Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA vuông góc với mặt phẳng ABCD góc giữa cạnh bên SC với mặt đáy là 45 độ. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Tính khoảng cách giữa ha...

Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Đáy ABCD là hình vuông cạnh a. - SA vuông góc với mặt phẳng ABCD. - Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là 45 độ. - M và N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Bước 1: Xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD). Do M là trung điểm của SA, nên M nằm trên đường thẳng SA và cách A một khoảng $\frac{a}{2}$. Mặt khác, do SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, nên SA cũng vuông góc với mặt phẳng SCD. Bước 2: Xác định khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD). Do B thuộc mặt phẳng ABCD và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, nên khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD sẽ là khoảng cách từ B đến đường thẳng SC. Bước 3: Xác định khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SCD). Do D thuộc mặt phẳng ABCD và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, nên khoảng cách từ D đến mặt phẳng SCD sẽ là khoảng cách từ D đến đường thẳng SC. Bước 4: Xác định khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (SCD). Do N là trung điểm của CD, nên N nằm trên đường thẳng CD và cách C một khoảng $\frac{a}{2}$. Mặt khác, do CD nằm trong mặt phẳng ABCD và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, nên khoảng cách từ N đến mặt phẳng SCD sẽ là khoảng cách từ N đến đường thẳng SC. Bước 5: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và MN. Do BD và MN là hai đường thẳng chéo nhau, nên khoảng cách giữa chúng sẽ là khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng MN. Ta có thể sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: \[ d = \frac{|(\vec{MN} \times \vec{BD}) \cdot \vec{MB}|}{|\vec{MN} \times \vec{BD}|} \] Trong đó: - $\vec{MN}$ là vectơ chỉ từ M đến N. - $\vec{BD}$ là vectơ chỉ từ B đến D. - $\vec{MB}$ là vectơ chỉ từ M đến B. Bước 6: Tính toán cụ thể. Do M là trung điểm của SA và N là trung điểm của CD, nên ta có: \[ \vec{MN} = \left(0, \frac{a}{2}, -\frac{a}{2}\right) \] \[ \vec{BD} = (-a, a, 0) \] \[ \vec{MB} = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -\frac{a}{2}\right) \] Tính tích vector: \[ \vec{MN} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & \frac{a}{2} & -\frac{a}{2} \\ -a & a & 0 \end{vmatrix} = \left( \frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{2} \right) \] Tính độ dài của tích vector: \[ |\vec{MN} \times \vec{BD}| = \sqrt{\left(\frac{a^2}{2}\right)^2 + \left(\frac{a^2}{2}\right)^2 + \left(\frac{a^2}{2}\right)^2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \] Tính tích vô hướng: \[ (\vec{MN} \times \vec{BD}) \cdot \vec{MB} = \left( \frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{2} \right) \cdot \left( -\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -\frac{a}{2} \right) = \frac{a^3}{4} - \frac{a^3}{4} - \frac{a^3}{4} = -\frac{a^3}{4} \] Cuối cùng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và MN là: \[ d = \frac{|-\frac{a^3}{4}|}{\frac{a^2 \sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{a^3}{4}}{\frac{a^2 \sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{2 \sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] Đáp số: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và MN là $\frac{a \sqrt{3}}{6}$.