Njdkdjdkdbdkdkdkdk

Câu 12 Để tính tích phân $\int^4_2 f(x) \, dx$, ta sử dụng định lý Newton-Leibniz, theo đó: \[ \int^b_a f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] Trong đó, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Áp dụng vào bài toán này, ta có: \[ \int^4_2 f(x) \, dx = F(4) - F(2) \] Biết rằng $F(2) = 6$ và $F(4) = 12$, ta thay vào công thức trên: \[ \int^4_2 f(x) \, dx = 12 - 6 = 6 \] Vậy tích phân $\int^4_2 f(x) \, dx$ bằng 6. Đáp án đúng là: B. 6. Câu 1. a) $\int^b_af(x)dx=\int^b_af(y)dy$: Đúng vì việc thay đổi biến số trong tích phân không ảnh hưởng đến giá trị của tích phân. Biến số trong dấu tích phân chỉ là biến giả, do đó ta có thể thay $x$ bằng $y$ hoặc bất kỳ biến nào khác mà không làm thay đổi giá trị tích phân. b) $\int^b(f(x)+g(x))dx=\int^b_af(x)dx+\int^b_ag(x)dx$: Đúng vì tính chất tuyến tính của tích phân. Tích phân của tổng của hai hàm số bằng tổng của các tích phân của từng hàm số. c) $\int^b_af(x)dx=\int^b_af(t)dx$: Sai vì trong tích phân, biến số trong dấu tích phân phải giống với biến số trong giới hạn tích phân. Do đó, nếu ta thay $x$ bằng $t$, thì giới hạn tích phân cũng phải thay đổi từ $a$ và $b$ thành $t(a)$ và $t(b)$ tương ứng. d) $\int^b_a(f(x)g(x))dx=\int^b_af(x)dx\int^b_ag(x)dx$: Sai vì tích phân của tích của hai hàm số không bằng tích của các tích phân của từng hàm số. Đây là một sai lầm phổ biến khi hiểu sai về tính chất của tích phân. Kết luận: - a) Đúng - b) Đúng - c) Sai - d) Sai Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính số viên bi màu đỏ có đánh số: - Số viên bi màu đỏ có đánh số là \( 50 \times 0.60 = 30 \). 2. Tính số viên bi màu vàng có đánh số: - Số viên bi màu vàng có đánh số là \( 30 \times 0.50 = 15 \). 3. Tính tổng số viên bi có đánh số: - Tổng số viên bi có đánh số là \( 30 + 15 = 45 \). 4. Tính số viên bi không đánh số: - Số viên bi không đánh số là \( 80 - 45 = 35 \). 5. Tính xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số: - Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là \( \frac{45}{80} = \frac{9}{16} \). 6. Tính xác suất để viên bi được lấy ra không đánh số: - Xác suất để viên bi được lấy ra không đánh số là \( \frac{35}{80} = \frac{7}{16} \). Vậy đáp án đúng là: a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là 30. b) Số viên bi không đánh số là 35. c) Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là \( \frac{9}{16} \). d) Xác suất để viên bi được lấy ra không đánh số là \( \frac{7}{16} \). Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định thể tích của các khối tròn xoay a) Thể tích của khối tròn xoay từ $y = 0$, $y = \frac{1}{2}\sqrt{x}$, $x = 0$, $x = 4$ Thể tích $V_2$ của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 0$, $y = \frac{1}{2}\sqrt{x}$, $x = 0$, $x = 4$ quanh trục Ox là: \[ V_2 = \pi \int_{0}^{4} \left(\frac{1}{2}\sqrt{x}\right)^2 \, dx \] \[ V_2 = \pi \int_{0}^{4} \frac{1}{4}x \, dx \] \[ V_2 = \frac{\pi}{4} \int_{0}^{4} x \, dx \] \[ V_2 = \frac{\pi}{4} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} \] \[ V_2 = \frac{\pi}{4} \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) \] \[ V_2 = \frac{\pi}{4} \cdot 8 \] \[ V_2 = 2\pi \] b) Thể tích của khối tròn xoay từ $y = 0$, $y = \sqrt{x}$, $x = 0$, $x = 4$ Thể tích $V_1$ của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 0$, $y = \sqrt{x}$, $x = 0$, $x = 4$ quanh trục Ox là: \[ V_1 = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 \, dx \] \[ V_1 = \pi \int_{0}^{4} x \, dx \] \[ V_1 = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} \] \[ V_1 = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) \] \[ V_1 = \pi \cdot 8 \] \[ V_1 = 8\pi \] Bước 2: Tính tỉ số giữa hai thể tích Tỉ số giữa thể tích $V_2$ và thể tích $V_1$ là: \[ \frac{V_2}{V_1} = \frac{2\pi}{8\pi} = \frac{1}{4} \] Bước 3: Tính thể tích của vật thể được tạo thành khi quay hình phẳng D quanh trục Ox Hình phẳng D giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$, $y = \frac{1}{2}\sqrt{x}$ và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 4$. Thể tích của vật thể được tạo thành khi quay hình phẳng D quanh trục Ox là: \[ V = V_1 - V_2 \] \[ V = 8\pi - 2\pi \] \[ V = 6\pi \] Bước 4: Làm tròn kết quả đến hàng phần chục \[ V \approx 6 \times 3.14159 \approx 18.84954 \] Làm tròn đến hàng phần chục: \[ V \approx 18.8 \, \text{(cm}^3\text{)} \] Đáp số: \[ V \approx 18.8 \, \text{(cm}^3\text{)} \] Câu 4. a) Mặt phẳng $(P): x + 2y - 3z - 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1; 2; -3)$. b) Đường thẳng qua điểm $A(1; 3; -2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ sẽ có phương hướng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Do đó, phương trình đường thẳng này là: \[ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{-3} \] c) Để tìm tọa độ hình chiếu của điểm $A(1; 3; -2)$ lên mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng đi qua điểm $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$: \[ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{-3} = t \] Từ đây, ta có: \[ x = 1 + t \] \[ y = 3 + 2t \] \[ z = -2 - 3t \] Bước 2: Thay các biểu thức trên vào phương trình của mặt phẳng $(P)$ để tìm giá trị của tham số $t$: \[ (1 + t) + 2(3 + 2t) - 3(-2 - 3t) - 5 = 0 \] \[ 1 + t + 6 + 4t + 6 + 9t - 5 = 0 \] \[ 14t + 8 = 0 \] \[ t = -\frac{4}{7} \] Bước 3: Thay giá trị của $t$ vào các biểu thức của $x$, $y$, và $z$ để tìm tọa độ của điểm hình chiếu $H$: \[ x = 1 + (-\frac{4}{7}) = \frac{3}{7} \] \[ y = 3 + 2(-\frac{4}{7}) = 3 - \frac{8}{7} = \frac{13}{7} \] \[ z = -2 - 3(-\frac{4}{7}) = -2 + \frac{12}{7} = -\frac{2}{7} \] Do đó, tọa độ của hình chiếu của điểm $A$ lên mặt phẳng $(P)$ là: \[ H\left(\frac{3}{7}; \frac{13}{7}; -\frac{2}{7}\right) \] Đáp số: a) $\overrightarrow{n} = (1; 2; -3)$ b) Phương trình đường thẳng: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{-3}$ c) Tọa độ hình chiếu của $A$ lên $(P)$: $H\left(\frac{3}{7}; \frac{13}{7}; -\frac{2}{7}\right)$