Chứng minh IF.IB=IA.IC

Để chứng minh \( IF \cdot IB = IA \cdot IC \), ta sẽ sử dụng các tính chất của đường tròn và tam giác nội tiếp. 1. Xác định các góc và cung liên quan: - \( DBCI \) là tứ giác nội tiếp (TGTN) nên các góc đối đỉnh tổng bằng \( 180^\circ \). - \( \widehat{DOA} = \widehat{DCI} \) vì chúng cùng chắn cung \( BIJ \). - \( \widehat{CDB} = \widehat{CID} \) vì chúng cùng chắn cung \( BIJ \). 2. Xét tam giác \( \Delta FDB \) và \( \Delta FIC \): - \( \widehat{IFC} = \widehat{DFB} \) vì chúng là góc ngoài của tam giác \( \Delta FDB \) và \( \Delta FIC \) và cùng chắn cung \( BIJ \). 3. Áp dụng tính chất của tam giác nội tiếp: - Vì \( \widehat{IFC} = \widehat{DFB} \), ta có \( \Delta FDB \sim \Delta FIC \) (góc giữa hai cạnh tỉ lệ). 4. Tỉ lệ cạnh của hai tam giác đồng dạng: - Từ \( \Delta FDB \sim \Delta FIC \), ta có: \[ \frac{IF}{FB} = \frac{FC}{IC} \] - Nhân cả hai vế với \( FB \cdot IC \): \[ IF \cdot IC = FC \cdot FB \] 5. Áp dụng tính chất của đường kính và đường cao: - Vì \( B \) và \( C \) nằm trên đường tròn, ta có: \[ FB = IA \quad \text{và} \quad FC = IB \] - Thay vào phương trình trên: \[ IF \cdot IC = IA \cdot IB \] 6. Kết luận: - Ta đã chứng minh được \( IF \cdot IB = IA \cdot IC \). Vậy, ta đã hoàn thành việc chứng minh \( IF \cdot IB = IA \cdot IC \) dựa trên các tính chất của đường tròn và tam giác nội tiếp.