Giai dum voi

Câu 1: Để tính đạo hàm của hàm số $y = (x + 1) \cdot e^x$, ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số. Quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số: Nếu $y = u(x) \cdot v(x)$ thì $y' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$. Trong đó: - $u(x) = x + 1$ - $v(x) = e^x$ Bước 1: Tính đạo hàm của $u(x)$: \[ u'(x) = \frac{d}{dx}(x + 1) = 1 \] Bước 2: Tính đạo hàm của $v(x)$: \[ v'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \] Bước 3: Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số: \[ y' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \] \[ y' = 1 \cdot e^x + (x + 1) \cdot e^x \] \[ y' = e^x + (x + 1) \cdot e^x \] \[ y' = e^x + x \cdot e^x + e^x \] \[ y' = 2e^x + x \cdot e^x \] Vậy đạo hàm của hàm số $y = (x + 1) \cdot e^x$ là: \[ y' = (x + 2) \cdot e^x \] Câu 2: Để giải bất phương trình $\log_5(x+9) < \log_5(3x+1)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Đối với $\log_5(x+9)$, ta có điều kiện $x + 9 > 0$, suy ra $x > -9$. - Đối với $\log_5(3x+1)$, ta có điều kiện $3x + 1 > 0$, suy ra $x > -\frac{1}{3}$. Từ đó, điều kiện chung là $x > -\frac{1}{3}$. Bước 2: So sánh các biểu thức trong logarit Do hàm số $\log_5(u)$ là hàm số đồng biến trên tập xác định của nó, nên ta có: \[ \log_5(x+9) < \log_5(3x+1) \implies x + 9 < 3x + 1 \] Bước 3: Giải bất phương trình Ta giải bất phương trình $x + 9 < 3x + 1$: \[ x + 9 < 3x + 1 \\ 9 - 1 < 3x - x \\ 8 < 2x \\ x > 4 \] Bước 4: Kết hợp điều kiện xác định Ta đã có điều kiện $x > -\frac{1}{3}$. Kết hợp với điều kiện từ bất phương trình $x > 4$, ta nhận thấy rằng $x > 4$ đã bao gồm điều kiện $x > -\frac{1}{3}$. Kết luận: Giải của bất phương trình $\log_5(x+9) < \log_5(3x+1)$ là $x > 4$. Đáp số: $x > 4$.