giải thích rõ ràng

Câu 1. Để xác định biểu thức nào dưới đây là hàm số, chúng ta cần kiểm tra xem mỗi biểu thức có thể biểu thị y là hàm của x hay không. A. \( x = y^2 \) - Đây là một phương trình bậc hai theo y. Mỗi giá trị của x có thể tương ứng với hai giá trị của y (trừ trường hợp x = 0). Do đó, x không phải là hàm của y. B. \( y^2 = 3x + 2 \) - Đây cũng là một phương trình bậc hai theo y. Mỗi giá trị của x có thể tương ứng với hai giá trị của y (trừ trường hợp \( 3x + 2 = 0 \)). Do đó, y không phải là hàm của x. C. \( y = x^2 - 1 \) - Đây là một phương trình bậc hai theo x. Mỗi giá trị của x chỉ tương ứng với một giá trị duy nhất của y. Do đó, y là hàm của x. D. \( x^2 + y^2 = 1 \) - Đây là phương trình của một đường tròn tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng 1. Mỗi giá trị của x có thể tương ứng với hai giá trị của y (trừ trường hợp x = ±1). Do đó, y không phải là hàm của x. Từ các phân tích trên, chỉ có biểu thức C là hàm số. Đáp án: C. \( y = x^2 - 1 \) Câu 2. Ta xét các trường hợp sau: - Nếu $a > 0$ thì parabol $y = ax^2 + bx + c$ mở ra phía trên. Vì $\Delta = 0$, nên parabol tiếp xúc với trục hoành tại đỉnh. Do đó, $f(x) \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ và $f(x) = 0$ khi $x = -\frac{b}{2a}$. - Nếu $a < 0$ thì parabol $y = ax^2 + bx + c$ mở ra phía dưới. Vì $\Delta = 0$, nên parabol tiếp xúc với trục hoành tại đỉnh. Do đó, $f(x) \leq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ và $f(x) = 0$ khi $x = -\frac{b}{2a}$. Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, ngoại trừ điểm $x = -\frac{b}{2a}$, nơi mà $f(x) = 0$. Do đó, mệnh đề đúng là: \[ C.~f(x)\text{ luôn cùng dấu với hệ số }a\text{ với mọi }x\ne\frac{-b}{2a}.\] Đáp án: C. Câu 3. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \( A(x_1, y_1) \) và có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (a, b) \) là: \[ a(x - x_1) + b(y - y_1) = 0 \] Áp dụng vào bài toán này: - Điểm \( A(1, 2) \) - Vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (2, -3) \) Thay vào công thức: \[ 2(x - 1) - 3(y - 2) = 0 \] Mở ngoặc và giản ước: \[ 2x - 2 - 3y + 6 = 0 \] \[ 2x - 3y + 4 = 0 \] Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng là: \[ 2x - 3y + 4 = 0 \] Đáp án đúng là: \( D.~2x - 3y + 4 = 0 \). Câu 4. Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), ta cần kiểm tra các điều kiện về song song, vuông góc và cắt nhau. Bước 1: Xác định phương trình của hai đường thẳng: - Đường thẳng \(d_1\) có phương trình: \(x + y - 4 = 0\) - Đường thẳng \(d_2\) có phương trình: \(-2x - 2y + 6 = 0\) Bước 2: Chuyển đổi phương trình của \(d_2\) về dạng chuẩn: \[ -2x - 2y + 6 = 0 \] Chia cả phương trình cho \(-2\): \[ x + y - 3 = 0 \] Bước 3: So sánh các hệ số của hai phương trình: - Phương trình của \(d_1\) là \(x + y - 4 = 0\) - Phương trình của \(d_2\) là \(x + y - 3 = 0\) Nhận thấy rằng: - Hệ số của \(x\) trong cả hai phương trình đều là 1. - Hệ số của \(y\) trong cả hai phương trình đều là 1. Do đó, hai đường thẳng này có cùng hệ số góc, tức là chúng song song với nhau. Kết luận: Hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) song song với nhau. Đáp án đúng là: B. Song song. Câu 5. Phương trình đường tròn có dạng tổng quát là: \[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \] Trong đó, \( D, E, F \) là các hằng số. Để kiểm tra xem phương trình nào không phải là phương trình đường tròn, ta sẽ so sánh từng phương trình với dạng tổng quát này. A. \( x^2 + y^2 - x + y + 4 = 0 \) - Đây là phương trình đường tròn vì nó có dạng \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \) với \( D = -1 \), \( E = 1 \), và \( F = 4 \). B. \( x^2 + y^2 - y = 0 \) - Đây là phương trình đường tròn vì nó có dạng \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \) với \( D = 0 \), \( E = -1 \), và \( F = 0 \). C. \( x^2 + y^2 - 2 = 0 \) - Đây là phương trình đường tròn vì nó có dạng \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \) với \( D = 0 \), \( E = 0 \), và \( F = -2 \). D. \( x^2 + y^2 - 100y + 1 = 0 \) - Đây là phương trình đường tròn vì nó có dạng \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \) với \( D = 0 \), \( E = -100 \), và \( F = 1 \). Tất cả các phương trình đều có dạng tổng quát của phương trình đường tròn. Do đó, tất cả chúng đều là phương trình đường tròn. Kết luận: Tất cả các phương trình đều là phương trình đường tròn. Câu 6. Để tìm tiêu cự của hypebol $(H): x^2 - 4y^2 = 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định dạng chuẩn của hypebol: Hypebol $(H)$ có dạng chuẩn là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. So sánh với phương trình đã cho $x^2 - 4y^2 = 1$, ta nhận thấy: \[ \frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{\frac{1}{4}} = 1 \] Do đó, $a^2 = 1$ và $b^2 = \frac{1}{4}$. 2. Tính khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm (c): Với hypebol, ta có công thức tính khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm $c$ là: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] Thay các giá trị $a^2$ và $b^2$ vào: \[ c = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \] 3. Tính tiêu cự của hypebol: Tiêu cự của hypebol là khoảng cách giữa hai tiêu điểm, tức là $2c$: \[ 2c = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \] Vậy tiêu cự của hypebol $(H)$ là $\sqrt{5}$. Đáp án đúng là: $A.~\sqrt{5}$. Câu 7. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong một elip, tổng khoảng cách từ bất kỳ điểm trên elip đến hai tiêu điểm là hằng số và bằng 2a, trong đó a là bán trục lớn của elip. Cho biết tiêu cự \( F_1F_2 = 12 \) m, tức là khoảng cách giữa hai tiêu điểm là 12 m. Do đó, ta có: \[ 2c = 12 \implies c = 6 \] Chiều dài của một tia sáng từ \( F_1 \) đến mái vòm rồi phản chiếu về \( F_2 \) là 20 m, tức là tổng khoảng cách từ một điểm trên elip đến hai tiêu điểm là 20 m. Do đó, ta có: \[ 2a = 20 \implies a = 10 \] Biết rằng trong elip, mối liên hệ giữa các đại lượng \( a \), \( b \), và \( c \) là: \[ a^2 = b^2 + c^2 \] Thay \( a = 10 \) và \( c = 6 \) vào công thức trên, ta có: \[ 10^2 = b^2 + 6^2 \] \[ 100 = b^2 + 36 \] \[ b^2 = 100 - 36 \] \[ b^2 = 64 \] \[ b = 8 \] Phương trình chính tắc của elip là: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Thay \( a = 10 \) và \( b = 8 \) vào phương trình trên, ta có: \[ \frac{x^2}{10^2} + \frac{y^2}{8^2} = 1 \] \[ \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1 \] Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là: \[ B.~(E):\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1 \] Câu 8. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính số cách An có thể đi từ nhà An đến nhà Bình và từ nhà Bình trở về nhà An, sao cho đường đi và đường về là khác nhau. 1. Tính số cách An đi từ nhà An đến nhà Bình: - Có tổng cộng 6 con đường, trong đó có 2 con đường là đường 1 chiều (chiều từ nhà An đến Bình). - Số cách An đi từ nhà An đến nhà Bình là 6. 2. Tính số cách An về từ nhà Bình: - Khi An đã chọn một con đường để đi đến nhà Bình, An sẽ có 5 con đường còn lại để chọn để về nhà (vì đường đi và đường về phải khác nhau). 3. Tính tổng số cách An đi và về: - Mỗi con đường đi có 5 con đường về khác nhau. - Vậy tổng số cách An đi và về là: \[ 6 \times 5 = 30 \] Tuy nhiên, trong các con đường có 2 con đường là đường 1 chiều (chiều từ nhà An đến Bình), nên chúng ta cần loại trừ các trường hợp không hợp lý. 4. Loại trừ các trường hợp không hợp lý: - Nếu An đi bằng 1 trong 2 con đường 1 chiều, An sẽ không thể về bằng con đường đó. - Số cách An đi bằng 1 trong 2 con đường 1 chiều và về bằng 1 trong 5 con đường còn lại là: \[ 2 \times 4 = 8 \] - Số cách An đi bằng 1 trong 4 con đường còn lại và về bằng 1 trong 5 con đường còn lại là: \[ 4 \times 5 = 20 \] 5. Tổng số cách An đi và về: - Tổng số cách An đi và về là: \[ 8 + 20 = 28 \] Nhưng vì trong các con đường có 2 con đường là đường 1 chiều, nên chúng ta cần kiểm tra lại các trường hợp đã tính toán. 6. Kiểm tra lại các trường hợp: - Nếu An đi bằng 1 trong 2 con đường 1 chiều, An sẽ không thể về bằng con đường đó, vậy số cách An đi và về là: \[ 2 \times 4 = 8 \] - Nếu An đi bằng 1 trong 4 con đường còn lại, An sẽ có 5 con đường về khác nhau, vậy số cách An đi và về là: \[ 4 \times 5 = 20 \] 7. Tổng số cách An đi và về: - Tổng số cách An đi và về là: \[ 8 + 20 = 28 \] Vậy đáp án đúng là D. 20. Câu 9. Để giải bài toán này, chúng ta cần tính số cách xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài. Đây là một bài toán về hoán vị. Bước 1: Xác định số cách xếp cho mỗi người ngồi vào một chỗ. - Người đầu tiên có thể ngồi vào bất kỳ 1 trong 5 chỗ. - Người thứ hai có thể ngồi vào bất kỳ 1 trong 4 chỗ còn lại. - Người thứ ba có thể ngồi vào bất kỳ 1 trong 3 chỗ còn lại. - Người thứ tư có thể ngồi vào bất kỳ 1 trong 2 chỗ còn lại. - Người cuối cùng chỉ có thể ngồi vào 1 chỗ còn lại. Bước 2: Tính tổng số cách xếp khác nhau. Số cách xếp khác nhau là: \[ 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \] Vậy có 120 cách xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài. Đáp án đúng là: A. 120 Câu 10. Để tính số tam giác mà có các đỉnh được chọn từ 37 điểm này, ta cần xem xét các trường hợp sau: 1. Chọn 2 điểm trên $d_1$ và 1 điểm trên $d_2$. 2. Chọn 1 điểm trên $d_1$ và 2 điểm trên $d_2$. Ta sẽ tính số cách chọn các điểm trong mỗi trường hợp này. Trường hợp 1: Chọn 2 điểm trên $d_1$ và 1 điểm trên $d_2$. - Số cách chọn 2 điểm trên $d_1$: $\binom{17}{2} = \frac{17 \times 16}{2} = 136$. - Số cách chọn 1 điểm trên $d_2$: $\binom{20}{1} = 20$. - Tổng số cách chọn trong trường hợp này: $136 \times 20 = 2720$. Trường hợp 2: Chọn 1 điểm trên $d_1$ và 2 điểm trên $d_2$. - Số cách chọn 1 điểm trên $d_1$: $\binom{17}{1} = 17$. - Số cách chọn 2 điểm trên $d_2$: $\binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2} = 190$. - Tổng số cách chọn trong trường hợp này: $17 \times 190 = 3230$. Tổng số tam giác được tạo thành từ 37 điểm này là: \[ 2720 + 3230 = 5950 \] Vậy đáp án đúng là: C. 5950. Câu 11. Ta sẽ áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn để giải bài toán này. Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong đó, \( \binom{n}{k} \) là hệ số nhị thức. Áp dụng vào bài toán, ta có: \[ (2x - 3)^4 \] Ở đây, \( a = 2x \), \( b = -3 \), và \( n = 4 \). Theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn, số hạng trong khai triển của \((2x - 3)^4\) sẽ là: \[ \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (2x)^{4-k} (-3)^k \] Số hạng trong khai triển này sẽ là từ \( k = 0 \) đến \( k = 4 \). Do đó, tổng cộng có 5 số hạng. Vậy đáp án đúng là: C. 5 Đáp số: C. 5 Câu 12. Khi gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất, ta có 6 kết quả có thể xảy ra: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Trong đó, các số chẵn là: 2, 4, 6. Số lượng các kết quả có thể xảy ra là 6. Số lượng các kết quả mong muốn (số chẵn) là 3. Xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là: \[ P = \frac{\text{Số lượng kết quả mong muốn}}{\text{Số lượng kết quả có thể xảy ra}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Vậy đáp án đúng là B. $\frac{1}{2}$