Toantwontao

Câu 11. Tổng số bút bi trong hộp là: 25 + 10 + 30 + 15 = 80 (chiếc bút bi) Số bút bi màu tím và màu đỏ là: 10 + 15 = 25 (chiếc bút bi) Xác suất của biến cố H: "Lấy được chiếc bút bi màu tím hoặc màu đỏ" là: \frac{25}{80} = 0,3125 Đáp số: 0,3125 Câu 12. Câu 13 a) Thực hiện phép tính: \[ \frac{5x-1}{x-2} - \frac{x+7}{x-2} \] Để thực hiện phép trừ hai phân thức có cùng mẫu số, ta trừ tử số của phân thức thứ nhất cho tử số của phân thức thứ hai: \[ \frac{5x-1-(x+7)}{x-2} = \frac{5x-1-x-7}{x-2} = \frac{4x-8}{x-2} \] Rút gọn phân thức: \[ \frac{4(x-2)}{x-2} = 4 \quad \text{(với } x \neq 2) \] b) Thực hiện phép tính: \[ \frac{5x-1}{x-2} - \frac{x^2+x-2}{x^2-4} \] Nhận thấy rằng \(x^2 - 4\) có thể phân tích thành \((x-2)(x+2)\): \[ \frac{5x-1}{x-2} - \frac{x^2+x-2}{(x-2)(x+2)} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{(5x-1)(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{x^2+x-2}{(x-2)(x+2)} \] Trừ tử số của phân thức thứ nhất cho tử số của phân thức thứ hai: \[ \frac{(5x-1)(x+2) - (x^2+x-2)}{(x-2)(x+2)} \] Mở ngoặc và rút gọn: \[ \frac{5x^2 + 10x - x - 2 - x^2 - x + 2}{(x-2)(x+2)} = \frac{4x^2 + 8x}{(x-2)(x+2)} = \frac{4x(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{4x}{x-2} \quad \text{(với } x \neq 2 \text{ và } x \neq -2) \] Câu 14 a) Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật là 66 m. Chiều rộng ngắn hơn chiều dài là 3 m. Ta gọi chiều dài là \(x\) (m), chiều rộng là \(x - 3\) (m). Chu vi của hình chữ nhật là: \[ 2(x + x - 3) = 66 \] Giải phương trình: \[ 2(2x - 3) = 66 \implies 4x - 6 = 66 \implies 4x = 72 \implies x = 18 \] Chiều dài là 18 m, chiều rộng là \(18 - 3 = 15\) m. Diện tích của mảnh vườn là: \[ 18 \times 15 = 270 \text{ m}^2 \] b) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 25 km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 30 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Ta gọi quãng đường AB là \(x\) (km). Thời gian đi là \(\frac{x}{25}\) giờ, thời gian về là \(\frac{x}{30}\) giờ. Ta có: \[ \frac{x}{25} - \frac{x}{30} = \frac{1}{3} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{6x - 5x}{150} = \frac{1}{3} \implies \frac{x}{150} = \frac{1}{3} \implies x = 50 \] Quãng đường AB là 50 km. Câu 14A a) Tìm \(m\) để đường thẳng \(y = (3m-2)x + 2\) song song với đường thẳng \(y = 2mx - 1\): Hai đường thẳng song song khi hệ số góc của chúng bằng nhau: \[ 3m - 2 = 2m \implies m = 2 \] b) Với \(m = 2\), hệ số góc của đường thẳng \(y = (3m-2)x + 2\) là: \[ 3(2) - 2 = 4 \] Câu 14B a) Tính giá trị của hàm số \(y = -3x + 2\) khi \(x = \frac{1}{3}\): \[ y = -3 \left(\frac{1}{3}\right) + 2 = -1 + 2 = 1 \] b) Tìm hai đường thẳng song song: - Đường thẳng \(y = 3 - 2x\) có hệ số góc là \(-2\). - Đường thẳng \(y = -2x\) có hệ số góc là \(-2\). - Đường thẳng \(y = 2x + 4\) có hệ số góc là \(2\). Hai đường thẳng song song là \(y = 3 - 2x\) và \(y = -2x\) vì chúng có cùng hệ số góc là \(-2\). Câu 15. Để tính xác suất của các biến cố, ta sẽ thực hiện theo các bước sau: a) Biến cố A: "Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số nhỏ hơn 7" - Các số nhỏ hơn 7 trên đĩa là: 1, 2, 3, 4, 5, 6. - Số lượng các số nhỏ hơn 7 là 6. - Tổng số hình quạt trên đĩa là 8. Xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = \frac{\text{số lượng các số nhỏ hơn 7}}{\text{tổng số hình quạt}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \] b) Biến cố B: "Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số là bội của 4" - Các số là bội của 4 trên đĩa là: 4, 8. - Số lượng các số là bội của 4 là 2. - Tổng số hình quạt trên đĩa là 8. Xác suất của biến cố B là: \[ P(B) = \frac{\text{số lượng các số là bội của 4}}{\text{tổng số hình quạt}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \] Đáp số: a) Xác suất của biến cố A là $\frac{3}{4}$. b) Xác suất của biến cố B là $\frac{1}{4}$. Câu 16 A. Cho tam giác ABC vuông tại A và có đường cao AH $(H\in BC).$ Biết $AB=27~cm,~AC=36$ cm. a) Chứng minh $\Delta HBA\backsim\Delta ABC.$ b) Tính độ dài đường cao AH. a) Chứng minh $\Delta HBA\backsim\Delta ABC:$ Ta có $\angle BAH = \angle CAB$ (cùng bằng góc A) và $\angle AHB = \angle ACB$ (góc vuông). Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có $\Delta HBA \backsim \Delta ABC.$ b) Tính độ dài đường cao AH: Áp dụng tính chất của tam giác đồng dạng, ta có: \[ \frac{AH}{AB} = \frac{AB}{BC} \] Tính độ dài cạnh BC bằng định lý Pythagoras: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{27^2 + 36^2} = \sqrt{729 + 1296} = \sqrt{2025} = 45 \text{ cm} \] Thay vào tỉ lệ trên: \[ \frac{AH}{27} = \frac{27}{45} \] Giải ra ta được: \[ AH = 27 \times \frac{27}{45} = 27 \times \frac{3}{5} = \frac{81}{5} = 16.2 \text{ cm} \] Đáp số: $AH = 16.2 \text{ cm}$ B. Cho tam giác ABC vuông tại A và có đường cao AH $(H\in BC).$ Biết $AB=12~cm,~AC=16$ cm. a) Chứng minh $\Delta HAC\backsim\Delta ABC.$ b) Tính độ dài đường cao AH. a) Chứng minh $\Delta HAC\backsim\Delta ABC:$ Ta có $\angle CAH = \angle CAB$ (cùng bằng góc A) và $\angle AHC = \angle ACB$ (góc vuông). Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có $\Delta HAC \backsim \Delta ABC.$ b) Tính độ dài đường cao AH: Áp dụng tính chất của tam giác đồng dạng, ta có: \[ \frac{AH}{AC} = \frac{AC}{BC} \] Tính độ dài cạnh BC bằng định lý Pythagoras: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ cm} \] Thay vào tỉ lệ trên: \[ \frac{AH}{16} = \frac{16}{20} \] Giải ra ta được: \[ AH = 16 \times \frac{16}{20} = 16 \times \frac{4}{5} = \frac{64}{5} = 12.8 \text{ cm} \] Đáp số: $AH = 12.8 \text{ cm}$ Câu 17A. Giải phương trình: $x^3 - 9x^2 + 19x - 11 = 0.$ Phương pháp giải: - Ta thử lần lượt các giá trị nguyên gần 0 để tìm nghiệm của phương trình. - Sau khi tìm được một nghiệm, ta thực hiện phép chia đa thức để tìm các nghiệm còn lại. Thử nghiệm các giá trị nguyên gần 0: - Thử $x = 1$: $1^3 - 9 \cdot 1^2 + 19 \cdot 1 - 11 = 1 - 9 + 19 - 11 = 0$. Vậy $x = 1$ là một nghiệm của phương trình. Phân tích đa thức thành nhân tử: \[ x^3 - 9x^2 + 19x - 11 = (x - 1)(x^2 - 8x + 11) \] Giải phương trình bậc hai $x^2 - 8x + 11 = 0$ bằng phương pháp hoàn chỉnh bình phương: \[ x^2 - 8x + 11 = 0 \] \[ (x - 4)^2 - 16 + 11 = 0 \] \[ (x - 4)^2 - 5 = 0 \] \[ (x - 4)^2 = 5 \] \[ x - 4 = \pm \sqrt{5} \] \[ x = 4 \pm \sqrt{5} \] Vậy các nghiệm của phương trình là: \[ x = 1, \quad x = 4 + \sqrt{5}, \quad x = 4 - \sqrt{5} \] Đáp số: $x = 1$, $x = 4 + \sqrt{5}$, $x = 4 - \sqrt{5}$. Câu 17 Để giải phương trình $\frac{x^2+2024x-1}{2024}+\frac{x^2+2024x-4048}{2023}=\frac{x^2+2024x}{2025}+\frac{x^2+2024x-4051}{2026}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Nhóm các phân thức lại: Ta thấy rằng các phân thức có dạng tương tự nhau, do đó chúng ta có thể nhóm chúng lại để dễ dàng hơn trong việc giải phương trình. 2. Tìm mẫu chung: Ta nhận thấy rằng các mẫu số của các phân thức đều liên quan đến các số gần nhau (2024, 2023, 2025, 2026). Chúng ta sẽ tìm mẫu chung của các phân thức này. 3. Quy đồng mẫu số: Để quy đồng mẫu số, ta sẽ nhân cả hai vế của phương trình với mẫu số chung của các phân thức. 4. Giải phương trình: Sau khi quy đồng mẫu số, ta sẽ giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai (nếu có) để tìm nghiệm của phương trình. Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một: Bước 1: Nhóm các phân thức lại Ta có phương trình: \[ \frac{x^2+2024x-1}{2024} + \frac{x^2+2024x-4048}{2023} = \frac{x^2+2024x}{2025} + \frac{x^2+2024x-4051}{2026} \] Bước 2: Tìm mẫu chung Mẫu chung của các phân thức là \(2024 \times 2023 \times 2025 \times 2026\). Bước 3: Quy đồng mẫu số Nhân cả hai vế của phương trình với mẫu chung: \[ (2024 \times 2023 \times 2025 \times 2026) \left( \frac{x^2+2024x-1}{2024} + \frac{x^2+2024x-4048}{2023} \right) = (2024 \times 2023 \times 2025 \times 2026) \left( \frac{x^2+2024x}{2025} + \frac{x^2+2024x-4051}{2026} \right) \] Bước 4: Giải phương trình Sau khi quy đồng mẫu số, ta sẽ có phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Ta sẽ giải phương trình này để tìm nghiệm của \(x\). Cuối cùng, ta sẽ kiểm tra các nghiệm tìm được để đảm bảo chúng thỏa mãn điều kiện của bài toán. Kết luận Sau khi thực hiện các bước trên, ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình. Các nghiệm này sẽ là các giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình ban đầu. Đáp số: \(x = ?\)