ hai của hàm số. Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ y'' = \frac{(3 - 2x)' \cdot 2\sqrt{1 + 3x - x^2} - (3 - 2x) \cdot (2\sqrt{1 + 3x - x^2})'}{(2\sqrt{1 + 3x - x^2})^2} \] Tính đạo hàm của tử số: \[ (3 - 2x)' = -2 \] \[ (2\sqrt{1 + 3x - x^2})' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 + 3x - x^2}} \cdot (3 - 2x) = \frac{3 - 2x}{\sqrt{1 + 3x - x^2}} \] Thay vào: \[ y'' = \frac{-2 \cdot 2\sqrt{1 + 3x - x^2} - (3 - 2x) \cdot \frac{3 - 2x}{\sqrt{1 + 3x - x^2}}}{4(1 + 3x - x^2)} \] \[ y'' = \frac{-4\sqrt{1 + 3x - x^2} - \frac{(3 - 2x)^2}{\sqrt{1 + 3x - x^2}}}{4(1 + 3x - x^2)} \] \[ y'' = \frac{-4(1 + 3x - x^2) - (3 - 2x)^2}{4(1 + 3x - x^2)\sqrt{1 + 3x - x^2}} \] \[ y'' = \frac{-4(1 + 3x - x^2) - (9 - 12x + 4x^2)}{4(1 + 3x - x^2)\sqrt{1 + 3x - x^2}} \] \[ y'' = \frac{-4 - 12x + 4x^2 - 9 + 12x - 4x^2}{4(1 + 3x - x^2)\sqrt{1 + 3x - x^2}} \] \[ y'' = \frac{-13}{4(1 + 3x - x^2)\sqrt{1 + 3x - x^2}} \] Bước 3: Thay vào các biểu thức đã cho để kiểm tra xem khẳng định nào đúng. Kiểm tra biểu thức \( (y')^2 + y \cdot y'' \): \[ (y')^2 = \left( \frac{3 - 2x}{2\sqrt{1 + 3x - x^2}} \right)^2 = \frac{(3 - 2x)^2}{4(1 + 3x - x^2)} \] \[ y \cdot y'' = \sqrt{1 + 3x - x^2} \cdot \frac{-13}{4(1 + 3x - x^2)\sqrt{1 + 3x - x^2}} = \frac{-13}{4(1 + 3x - x^2)} \] Do đó: \[ (y')^2 + y \cdot y'' = \frac{(3 - 2x)^2}{4(1 + 3x - x^2)} + \frac{-13}{4(1 + 3x - x^2)} = \frac{(3 - 2x)^2 - 13}{4(1 + 3x - x^2)} \] Kiểm tra biểu thức \( (y')^2 + 2y \cdot y'' \): \[ 2y \cdot y'' = 2 \cdot \frac{-13}{4(1 + 3x - x^2)} = \frac{-26}{4(1 + 3x - x^2)} = \frac{-13}{2(1 + 3x - x^2)} \] Do đó: \[ (y')^2 + 2y \cdot y'' = \frac{(3 - 2x)^2}{4(1 + 3x - x^2)} + \frac{-13}{2(1 + 3x - x^2)} = \frac{(3 - 2x)^2 - 26}{4(1 + 3x - x^2)} \] Kiểm tra biểu thức \( y \cdot y'' - (y')^2 \): \[ y \cdot y'' - (y')^2 = \frac{-13}{4(1 + 3x - x^2)} - \frac{(3 - 2x)^2}{4(1 + 3x - x^2)} = \frac{-13 - (3 - 2x)^2}{4(1 + 3x - x^2)} \] Nhận thấy rằng biểu thức \( y \cdot y'' - (y')^2 = -1 \) đúng. Vậy khẳng định đúng là: \[ C.~y \cdot y'' - (y')^2 = 1. \]