gải từng ý

Câu 1. Trước tiên, ta cần tìm khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB). 1. Tính diện tích hình chóp S.ABCD: - Diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = a^2 \sin 60^\circ = a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \] - Thể tích hình chóp S.ABCD là: \[ V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \times SO \times S_{ABCD} = \frac{1}{3} \times \frac{3a}{4} \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{8} \] 2. Tính diện tích tam giác SAB: - Tam giác SAB có đáy AB = a và chiều cao từ S xuống AB là SO. - Diện tích tam giác SAB là: \[ S_{SAB} = \frac{1}{2} \times AB \times SO = \frac{1}{2} \times a \times \frac{3a}{4} = \frac{3a^2}{8} \] 3. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB): - Thể tích hình chóp S.OAB là: \[ V_{S.OAB} = \frac{1}{3} \times d(O, (SAB)) \times S_{SAB} \] - Vì thể tích hình chóp S.OAB bằng một phần ba thể tích hình chóp S.ABCD: \[ V_{S.OAB} = \frac{1}{3} \times V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \times \frac{a^3 \sqrt{3}}{8} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{24} \] - Do đó: \[ \frac{1}{3} \times d(O, (SAB)) \times \frac{3a^2}{8} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{24} \] \[ d(O, (SAB)) \times \frac{a^2}{8} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{24} \] \[ d(O, (SAB)) = \frac{a \sqrt{3}}{3} \] Vậy \( x = \frac{a \sqrt{3}}{3} \). 4. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAB): - Vì D nằm trên đường thẳng qua O vuông góc với (SAB), nên khoảng cách từ D đến (SAB) là: \[ y = 2x = 2 \times \frac{a \sqrt{3}}{3} = \frac{2a \sqrt{3}}{3} \] 5. Tính khoảng cách từ CD đến SA: - Vì CD song song với AB, nên khoảng cách từ CD đến SA bằng khoảng cách từ D đến SA. - Khoảng cách từ D đến SA là: \[ z = y - x = \frac{2a \sqrt{3}}{3} - \frac{a \sqrt{3}}{3} = \frac{a \sqrt{3}}{3} \] 6. Kiểm tra các mệnh đề: - \( a)~x = \frac{3a}{4} \) (sai) - \( b)~y = 2x \) (đúng) - \( c)~y = z + x \) (đúng) - \( d)~x + y + z = \frac{15a}{8} \) (sai) Vậy các mệnh đề đúng là: - \( b)~y = 2x \) - \( c)~y = z + x \) Câu 2. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa vào đồ thị của hàm số $f(x) = 3^{2x} - 2 \cdot 3^x$. a) Đường thẳng $y=0$ cắt đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ là $x=\log_32.$ - Để kiểm tra mệnh đề này, ta cần tìm các giá trị của $x$ sao cho $f(x) = 0$. - Ta có phương trình: $3^{2x} - 2 \cdot 3^x = 0$ - Đặt $t = 3^x$, ta có phương trình: $t^2 - 2t = 0$ - Giải phương trình bậc hai: $t(t - 2) = 0$ - Suy ra: $t = 0$ hoặc $t = 2$ - Vì $t = 3^x > 0$, nên ta loại $t = 0$. Vậy $t = 2$. - Suy ra: $3^x = 2 \Rightarrow x = \log_3 2$ Do đó, đường thẳng $y=0$ cắt đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ là $x = \log_3 2$. Mệnh đề này là đúng. b) Bất phương trình $f(x) \geq -1$ có nghiệm duy nhất. - Ta cần kiểm tra xem bất phương trình $3^{2x} - 2 \cdot 3^x \geq -1$ có nghiệm duy nhất hay không. - Ta có: $3^{2x} - 2 \cdot 3^x + 1 \geq 0$ - Đặt $t = 3^x$, ta có: $t^2 - 2t + 1 \geq 0$ - Điều này tương đương với: $(t - 1)^2 \geq 0$ - Biểu thức $(t - 1)^2$ luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi $t$, do đó bất phương trình này luôn đúng với mọi $x$. Do đó, bất phương trình $f(x) \geq -1$ có vô số nghiệm. Mệnh đề này là sai. c) Bất phương trình $f(x) \geq 0$ có tập nghiệm là: $(-\infty; \log_3 2)$. - Ta cần kiểm tra xem bất phương trình $3^{2x} - 2 \cdot 3^x \geq 0$ có tập nghiệm là $(-\infty; \log_3 2)$ hay không. - Ta có: $3^{2x} - 2 \cdot 3^x \geq 0$ - Đặt $t = 3^x$, ta có: $t^2 - 2t \geq 0$ - Điều này tương đương với: $t(t - 2) \geq 0$ - Giải bất phương trình này, ta có: $t \leq 0$ hoặc $t \geq 2$ - Vì $t = 3^x > 0$, nên ta loại $t \leq 0$. Vậy $t \geq 2$. - Suy ra: $3^x \geq 2 \Rightarrow x \geq \log_3 2$ Do đó, tập nghiệm của bất phương trình $f(x) \geq 0$ là $[\log_3 2; +\infty)$. Mệnh đề này là sai. d) Đường thẳng $y=0$ cắt đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm phân biệt. - Như đã chứng minh ở phần a), đường thẳng $y=0$ cắt đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ là $x = \log_3 2$. Do đó, đường thẳng $y=0$ chỉ cắt đồ thị tại một điểm duy nhất. Do đó, mệnh đề này là sai. Kết luận: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là sai. Câu 1. Xác suất Bình bắn trúng là 0,7, xác suất Bình bắn trượt là 0,3. Xác suất Minh bắn trúng là 0,8, xác suất Minh bắn trượt là 0,2. Xác suất không có ai thắng sau 1 lượt bắn là: 0,7 × 0,2 + 0,3 × 0,8 = 0,38. Đáp số: 0,38. Câu 2. Trước tiên, ta xác định góc giữa hai mặt phẳng $A'BDA$ và $ABCD$. Gọi $O$ là giao điểm của $BD$ và $AC$, ta có $AO$ là đường vuông góc hạ từ $A$ xuống mặt phẳng $(ABCD)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A'$ lên đường thẳng $BD$. Ta có góc giữa hai mặt phẳng $A'BDA$ và $ABCD$ là góc $\angle A'HO$. Ta tính $AO$: \[ AO = \sqrt{AA'^2 + AO^2} = \sqrt{(3a)^2 + \left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)^2} = \sqrt{9a^2 + \frac{5a^2}{4}} = \sqrt{\frac{36a^2 + 5a^2}{4}} = \sqrt{\frac{41a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{41}}{2} \] Ta tính $A'H$: \[ A'H = AA' = 3a \] Ta tính $OH$: \[ OH = \sqrt{AO^2 - A'O^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{41}}{2}\right)^2 - (3a)^2} = \sqrt{\frac{41a^2}{4} - 9a^2} = \sqrt{\frac{41a^2 - 36a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} \] Ta tính $\tan \angle A'HO$: \[ \tan \angle A'HO = \frac{A'H}{OH} = \frac{3a}{\frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{3a \cdot 2}{a\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5} \] Sử dụng máy tính để tìm góc: \[ \angle A'HO = \tan^{-1}\left(\frac{6\sqrt{5}}{5}\right) \approx 60.2^\circ \] Vậy góc phẳng nhị diện $[A', BD, A]$ là $60.2^\circ$. Câu 1. Để tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm chiều cao của tam giác đều ABC: - Tam giác đều ABC có cạnh a, nên chiều cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC là: \[ h_{ABC} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] 2. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC): - Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên khoảng cách từ S đến (ABC) chính là SA. - Ta có SB = 2a và AB = a. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SAB vuông tại A: \[ SA^2 + AB^2 = SB^2 \] \[ SA^2 + a^2 = (2a)^2 \] \[ SA^2 + a^2 = 4a^2 \] \[ SA^2 = 3a^2 \] \[ SA = a\sqrt{3} \] 3. Tính diện tích tam giác SBC: - Tam giác SBC có SB = 2a và SC = 2a (vì SB = SC do tam giác đều và SA vuông góc với (ABC)). - Diện tích tam giác SBC: \[ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times BC \times SA = \frac{1}{2} \times a \times a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \] 4. Tính thể tích khối chóp S.ABC: - Thể tích khối chóp S.ABC: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA \] - Diện tích tam giác đều ABC: \[ S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \] - Vậy thể tích: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \times a\sqrt{3} = \frac{a^3}{4} \] 5. Tính thể tích khối chóp S.ABG: - Trọng tâm G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, nên diện tích tam giác ABG là $\frac{1}{3}$ diện tích tam giác ABC. - Diện tích tam giác ABG: \[ S_{ABG} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{12} \] - Thể tích khối chóp S.ABG: \[ V_{S.ABG} = \frac{1}{3} \times S_{ABG} \times SA = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{3}}{12} \times a\sqrt{3} = \frac{a^3}{12} \] 6. Tính thể tích khối chóp S.BCG: - Thể tích khối chóp S.BCG cũng bằng $\frac{1}{3}$ thể tích khối chóp S.ABC vì G là trọng tâm: \[ V_{S.BCG} = \frac{1}{3} \times V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times \frac{a^3}{4} = \frac{a^3}{12} \] 7. Tính thể tích khối chóp S.GBC: - Thể tích khối chóp S.GBC: \[ V_{S.GBC} = V_{S.ABC} - V_{S.ABG} - V_{S.BCG} = \frac{a^3}{4} - \frac{a^3}{12} - \frac{a^3}{12} = \frac{a^3}{6} \] 8. Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC): - Gọi khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC) là d. Ta có: \[ V_{S.GBC} = \frac{1}{3} \times S_{SBC} \times d \] \[ \frac{a^3}{6} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \times d \] \[ \frac{a^3}{6} = \frac{a^2\sqrt{3}}{6} \times d \] \[ d = \frac{a}{\sqrt{3}} \] \[ d = \frac{a\sqrt{3}}{3} \] Vậy khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC) là $\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình mũ dựa trên thông tin đã cho. Bước 1: Xác định các giá trị đã biết: - Khi nhiệt độ trái đất tăng 2°C, tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 3%. - Khi nhiệt độ trái đất tăng 5°C, tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 10%. Bước 2: Áp dụng công thức $f(t) = ka^t$ để lập phương trình: - Khi $t = 2$, ta có $f(2) = ka^2 = 0.03$ (vì giảm 3%). - Khi $t = 5$, ta có $f(5) = ka^5 = 0.10$ (vì giảm 10%). Bước 3: Tìm giá trị của $k$ và $a$: Ta có hai phương trình: \[ ka^2 = 0.03 \] \[ ka^5 = 0.10 \] Chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất: \[ \frac{ka^5}{ka^2} = \frac{0.10}{0.03} \] \[ a^3 = \frac{10}{3} \] \[ a = \left(\frac{10}{3}\right)^{\frac{1}{3}} \] Thay giá trị của $a$ vào phương trình $ka^2 = 0.03$: \[ k \left(\left(\frac{10}{3}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^2 = 0.03 \] \[ k \left(\frac{10}{3}\right)^{\frac{2}{3}} = 0.03 \] \[ k = \frac{0.03}{\left(\frac{10}{3}\right)^{\frac{2}{3}}} \] Bước 4: Tìm giá trị của $t$ khi tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 20%: \[ f(t) = 0.20 \] \[ ka^t = 0.20 \] Thay giá trị của $k$ và $a$ vào: \[ \frac{0.03}{\left(\frac{10}{3}\right)^{\frac{2}{3}}} \left(\left(\frac{10}{3}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^t = 0.20 \] \[ \frac{0.03}{\left(\frac{10}{3}\right)^{\frac{2}{3}}} \left(\frac{10}{3}\right)^{\frac{t}{3}} = 0.20 \] \[ \frac{0.03}{\left(\frac{10}{3}\right)^{\frac{2}{3}}} \left(\frac{10}{3}\right)^{\frac{t}{3}} = 0.20 \] \[ \left(\frac{10}{3}\right)^{\frac{t}{3} - \frac{2}{3}} = \frac{0.20}{0.03} \] \[ \left(\frac{10}{3}\right)^{\frac{t - 2}{3}} = \frac{20}{3} \] \[ \frac{t - 2}{3} = \log_{\frac{10}{3}} \left(\frac{20}{3}\right) \] \[ t - 2 = 3 \log_{\frac{10}{3}} \left(\frac{20}{3}\right) \] \[ t = 2 + 3 \log_{\frac{10}{3}} \left(\frac{20}{3}\right) \] Bước 5: Tính giá trị cụ thể của $t$: \[ t \approx 2 + 3 \times 1.2619 \] \[ t \approx 2 + 3.7857 \] \[ t \approx 5.7857 \] Vậy, khi nhiệt độ trái đất tăng thêm khoảng 5.79°C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm đến 20%. Câu 3. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số $f(x)$. $f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x}\right)$ Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit và quy tắc chuỗi, ta có: $f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \ln\left(\frac{x+1}{x}\right) \right]$ $f'(x) = \frac{1}{\frac{x+1}{x}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x+1}{x} \right)$ $f'(x) = \frac{x}{x+1} \cdot \left( \frac{x \cdot 1 - (x+1) \cdot 1}{x^2} \right)$ $f'(x) = \frac{x}{x+1} \cdot \left( \frac{x - x - 1}{x^2} \right)$ $f'(x) = \frac{x}{x+1} \cdot \left( \frac{-1}{x^2} \right)$ $f'(x) = \frac{-1}{x(x+1)}$ Bây giờ, ta tính tổng $S = f'(1) + f'(2) + ... + f'(2018)$. $f'(1) = \frac{-1}{1 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$ $f'(2) = \frac{-1}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{6}$ $f'(3) = \frac{-1}{3 \cdot 4} = -\frac{1}{12}$ ... $f'(2018) = \frac{-1}{2018 \cdot 2019} = -\frac{1}{2018 \cdot 2019}$ Tổng $S$ có dạng: $S = -\left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{2018 \cdot 2019} \right)$ Ta nhận thấy rằng mỗi phân số trong tổng này có thể được viết dưới dạng hiệu hai phân số: $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ Do đó: $S = -\left( \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + ... + \left( \frac{1}{2018} - \frac{1}{2019} \right) \right)$ Nhận thấy rằng các phân số ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau, ta còn lại: $S = -\left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2019} \right)$ $S = -\left( 1 - \frac{1}{2019} \right)$ $S = -\left( \frac{2019}{2019} - \frac{1}{2019} \right)$ $S = -\left( \frac{2018}{2019} \right)$ $S = -\frac{2018}{2019}$ Vậy tổng $S = f'(1) + f'(2) + ... + f'(2018)$ là $-\frac{2018}{2019}$.