vẽ hình và giải Bài 6: (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao AD, B,$(D\in BC;E\in AC)$ lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là M và N.,a) Chứng minh rằng: bốn điểm A, E, D, B nằm trên một đường tròn. Xác định tâm I của,đường tròn đó.,b) Chứng minh rằng: $MN//DE.$,c) Cho (O) và dây AB cố định. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam,giác CDE luôn không đổi khi điểm C di chuyển trên cung lớn AB.

Question

Accepted Answer

{"userId":5378832,"userName":"Tuấn Anh Nguyễn"}

a)

Tứ giác $AEDB$ có $\widehat{AEB} = \widehat{ADB} = 90^\circ$ (do AD, BE là đường cao) nên AEDB là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AB. Tâm I của đường tròn này là trung điểm của AB.

b)

Ta có:

$\widehat{MDA} = \widehat{DBA}$ (cùng chắn cung MA)

$\widehat{NEA} = \widehat{EBA}$ (cùng chắn cung NA)

Mà $\widehat{DBA} = \widehat{EBA}$ (cùng phụ với $\widehat{CAB}$)

Suy ra $\widehat{MDA} = \widehat{NEA}$

Hay $\widehat{MDN} = \widehat{NED}$

Do đó $MN // DE$ (hai góc so le trong bằng nhau)

c)

Gọi $R'$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDE$ .

$\widehat{CDE} = 180^\circ - \widehat{ADB} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

$\widehat{CED} = 180^\circ - \widehat{AEB} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Tứ giác $CDEH$ là hình chữ nhật với H là trực tâm tam giác $ABC$

$DE = CH$ .

Theo định lý sin trong tam giác CDE: $\frac{DE}{sinC} = 2R'$

$R' = \frac{DE}{2sinC} = \frac{CH}{2sinC}$

$\widehat{HCB} = \widehat{DAB}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)

$CH = CB.sin\widehat{HCB} = CB.sin\widehat{DAB} = a.sin\widehat{DAB}$

$sinC = \frac{c}{2R}$

$R' = \frac{a.sin\widehat{DAB}}{2\frac{c}{2R}} = \frac{a.sin\widehat{DAB}.R}{c} = \frac{a.sin\widehat{DAB}.R}{AB.sinA}$

$\frac{sinA}{a} = \frac{sinB}{b} = \frac{sinC}{c} = \frac{1}{2R}$

$R' = \frac{a.\frac{AD}{AC}.R}{AB\frac{a}{2R}} = \frac{AD.R}{AC.\frac{AB}{2R}} = \frac{AD.R}{\frac{b.AB}{2R}} = \frac{AD.R}{\frac{b.c}{2R\frac{sinC}{c}}} = \frac{AD.R}{\frac{b}{2R.\frac{1}{c}}} = \frac{AD.R}{b} = R$

Vì $AD, BE$ là đường cao nên $AD.AC = BE.BC$

$R' = R$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE bằng R và không đổi khi C di chuyển trên cung lớn AB.