Cho tam giác ABC vuông tại A, có BD là đường phân giác. Kẻ DH vuông góc với BC, với H thuộc BC. Gọi K là giao điểm của BA và HD. a) Chứng minh tam giác ABD bằng tam giác HBD. b) So sánh DK và DH. c) C...

Lê Thế Thanh Đàn a) Chứng minh tam giác ABD bằng tam giác HBD

Xét tam giác ABD và tam giác HBD, ta có:

• BD là cạnh chung.
• Góc ABD = góc HBD (do cùng là góc tạo bởi tia BD và đường thẳng BC).
• Góc ADB = góc HDB = 90° (do tam giác ABC vuông tại A và DH ⊥ BC).

⇒ Tam giác ABD = tam giác HBD (g.g.g)

b) So sánh DK và DH

Vì tam giác ABD = tam giác HBD (chứng minh trên), nên:

• AD = DH
• Góc ABD = góc HBD ⇒ DK là tia phân giác của góc ADH

⇒ DK < DH (vì trong tam giác, đường phân giác bao giờ cũng ngắn hơn đường cao nếu không trùng nhau)

c) Chứng minh hai lần tổng của AD và AK lớn hơn KC

Ta cần chứng minh:

2(AD+AK)>KC2(AD + AK) > KC2(AD+AK)>KC

Xét các yếu tố:

• AD là cạnh của tam giác vuông tại A, nên AD < AB
• AK là đoạn nằm trên tia BA, K thuộc giao điểm BA và HD ⇒ AK < AB

Ta xét tam giác ABK và tam giác KHC:

• AB > KC
• AK + AD > KC/2 (do mỗi đoạn lớn hơn phần KC tương ứng)

⇒ 2(AD + AK) > KC

Nếu bạn cần hình vẽ minh hoạ cho dễ hiểu, mình có thể tạo cho bạn. Bạn muốn không?