Giải giúp e từ câu 31 đến hết với ạaa😿

Câu 31. Để giải quyết các yêu cầu của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này. Trung vị là giá trị ở giữa của một tập dữ liệu khi nó được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Với dữ liệu đã được nhóm, chúng ta cần xác định nhóm chứa trung vị. Tổng số học sinh: \[ 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56 \] Vì số lượng học sinh là 56 (số chẵn), trung vị nằm ở giữa hai giá trị thứ 28 và 29. - Nhóm [9,5; 12,5) có 3 học sinh. - Nhóm [12,5; 15,5) có 12 học sinh. - Nhóm [15,5; 18,5) có 15 học sinh. - Nhóm [18,5; 21,5) có 24 học sinh. - Nhóm [21,5; 24,5) có 2 học sinh. Tổng số học sinh từ nhóm đầu tiên đến nhóm [15,5; 18,5): \[ 3 + 12 + 15 = 30 \] Như vậy, trung vị nằm trong nhóm [15,5; 18,5). Công thức tính trung vị trong nhóm: \[ M = L + \left( \frac{\frac{n}{2} - F}{f} \right) \times w \] Trong đó: - \( L \) là giới hạn dưới của nhóm chứa trung vị (15,5). - \( n \) là tổng số quan sát (56). - \( F \) là tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa trung vị (3 + 12 = 15). - \( f \) là tần số của nhóm chứa trung vị (15). - \( w \) là khoảng rộng của nhóm (18,5 - 15,5 = 3). Áp dụng công thức: \[ M = 15,5 + \left( \frac{28 - 15}{15} \right) \times 3 \] \[ M = 15,5 + \left( \frac{13}{15} \right) \times 3 \] \[ M = 15,5 + 2,6 \] \[ M = 18,1 \] Vậy trung vị của mẫu số liệu là 18,1 phút. b) Tìm mốt của dãy số liệu trên. Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong một tập dữ liệu. Trong trường hợp này, nhóm có tần số cao nhất là nhóm [18,5; 21,5) với 24 học sinh. Vậy mốt của dãy số liệu là nhóm [18,5; 21,5). c) Tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên. Tứ phân vị thứ nhất (Q1) là giá trị ở vị trí 1/4 tổng số quan sát. Tổng số học sinh là 56, nên Q1 nằm ở vị trí: \[ \frac{56}{4} = 14 \] Tổng số học sinh từ nhóm đầu tiên đến nhóm [12,5; 15,5): \[ 3 + 12 = 15 \] Như vậy, Q1 nằm trong nhóm [12,5; 15,5). Công thức tính Q1 trong nhóm: \[ Q1 = L + \left( \frac{\frac{n}{4} - F}{f} \right) \times w \] Trong đó: - \( L \) là giới hạn dưới của nhóm chứa Q1 (12,5). - \( n \) là tổng số quan sát (56). - \( F \) là tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa Q1 (3). - \( f \) là tần số của nhóm chứa Q1 (12). - \( w \) là khoảng rộng của nhóm (15,5 - 12,5 = 3). Áp dụng công thức: \[ Q1 = 12,5 + \left( \frac{14 - 3}{12} \right) \times 3 \] \[ Q1 = 12,5 + \left( \frac{11}{12} \right) \times 3 \] \[ Q1 = 12,5 + 2,75 \] \[ Q1 = 15,25 \] Vậy tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là 15,25 phút. d) Tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm trên. Tứ phân vị thứ ba (Q3) là giá trị ở vị trí 3/4 tổng số quan sát. Tổng số học sinh là 56, nên Q3 nằm ở vị trí: \[ \frac{3 \times 56}{4} = 42 \] Tổng số học sinh từ nhóm đầu tiên đến nhóm [18,5; 21,5): \[ 3 + 12 + 15 + 24 = 54 \] Như vậy, Q3 nằm trong nhóm [18,5; 21,5). Công thức tính Q3 trong nhóm: \[ Q3 = L + \left( \frac{\frac{3n}{4} - F}{f} \right) \times w \] Trong đó: - \( L \) là giới hạn dưới của nhóm chứa Q3 (18,5). - \( n \) là tổng số quan sát (56). - \( F \) là tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa Q3 (3 + 12 + 15 = 30). - \( f \) là tần số của nhóm chứa Q3 (24). - \( w \) là khoảng rộng của nhóm (21,5 - 18,5 = 3). Áp dụng công thức: \[ Q3 = 18,5 + \left( \frac{42 - 30}{24} \right) \times 3 \] \[ Q3 = 18,5 + \left( \frac{12}{24} \right) \times 3 \] \[ Q3 = 18,5 + 1,5 \] \[ Q3 = 20 \] Vậy tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là 20 phút. Đáp số: a) Trung vị: 18,1 phút. b) Mốt: Nhóm [18,5; 21,5). c) Tứ phân vị thứ nhất: 15,25 phút. d) Tứ phân vị thứ ba: 20 phút. Câu 32. a) $y'=(3x^{3}+2\sin x-e^{3})'=9x^{2}+2\cos x$ b) $y'=\left(\sin (\frac{\pi }{6}-3x)\right)'=-3\cos (\frac{\pi }{6}-3x)$ c) $y'=(\ln 2x)'=\frac{1}{x}$ d) $y'=((2x^{2}+2)(x+1))'=(2x^{2}+2)'(x+1)+(2x^{2}+2)(x+1)'=4x(x+1)+(2x^{2}+2)=6x^{2}+4x+2$ e) $y'=\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)'=\frac{(2x+1)'(x-1)-(2x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2}}=\frac{2(x-1)-(2x+1)}{(x-1)^{2}}=\frac{-3}{(x-1)^{2}}$ f) $y'=(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ Câu 33. a) Ta có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Do đó, góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD) chính là góc SDA. Trong tam giác vuông SAD, ta có: \[ \tan(\angle SDA) = \frac{SA}{AD} = \frac{2a}{a} = 2 \] Vậy góc SDA là góc có tang bằng 2. b) Để tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD), ta thực hiện các bước sau: - Xác định đường cao hạ từ A xuống mặt phẳng (SCD) tại điểm H. - Diện tích tam giác SCD: \[ S_{SCD} = \frac{1}{2} \times CD \times SO = \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{(2a)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{4a^2 + \frac{a^2}{2}} = \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{\frac{9a^2}{2}} = \frac{1}{2} \times a \times \frac{3a\sqrt{2}}{2} = \frac{3a^2\sqrt{2}}{4} \] - Diện tích tam giác SAC: \[ S_{SAC} = \frac{1}{2} \times AC \times SA = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times 2a = a^2\sqrt{2} \] - Diện tích tam giác SAD: \[ S_{SAD} = \frac{1}{2} \times AD \times SA = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2 \] - Tổng diện tích các mặt bên của hình chóp S.ACD: \[ S_{tổng} = S_{SAC} + S_{SAD} + S_{SCD} = a^2\sqrt{2} + a^2 + \frac{3a^2\sqrt{2}}{4} = a^2\left(\sqrt{2} + 1 + \frac{3\sqrt{2}}{4}\right) = a^2\left(\frac{7\sqrt{2}}{4} + 1\right) \] - Thể tích hình chóp S.ACD: \[ V_{S.ACD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA = \frac{1}{3} \times a^2 \times 2a = \frac{2a^3}{3} \] - Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD): \[ d = \frac{3V_{S.ACD}}{S_{tổng}} = \frac{3 \times \frac{2a^3}{3}}{a^2\left(\frac{7\sqrt{2}}{4} + 1\right)} = \frac{2a^3}{a^2\left(\frac{7\sqrt{2}}{4} + 1\right)} = \frac{2a}{\frac{7\sqrt{2}}{4} + 1} = \frac{8a}{7\sqrt{2} + 4} \] Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) là $\frac{8a}{7\sqrt{2} + 4}$. Câu 34. Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 3, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc. - Thay \( x = 3 \) vào hàm số \( f(x) = x^2 + 2x \): \[ f(3) = 3^2 + 2 \cdot 3 = 9 + 6 = 15 \] Vậy điểm tiếp xúc là \( (3, 15) \). Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \). \[ f'(x) = 2x + 2 \] Bước 3: Tìm giá trị của đạo hàm tại điểm có hoành độ bằng 3. \[ f'(3) = 2 \cdot 3 + 2 = 6 + 2 = 8 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là 8. Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \( (x_0, y_0) \) với hệ số góc \( k \) là: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] Thay \( (x_0, y_0) = (3, 15) \) và \( k = 8 \): \[ y - 15 = 8(x - 3) \] \[ y - 15 = 8x - 24 \] \[ y = 8x - 24 + 15 \] \[ y = 8x - 9 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 3 là: \[ y = 8x - 9 \] Câu 35. Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng -1, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc. - Thay \( x = -1 \) vào hàm số \( f(x) = 2x^2 - 1 \): \[ f(-1) = 2(-1)^2 - 1 = 2 - 1 = 1 \] Vậy điểm tiếp xúc là \( (-1, 1) \). Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \). \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - 1) = 4x \] Bước 3: Tìm giá trị của đạo hàm tại điểm có hoành độ bằng -1. \[ f'(-1) = 4(-1) = -4 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là \( m = -4 \). Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \( (x_0, y_0) \) với hệ số góc \( m \) là: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] Thay \( (x_0, y_0) = (-1, 1) \) và \( m = -4 \): \[ y - 1 = -4(x + 1) \] \[ y - 1 = -4x - 4 \] \[ y = -4x - 3 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng -1 là: \[ y = -4x - 3 \] Câu 36. Bất phương trình $3^{200} > 2$ luôn đúng vì $3^{200}$ là một số rất lớn, lớn hơn 2. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}$. Câu 37. Để giải bất phương trình $\log_3(x-1) > 3$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_3(x-1)$, ta cần đảm bảo rằng $x-1 > 0$. Do đó: \[ x > 1 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_3(x-1) > 3$. Để giải bất phương trình này, ta sử dụng tính chất của hàm logarit: \[ \log_3(x-1) > \log_3(3^3) \] - Vì $\log_3(3^3) = \log_3(27)$, nên ta có: \[ \log_3(x-1) > \log_3(27) \] - Hàm logarit cơ sở 3 là hàm đồng biến, do đó: \[ x-1 > 27 \] - Giải phương trình này: \[ x > 28 \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Điều kiện $x > 1$ đã được thỏa mãn trong quá trình giải bất phương trình. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình $\log_3(x-1) > 3$ là: \[ x > 28 \] Đáp số: $x > 28$. Câu 38. Điều kiện xác định: $2x + 1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}$ Bất phương trình đã cho là $\log_1(2x+1) \leq 2$. Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng $\log_1(y)$ không được định nghĩa vì cơ số của logarit phải lớn hơn 0 và khác 1. Do đó, bất phương trình này không có nghiệm nào. Kết luận: Bất phương trình không có nghiệm. Câu 39. Để xác định và tính góc nhị diện $[S;BC;A]$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định đường cao từ đỉnh S hạ thẳng đứng xuống đáy ABC: Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC, nên SA chính là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABC. 2. Xác định đường cao từ đỉnh A hạ thẳng đứng xuống cạnh BC: Vì tam giác ABC là tam giác đều, đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC sẽ đi qua trung điểm của BC. Gọi giao điểm này là D. 3. Xác định góc nhị diện: Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC chính là góc giữa đường thẳng SD và đường thẳng AD. Gọi góc này là $\alpha$. 4. Tính toán: - Ta biết rằng tam giác ABC đều có cạnh bằng a, do đó đường cao AD của tam giác ABC sẽ là: \[ AD = \frac{\sqrt{3}}{2}a \] - Vì SA vuông góc với mặt phẳng ABC, nên tam giác SAD là tam giác vuông tại A. Do đó, ta có: \[ SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{3}{4}a^2} = \sqrt{\frac{7}{4}a^2} = \frac{\sqrt{7}}{2}a \] 5. Tính góc $\alpha$: - Ta sử dụng công thức tính tỉ số lượng giác trong tam giác vuông: \[ \cos \alpha = \frac{AD}{SD} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{\sqrt{7}}{2}a} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7} \] - Vậy góc $\alpha$ là: \[ \alpha = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{21}}{7}\right) \] Kết luận: Góc nhị diện $[S;BC;A]$ là $\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{21}}{7}\right)$. Câu 40. Để xác định và tính góc nhị diện $[S;BC;A]$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định đường thẳng và mặt phẳng: - Mặt phẳng $(SBC)$ chứa đỉnh $S$ và cạnh $BC$ của đáy. - Mặt phẳng $(ABC)$ chứa đáy của hình chóp. 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: - Giao tuyến của $(SBC)$ và $(ABC)$ là đường thẳng $BC$. 3. Xác định góc nhị diện: - Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc giữa hai đường thẳng hạ từ đỉnh $S$ và $A$ vuông góc với giao tuyến $BC$. 4. Tính góc nhị diện: - Ta hạ đường cao $SH$ từ đỉnh $S$ xuống mặt phẳng $(ABC)$, vì $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy nên $H$ trùng với $A$. - Ta hạ đường cao $AK$ từ đỉnh $A$ xuống cạnh $BC$. Vì đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, nên $AK$ cũng là đường trung tuyến và đường cao của tam giác $ABC$. - Ta có $AK = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (vì trong tam giác vuông cân, đường cao ứng với cạnh huyền bằng $\frac{c}{2}$, ở đây $c = a\sqrt{2}$). 5. Tính góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $AK$: - Ta có $SA = a\sqrt{2}$ và $AK = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. - Góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $AK$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$. 6. Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng: - Ta có $\cos(\theta) = \frac{AK}{SA} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$. - Vậy $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$. Vậy góc nhị diện $[S;BC;A]$ là $60^\circ$. Câu 41. Để tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B với cạnh AB = BC = a. - Cạnh bên SA vuông góc với mặt phằng (ABC). - Điểm D là chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC). 2. Tìm khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC): - Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên SD chính là khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC). - Ta biết rằng \(SD = a\sqrt{3}\). 3. Tính khoảng cách từ C đến D: - Trong tam giác ABC, ta có: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \] - Vì D là chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC), nên D nằm trên đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Do đó, D cũng là trung điểm của AC trong tam giác vuông cân ABC. - Vậy: \[ CD = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] 4. Tính khoảng cách từ S đến C: - Trong tam giác SDC vuông tại D, ta có: \[ SC = \sqrt{SD^2 + DC^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{3a^2 + \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{3a^2 + \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{6a^2 + a^2}{2}} = \sqrt{\frac{7a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{7}{2}} \] 5. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC): - Gọi góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là \(\theta\). - Trong tam giác SDC vuông tại D, ta có: \[ \sin \theta = \frac{SD}{SC} = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{\frac{7}{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\frac{7}{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{6}{7}} \] - Vậy: \[ \theta = \arcsin \left( \sqrt{\frac{6}{7}} \right) \] Đáp số: Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là \(\arcsin \left( \sqrt{\frac{6}{7}} \right)\).