giải giúp mình với

Câu 4: Để xác định tính đúng/sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ lần lượt tính đạo hàm cấp hai của các hàm số $f(x)$ và $g(x)$, sau đó đánh giá các mệnh đề dựa trên kết quả đã tính. Mệnh đề a: Đạo hàm cấp hai của hàm số $f(x) = x^3 + 2x + 1$. Bước 1: Tính đạo hàm cấp một của $f(x)$: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x + 1) = 3x^2 + 2 \] Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai của $f(x)$: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + 2) = 6x \] Vậy, đạo hàm cấp hai của hàm số $f(x)$ là $f''(x) = 6x$. Mệnh đề này là Đúng. Mệnh đề b: Đạo hàm cấp hai của hàm số $g(x) = e^{2x+1}$. Bước 1: Tính đạo hàm cấp một của $g(x)$: \[ g'(x) = \frac{d}{dx}(e^{2x+1}) = e^{2x+1} \cdot \frac{d}{dx}(2x+1) = 2e^{2x+1} \] Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai của $g(x)$: \[ g''(x) = \frac{d}{dx}(2e^{2x+1}) = 2 \cdot e^{2x+1} \cdot \frac{d}{dx}(2x+1) = 2 \cdot 2e^{2x+1} = 4e^{2x+1} \] Vậy, đạo hàm cấp hai của hàm số $g(x)$ là $g''(x) = 4e^{2x+1}$. Mệnh đề này là Sai vì nó viết là $4e^{2x-1}$. Mệnh đề c: Đạo hàm cấp hai của hàm số $f(x)$ tại $x_0 = -2$ là $f''(-2) = 12$. Từ kết quả ở mệnh đề a, ta có: \[ f''(x) = 6x \] Do đó: \[ f''(-2) = 6 \cdot (-2) = -12 \] Vậy, mệnh đề này là Sai vì $f''(-2) = -12$, không phải 12. Mệnh đề d: Đạo hàm cấp hai của hàm số $g(x)$ tại $x_0 = 1$ là $g''(1) = 4e^3$. Từ kết quả ở mệnh đề b, ta có: \[ g''(x) = 4e^{2x+1} \] Do đó: \[ g''(1) = 4e^{2 \cdot 1 + 1} = 4e^3 \] Vậy, mệnh đề này là Đúng. Kết luận: - Mệnh đề a: Đúng - Mệnh đề b: Sai - Mệnh đề c: Sai - Mệnh đề d: Đúng Câu 5. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số $y = -4x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + 3$: \[ y' = (-4x^3)' + \left(\frac{x^2}{2}\right)' - (2x)' + 3' \] \[ y' = -12x^2 + x - 2 \] So sánh với $y' = ax^2 + bx + c$, ta có: \[ a = -12, \quad b = 1, \quad c = -2 \] Bây giờ, ta xét từng mệnh đề: a) $a + b + c = -10$ \[ a + b + c = -12 + 1 - 2 = -13 \] Vậy mệnh đề này là sai. b) $y'(-1) = -13$ \[ y'(-1) = -12(-1)^2 + (-1) - 2 = -12 - 1 - 2 = -15 \] Vậy mệnh đề này là sai. c) Đồ thị hàm số $y'$ cắt trục tung tại điểm $(0; -2)$ Khi $x = 0$, ta có: \[ y'(0) = -12(0)^2 + 0 - 2 = -2 \] Vậy đồ thị hàm số $y'$ cắt trục tung tại điểm $(0; -2)$. Mệnh đề này là đúng. d) $y'(1) < y'(2)$ Tính $y'(1)$: \[ y'(1) = -12(1)^2 + 1 - 2 = -12 + 1 - 2 = -13 \] Tính $y'(2)$: \[ y'(2) = -12(2)^2 + 2 - 2 = -12 \cdot 4 + 2 - 2 = -48 + 2 - 2 = -48 \] Ta thấy $-13 > -48$, vậy $y'(1) > y'(2)$. Mệnh đề này là sai. Kết luận: - Mệnh đề a) là sai. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là đúng. - Mệnh đề d) là sai. Câu 6: Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên phương trình quãng đường đã cho. Phương trình quãng đường của vật là: \[ s = f(t) = -t^3 + 6t^2 + 15t \] Mệnh đề a) Phương trình vận tốc của vật là đạo hàm của phương trình quãng đường theo thời gian \( t \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(-t^3 + 6t^2 + 15t) = -3t^2 + 12t + 15 \] Do đó, mệnh đề a) là đúng. Mệnh đề b) Vật dừng lại khi vận tốc \( v(t) = 0 \): \[ -3t^2 + 12t + 15 = 0 \] Chia cả hai vế cho -3: \[ t^2 - 4t - 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \] \[ t = 5 \text{ hoặc } t = -1 \] Vì thời gian không thể âm, nên \( t = 5 \) giây. Do đó, mệnh đề b) là sai. Mệnh đề c) Vận tốc lớn nhất xảy ra khi đạo hàm của \( v(t) \) bằng 0: \[ \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-3t^2 + 12t + 15) = -6t + 12 \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực đại: \[ -6t + 12 = 0 \] \[ t = 2 \text{ giây} \] Thay \( t = 2 \) vào phương trình vận tốc: \[ v(2) = -3(2)^2 + 12(2) + 15 = -12 + 24 + 15 = 27 \text{ m/s} \] Do đó, mệnh đề c) là đúng. Mệnh đề d) Quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc đạt vận tốc lớn nhất (\( t = 2 \) giây): \[ s(2) = -(2)^3 + 6(2)^2 + 15(2) = -8 + 24 + 30 = 46 \text{ mét} \] Do đó, mệnh đề d) là sai. Kết luận - Mệnh đề a) đúng - Mệnh đề b) sai - Mệnh đề c) đúng - Mệnh đề d) sai