giải giúp em

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính tổng số cách lấy ra 1 cây bút từ hộp bút. Hộp bút có: - 2 cây bút đỏ - 3 cây bút xanh Tổng số cây bút trong hộp là: \[ 2 + 3 = 5 \] Vậy, có 5 cách lấy ra 1 cây bút từ hộp bút đó. Đáp án đúng là: D. 5 Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta cần tính số cách chọn 4 học sinh từ 10 học sinh. Đây là một bài toán về tổ hợp, vì thứ tự của các học sinh không quan trọng. Số cách chọn 4 học sinh từ 10 học sinh được tính bằng công thức tổ hợp \( C^n_k \), trong đó \( n \) là tổng số phần tử và \( k \) là số phần tử cần chọn. Trong bài toán này, \( n = 10 \) và \( k = 4 \). Vậy số cách chọn 4 học sinh từ 10 học sinh là: \[ C^4_{10} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \] Ta có thể tính toán cụ thể như sau: \[ 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! \] \[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \] \[ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \] Do đó: \[ C^4_{10} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{4! \times 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{24} = \frac{5040}{24} = 210 \] Vậy số cách chọn 4 học sinh từ 10 học sinh là \( C^4_{10} \). Đáp án đúng là: \( D.~C^4_{10} \). Câu 3. Ta sẽ kiểm tra từng công thức một để xác định công thức đúng. A. \( A^3_n = \frac{m!}{3!(n-3)!} \) - Đây là công thức của tổ hợp chập 3 từ n phần tử, không phải hoán vị chập 3 từ n phần tử. Do đó, công thức này sai. B. \( A^3_n = \frac{33(n-3)!}{n!} \) - Công thức này không có ý nghĩa vì nó không tuân theo cấu trúc của hoán vị chập 3 từ n phần tử. Do đó, công thức này sai. C. \( A^3_n = \frac{n!}{(n-3)!} \) - Đây là công thức đúng của hoán vị chập 3 từ n phần tử. Ta có thể suy ra như sau: - Số cách chọn 3 phần tử từ n phần tử và sắp xếp chúng theo thứ tự là \( n \times (n-1) \times (n-2) \). - Điều này tương đương với \( \frac{n!}{(n-3)!} \). D. \( A^3_n = \frac{(n-3)!}{n!} \) - Công thức này không có ý nghĩa vì nó không tuân theo cấu trúc của hoán vị chập 3 từ n phần tử. Do đó, công thức này sai. Vậy công thức đúng là: C. \( A^3_n = \frac{n!}{(n-3)!} \) Đáp án: C. \( A^3_n = \frac{n!}{(n-3)!} \) Câu 4. Để tìm hệ số của số hạng chứa $x^3$ trong khai triển $(x + 3)^5$, ta sử dụng công thức nhị thức Newton. Công thức nhị thức Newton cho khai triển $(a + b)^n$ là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, $a = x$, $b = 3$, và $n = 5$. Ta cần tìm số hạng chứa $x^3$, tức là $a^{n-k} = x^3$. Điều này có nghĩa là $n - k = 3$, suy ra $k = 2$. Số hạng chứa $x^3$ sẽ là: \[ \binom{5}{2} x^{5-2} 3^2 = \binom{5}{2} x^3 3^2 \] Bây giờ, ta tính $\binom{5}{2}$: \[ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] Tiếp theo, ta tính $3^2$: \[ 3^2 = 9 \] Vậy hệ số của số hạng chứa $x^3$ là: \[ 10 \times 9 = 90 \] Do đó, hệ số của số hạng chứa $x^3$ trong khai triển $(x + 3)^5$ là 90. Đáp án đúng là: D. 90. Câu 5. Ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton để khai triển $(x^3 - \frac{1}{x^2})^4$. Theo công thức nhị thức Newton, ta có: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong đó, $a = x^3$, $b = -\frac{1}{x^2}$ và $n = 4$. Ta cần tìm số hạng chứa $x^2$ trong khai triển này. Mỗi số hạng trong khai triển có dạng: \[ \binom{4}{k} (x^3)^{4-k} \left(-\frac{1}{x^2}\right)^k \] Ta cần tìm $k$ sao cho tổng các lũy thừa của $x$ trong mỗi số hạng bằng 2: \[ 3(4-k) - 2k = 2 \] Giải phương trình này: \[ 12 - 3k - 2k = 2 \\ 12 - 5k = 2 \\ -5k = 2 - 12 \\ -5k = -10 \\ k = 2 \] Vậy $k = 2$. Thay $k = 2$ vào số hạng: \[ \binom{4}{2} (x^3)^{4-2} \left(-\frac{1}{x^2}\right)^2 = \binom{4}{2} (x^3)^2 \left(-\frac{1}{x^2}\right)^2 \] Tính toán tiếp: \[ \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \] \[ (x^3)^2 = x^6 \] \[ \left(-\frac{1}{x^2}\right)^2 = \frac{1}{x^4} \] Nhân lại: \[ 6 \cdot x^6 \cdot \frac{1}{x^4} = 6 \cdot x^{6-4} = 6 \cdot x^2 \] Vậy số hạng chứa $x^2$ trong khai triển của $(x^3 - \frac{1}{x^2})^4$ là $6x^2$. Đáp án đúng là: $A.~6x^2$. Câu 6. Để tính khối lượng trung bình của cả ba nhóm học sinh, ta cần tính tổng khối lượng của tất cả các nhóm và chia cho tổng số học sinh trong cả ba nhóm. Bước 1: Tính tổng khối lượng của mỗi nhóm: - Nhóm 10 em với khối lượng trung bình 50 kg: \[ 10 \times 50 = 500 \text{ kg} \] - Nhóm 15 em với khối lượng trung bình 38 kg: \[ 15 \times 38 = 570 \text{ kg} \] - Nhóm 25 em với khối lượng trung bình 40 kg: \[ 25 \times 40 = 1000 \text{ kg} \] Bước 2: Tính tổng khối lượng của cả ba nhóm: \[ 500 + 570 + 1000 = 2070 \text{ kg} \] Bước 3: Tính tổng số học sinh trong cả ba nhóm: \[ 10 + 15 + 25 = 50 \text{ em} \] Bước 4: Tính khối lượng trung bình của cả ba nhóm: \[ \frac{2070}{50} = 41,4 \text{ kg} \] Vậy khối lượng trung bình của cả ba nhóm học sinh là 41,4 kg. Đáp án đúng là: A. 41,4 kg Câu 7. Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$, ta cần kiểm tra các điều kiện về vectơ chỉ phương của chúng. 1. Tìm vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng $\Delta_1$ có phương trình tham số: \[ \Delta_1: \left\{ \begin{array}{l} x = -3 + 4t \\ y = 2 - 6t \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của $\Delta_1$ là $\vec{u}_1 = (4, -6)$. - Đường thẳng $\Delta_2$ có phương trình tham số: \[ \Delta_2: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 2t' \\ y = 4 + 3t' \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của $\Delta_2$ là $\vec{u}_2 = (-2, 3)$. 2. Kiểm tra điều kiện song song: - Hai đường thẳng song song nếu vectơ chỉ phương của chúng tỉ lệ với nhau, tức là tồn tại số thực $k$ sao cho $\vec{u}_1 = k \cdot \vec{u}_2$. - Ta có: \[ (4, -6) = k \cdot (-2, 3) \] Điều này dẫn đến hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 4 = -2k \\ -6 = 3k \end{array} \right. \] Giải hệ phương trình này: \[ k = -2 \quad \text{(từ phương trình đầu tiên)} \] \[ k = -2 \quad \text{(từ phương trình thứ hai)} \] Vì cả hai phương trình đều cho cùng một giá trị $k = -2$, nên hai vectơ chỉ phương tỉ lệ với nhau. Do đó, hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song. 3. Kiểm tra điều kiện trùng nhau: - Để hai đường thẳng trùng nhau, vectơ chỉ phương của chúng phải tỉ lệ và điểm thuộc một đường thẳng cũng phải thuộc đường thẳng còn lại. - Ta kiểm tra xem có điểm chung nào giữa hai đường thẳng không. Chọn $t = 0$ trong phương trình của $\Delta_1$: \[ \Delta_1: \left\{ \begin{array}{l} x = -3 + 4 \cdot 0 = -3 \\ y = 2 - 6 \cdot 0 = 2 \end{array} \right. \] Điểm $(-3, 2)$ thuộc $\Delta_1$. Thay vào phương trình của $\Delta_2$: \[ \left\{ \begin{array}{l} -3 = 1 - 2t' \\ 2 = 4 + 3t' \end{array} \right. \] Giải hệ phương trình này: \[ t' = -2 \quad \text{(từ phương trình đầu tiên)} \] \[ t' = -\frac{2}{3} \quad \text{(từ phương trình thứ hai)} \] Vì hai giá trị của $t'$ không bằng nhau, nên điểm $(-3, 2)$ không thuộc $\Delta_2$. Do đó, hai đường thẳng không trùng nhau. Kết luận: Hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song. Đáp án: A. Song song. Câu 8. Để tìm mốt của điểm điều tra, chúng ta cần xác định giá trị xuất hiện nhiều nhất trong dữ liệu. Bước 1: Liệt kê tất cả các điểm điều tra: 7, 2, 3, 5, 8, 2 8, 5, 8, 4, 9, 6 6, 1, 9, 3, 6, 7 3, 6, 6, 7, 2, 9 Bước 2: Đếm tần suất của mỗi giá trị: - Điểm 1: 1 lần - Điểm 2: 3 lần - Điểm 3: 3 lần - Điểm 4: 1 lần - Điểm 5: 2 lần - Điểm 6: 4 lần - Điểm 7: 3 lần - Điểm 8: 3 lần - Điểm 9: 3 lần Bước 3: Xác định giá trị xuất hiện nhiều nhất: - Điểm 6 xuất hiện 4 lần, nhiều hơn bất kỳ giá trị nào khác. Vậy mốt của điểm điều tra là 6. Đáp án: C. 6 Câu 9. Cách tính khoảng cách từ điểm \( M(x_0; y_0) \) đến đường thẳng \( \Delta: ax + by + c = 0 \) được thực hiện như sau: 1. Xác định phương trình đường thẳng: Đường thẳng đã cho là \( \Delta: ax + by + c = 0 \). 2. Xác định tọa độ của điểm: Điểm \( M \) có tọa độ \( (x_0, y_0) \). 3. Áp dụng công thức khoảng cách: Khoảng cách từ điểm \( M(x_0; y_0) \) đến đường thẳng \( \Delta: ax + by + c = 0 \) được tính bằng công thức: \[ d(M, \Delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \textcircled{B.}~d(M, \Delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]