Trả lời câu hỏi Câu 1. Có hai hộp chứa các viên bi chỉ khác nhau về màu. Hộp thứ nhất chứa 6 bi xanh, 3 bi vàng, 1 bi đỏ.,Hộp thứ hai chứa 4 bi xanh, 2 vàng, 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp hai viên bi. Tính xác suất,để lấy được bốn viên bi màu xanh.,Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại,$B,~BC=a,$ cạnh bên SA vuông góc với,đáy, $SA=a\sqrt3.$ Gọi M là trung điểm của AC . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBM) và (SAB)?

Question

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5394409,"userName":"Apple_mFCusKoKepdXNqVpcVhncrELvQm1"}

Câu 1:

Gọi $A$ là biến cố lấy được 4 viên bi màu xanh.

Số cách lấy 2 viên bi từ hộp thứ nhất là $C_{10}^2 = \frac{10 imes 9}{2} = 45$.

Số cách lấy 2 viên bi xanh từ hộp thứ nhất là $C_6^2 = \frac{6 imes 5}{2} = 15$.

Xác suất lấy 2 viên bi xanh từ hộp thứ nhất là $P_1 = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$.

Số cách lấy 2 viên bi từ hộp thứ hai là $C_9^2 = \frac{9 imes 8}{2} = 36$.

Số cách lấy 2 viên bi xanh từ hộp thứ hai là $C_4^2 = \frac{4 imes 3}{2} = 6$.

Xác suất lấy 2 viên bi xanh từ hộp thứ hai là $P_2 = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Xác suất lấy được 4 viên bi màu xanh là

$P(A) = P_1 imes P_2 = \frac{1}{3} imes \frac{1}{6} = \frac{1}{18}$.

Câu 2:

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$. Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $BH \perp AC$.

Mà $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AC$.

Do đó $AC \perp (SBH)$.

Suy ra $AC \perp SB$.

Mà $M$ là trung điểm $AC$ nên $AC \perp SM$.

Vì $SB \subset (SAB)$, $SM \subset (SBM)$, $AC \perp SB$, $AC \perp SM$ nên góc giữa hai mặt phẳng $(SBM)$ và $(SAB)$ là góc giữa $SM$ và $SB$.

Ta có: $BC=a$ nên $AB=AC=a\sqrt{2}$.

$SA = a\sqrt{3}$, $BH = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Trong tam giác vuông $SAB$: $SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{3a^2 + 2a^2} = a\sqrt{5}$.

Trong tam giác vuông $SBH$: $SH = \sqrt{SB^2 - BH^2} = \sqrt{5a^2 - \frac{a^2}{2}} = \frac{3a}{\sqrt{2}}$.

Trong tam giác vuông $SAM$: $SM = \sqrt{SA^2 + AM^2} = \sqrt{3a^2 + \frac{2a^2}{4}} = a\sqrt{\frac{7}{2}}$.

Xét tam giác $SBM$: $SB = a\sqrt{5}$, $SM = a\sqrt{\frac{7}{2}}$, $BM = \sqrt{BC^2 + CM^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.

$\cos\widehat{BSM} = \frac{SB^2 + SM^2 - BM^2}{2SB.SM} = \frac{5a^2 + \frac{7a^2}{2} - \frac{3a^2}{2}}{2a\sqrt{5} \cdot a\sqrt{\frac{7}{2}}} = \frac{7a^2}{2\sqrt{\frac{35}{2}}a^2} = \frac{\sqrt{70}}{10}$.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(SBM)$ và $(SAB)$ là $\arccos\frac{\sqrt{70}}{10}$.

Timi · Answer

Câu 1.
Để tính xác suất lấy được 4 viên bi màu xanh từ mỗi hộp, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính xác suất lấy 2 viên bi xanh từ hộp thứ nhất:
   - Tổng số viên bi trong hộp thứ nhất: $6 + 3 + 1 = 10$ viên.
   - Số cách chọn 2 viên bi từ 10 viên bi: $ C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = 45 $ cách.
   - Số cách chọn 2 viên bi xanh từ 6 viên bi xanh: $ C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = 15 $ cách.
   - Xác suất lấy 2 viên bi xanh từ hộp thứ nhất:
     $$
     P_1 = \frac{C_6^2}{C_{10}^2} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}
     $$

2. Tính xác suất lấy 2 viên bi xanh từ hộp thứ hai:
   - Tổng số viên bi trong hộp thứ hai: $4 + 2 + 3 = 9$ viên.
   - Số cách chọn 2 viên bi từ 9 viên bi: $ C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = 36 $ cách.
   - Số cách chọn 2 viên bi xanh từ 4 viên bi xanh: $ C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6 $ cách.
   - Xác suất lấy 2 viên bi xanh từ hộp thứ hai:
     $$
     P_2 = \frac{C_4^2}{C_9^2} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}
     $$

3. Tính xác suất lấy được 4 viên bi màu xanh từ cả hai hộp:
   - Vì hai sự kiện này độc lập, xác suất lấy được 4 viên bi màu xanh từ cả hai hộp là tích của xác suất của hai sự kiện:
     $$
     P = P_1 \times P_2 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{18}
     $$

Vậy xác suất lấy được 4 viên bi màu xanh từ mỗi hộp là $\frac{1}{18}$.

Câu 2.
Để tính góc giữa hai mặt phẳng (SBM) và (SAB), ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:
   - Mặt phẳng (SBM) và (SAB) có giao tuyến chung là SB.

2. Tìm đường vuông góc từ điểm M đến SB:
   - Vì M là trung điểm của AC, ta có BM vuông góc với AC (do ABC là tam giác vuông cân tại B).
   - Mặt khác, SA vuông góc với đáy ABC, nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong đáy, bao gồm SB.
   - Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SBM) và (SAB) sẽ là góc giữa đường thẳng BM và SA.

3. Tính góc giữa BM và SA:
   - Xét tam giác ABC, vì ABC là tam giác vuông cân tại B, nên AC = a√2 và BM = $\frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
   - Xét tam giác SAB, SA = a√3 và AB = a.
   - Ta có góc giữa BM và SA là góc giữa đường thẳng BM và SA, tức là góc giữa đường thẳng BM và đường thẳng SA.

4. Tính góc giữa BM và SA:
   - Xét tam giác SAB, ta có:
     $$
     \cos(\angle ASB) = \frac{AB^2 + SA^2 - SB^2}{2 \cdot AB \cdot SA}
     $$
     - Ta biết rằng SB = $\sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
     - Thay vào công thức:
     $$
     \cos(\angle ASB) = \frac{a^2 + (a\sqrt{3})^2 - (2a)^2}{2 \cdot a \cdot a\sqrt{3}} = \frac{a^2 + 3a^2 - 4a^2}{2a^2\sqrt{3}} = \frac{0}{2a^2\sqrt{3}} = 0
     $$
     - Vậy $\angle ASB = 90^\circ$.

5. Kết luận:
   - Góc giữa hai mặt phẳng (SBM) và (SAB) là góc giữa đường thẳng BM và SA, tức là góc giữa đường thẳng BM và đường thẳng SA.
   - Vì SA vuông góc với đáy ABC, nên góc giữa BM và SA là góc vuông, tức là 90°.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBM) và (SAB) là 90°.