njhgfgjjahagagg

Câu 18. Mặt phẳng $(P):~x-4y+3z-2=0$ có dạng tổng quát là $ax + by + cz + d = 0$, trong đó $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$, và $d = -2$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ sẽ có dạng $(a, b, c)$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $(1, -4, 3)$. Ta kiểm tra các đáp án: - Đáp án A: $\overrightarrow{n_2} = (1; 4; 3)$ - Đáp án B: $\overrightarrow{n_1} = (-1; 4; -3)$ - Đáp án C: $\overrightarrow{n_4} = (-4; 3; -2)$ - Đáp án D: $\overrightarrow{n} = (0; -4; 3)$ Trong các đáp án trên, chỉ có đáp án D đúng là $\overrightarrow{n} = (0; -4; 3)$, nhưng nó không đúng vì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $(1, -4, 3)$. Do đó, đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{n} = (1; -4; 3)$ Đáp án: D. $\overrightarrow{n} = (1; -4; 3)$ Câu 19. Để tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $B(3,4,-5)$ và có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (3,1,-1)$ và $\overrightarrow{b} = (1,-2,1)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng $(\alpha)$ có thể tìm bằng cách tính tích có hướng của hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \] Ta có: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} \] Tính tích có hướng: \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-2)) - \mathbf{j}(3 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot (-2) - 1 \cdot 1) \] \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(1 - 2) - \mathbf{j}(3 + 1) + \mathbf{k}(-6 - 1) \] \[ \overrightarrow{n} = -\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 7\mathbf{k} \] Vậy vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (-1, -4, -7)$. 2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng: Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: \[ Ax + By + Cz + D = 0 \] Trong đó, $(A, B, C)$ là các thành phần của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$. Thay vào ta có: \[ -1(x - 3) - 4(y - 4) - 7(z + 5) = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ -x + 3 - 4y + 16 - 7z - 35 = 0 \] \[ -x - 4y - 7z - 16 = 0 \] Nhân cả phương trình với -1 để dễ nhìn hơn: \[ x + 4y + 7z + 16 = 0 \] Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng $(\alpha)$ là: \[ \boxed{x + 4y + 7z + 16 = 0} \] Đáp án đúng là: C. \(x + 4y + 7z + 16 = 0\) Câu 20. Để kiểm tra xem điểm nào thuộc đường thẳng \( d \), ta sẽ thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình của đường thẳng và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn phương trình đó hay không. Phương trình đường thẳng \( d \) là: \[ \frac{x+1}{-1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-1}{3} \] Ta sẽ kiểm tra từng điểm: 1. Kiểm tra điểm \( P(-1; 2; 1) \): - Thay \( x = -1 \), \( y = 2 \), \( z = 1 \) vào phương trình: \[ \frac{-1 + 1}{-1} = \frac{2 - 2}{3} = \frac{1 - 1}{3} \] \[ \frac{0}{-1} = \frac{0}{3} = \frac{0}{3} \] \[ 0 = 0 = 0 \] - Kết luận: Điểm \( P(-1; 2; 1) \) thuộc đường thẳng \( d \). 2. Kiểm tra điểm \( Q(1; -2; -1) \): - Thay \( x = 1 \), \( y = -2 \), \( z = -1 \) vào phương trình: \[ \frac{1 + 1}{-1} = \frac{-2 - 2}{3} = \frac{-1 - 1}{3} \] \[ \frac{2}{-1} = \frac{-4}{3} = \frac{-2}{3} \] \[ -2 \neq -\frac{4}{3} \neq -\frac{2}{3} \] - Kết luận: Điểm \( Q(1; -2; -1) \) không thuộc đường thẳng \( d \). 3. Kiểm tra điểm \( N(-1; 3; 2) \): - Thay \( x = -1 \), \( y = 3 \), \( z = 2 \) vào phương trình: \[ \frac{-1 + 1}{-1} = \frac{3 - 2}{3} = \frac{2 - 1}{3} \] \[ \frac{0}{-1} = \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \] \[ 0 \neq \frac{1}{3} \] - Kết luận: Điểm \( N(-1; 3; 2) \) không thuộc đường thẳng \( d \). 4. Kiểm tra điểm \( P(1; 2; 1) \): - Thay \( x = 1 \), \( y = 2 \), \( z = 1 \) vào phương trình: \[ \frac{1 + 1}{-1} = \frac{2 - 2}{3} = \frac{1 - 1}{3} \] \[ \frac{2}{-1} = \frac{0}{3} = \frac{0}{3} \] \[ -2 \neq 0 \] - Kết luận: Điểm \( P(1; 2; 1) \) không thuộc đường thẳng \( d \). Từ các kiểm tra trên, ta thấy chỉ có điểm \( P(-1; 2; 1) \) thuộc đường thẳng \( d \). Đáp án đúng là: \( A.~P(-1; 2; 1) \). Câu 21. Phương trình mặt cầu có dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $I(a, b, c)$ và bán kính là $R$. Trong bài toán này, phương trình mặt cầu là $(x-1)^2 + (y+2)^2 + z^2 = 9$. Ta nhận thấy rằng: - $(x-1)^2$ tương ứng với $(x-a)^2$, do đó $a = 1$. - $(y+2)^2$ tương ứng với $(y-b)^2$, do đó $b = -2$. - $z^2$ tương ứng với $(z-c)^2$, do đó $c = 0$. Từ đó, tâm của mặt cầu là $I(1, -2, 0)$. Vậy đáp án đúng là: $A.~I(1;-2;0).$ Đáp số: $A.~I(1;-2;0).$ Câu 22. Để tính xác suất $P(A|B)$, ta sử dụng công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Ta đã biết: - $P(A) = 0,4$ - $P(B) = 0,7$ - $P(A \cap B) = 0,3$ Áp dụng công thức trên, ta có: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,3}{0,7} = \frac{3}{7} \] Vậy xác suất $P(A|B)$ là $\frac{3}{7}$. Đáp án đúng là: $B.~\frac{3}{7}$. Câu 23. Để tính $P(B|A)$, ta sẽ sử dụng công thức xác suất điều kiện và luật toàn xác suất. Trước tiên, ta cần tính $P(A)$: \[ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] Biết rằng: \[ P(B) = 0,8 \] \[ P(A|B) = 0,7 \] \[ P(A|\overline{B}) = 0,45 \] \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2 \] Thay vào công thức: \[ P(A) = 0,7 \cdot 0,8 + 0,45 \cdot 0,2 \] \[ P(A) = 0,56 + 0,09 \] \[ P(A) = 0,65 \] Bây giờ, ta tính $P(B|A)$ bằng công thức xác suất điều kiện: \[ P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ P(B|A) = \frac{0,7 \cdot 0,8}{0,65} \] \[ P(B|A) = \frac{0,56}{0,65} \] \[ P(B|A) = \frac{56}{65} \] Vậy đáp án đúng là: \[ C. \frac{56}{65} \] Câu 1: a) Ta có $G'(x)=(F(x)+C)'=F'(x)+0=f(x).$ Vậy $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x).$ b) Ta có $\int^2_1(f(x)+2)dx=\int^2_1f(x)dx+\int^2_12dx$ $=[F(x)]^2_1+[2x]^2_1=F(2)-F(1)+2\times 2-2\times 1$ $=F(2)-F(1)+2.$ Mặt khác theo bài ra ta có $\int^2_1(f(x)+2)dx=\pi^3-e^3.$ Vậy $F(2)-F(1)+2=\pi^3-e^3.$ Suy ra $F(2)-F(1)=\pi^3-e^3-2.$