Namakabam n

Ví dụ 2: Trước tiên, ta cần tìm chiều cao của chóp S.ABCD, tức là độ dài đoạn thẳng từ đỉnh S vuông góc xuống đáy ABCD. 1. Tìm diện tích đáy ABCD: - Vì ABCD là hình thoi cạnh a và góc \( \angle ABC = 60^\circ \), ta có thể chia hình thoi thành hai tam giác đều bằng nhau. - Diện tích của mỗi tam giác đều là: \[ S_{\triangle ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] - Vậy diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = 2 \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \] 2. Tìm chiều cao SA: - Ta biết rằng cạnh SA vuông góc với đáy và SC tạo với đáy một góc \( 60^\circ \). - Xét tam giác SAC, ta có: \[ \sin(60^\circ) = \frac{SA}{SC} \] - Biết rằng \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), ta có: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{SA}{SC} \] - Để tìm SC, ta xét tam giác SAC trong đó AC là đường chéo của hình thoi ABCD. Đường chéo AC của hình thoi có độ dài: \[ AC = a \sqrt{3} \] - Do đó: \[ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{SA^2 + (a \sqrt{3})^2} = \sqrt{SA^2 + 3a^2} \] - Thay vào phương trình: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{SA}{\sqrt{SA^2 + 3a^2}} \] - Bình phương cả hai vế: \[ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \left(\frac{SA}{\sqrt{SA^2 + 3a^2}}\right)^2 \] \[ \frac{3}{4} = \frac{SA^2}{SA^2 + 3a^2} \] - Nhân cả hai vế với \( SA^2 + 3a^2 \): \[ 3(SA^2 + 3a^2) = 4SA^2 \] \[ 3SA^2 + 9a^2 = 4SA^2 \] \[ 9a^2 = SA^2 \] \[ SA = 3a \] 3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD: - Thể tích của khối chóp S.ABCD được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA \] - Thay các giá trị đã tìm được: \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \times 3a = \frac{a^3 \sqrt{3}}{2} \] Vậy thể tích khối chóp S.ABCD theo a là: \[ \boxed{\frac{a^3 \sqrt{3}}{2}} \] Ví dụ 3: Trước tiên, ta cần tính diện tích đáy ABCD. Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng $a\sqrt{3}$ và góc BAD = 120°, ta có thể chia hình thoi thành hai tam giác đều bằng nhau. Diện tích của mỗi tam giác đều là: \[ S_{\text{tam giác}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (a\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2 \] Vậy diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = 2 \times \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \] Tiếp theo, ta cần tìm chiều cao SO của chóp S.ABCD. Vì SA vuông góc với đáy, ta có SO là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Ta biết rằng mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 60°, tức là góc giữa đường thẳng SB và đáy ABCD là 60°. Ta sẽ tính chiều cao SO thông qua tam giác SOB. Trong tam giác SOB, ta có: \[ \sin(60^\circ) = \frac{SO}{SB} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{SO}{SB} \] \[ SO = \frac{\sqrt{3}}{2} \times SB \] Ta cần tính SB. Vì SB là đường chéo của hình thoi ABCD, ta có: \[ SB = a\sqrt{3} \times \sqrt{2} = a\sqrt{6} \] Vậy: \[ SO = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a\sqrt{6} = \frac{\sqrt{3} \times a\sqrt{6}}{2} = \frac{a\sqrt{18}}{2} = \frac{3a\sqrt{2}}{2} \] Thể tích khối chóp S.ABCD là: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SO = \frac{1}{3} \times \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \times \frac{3a\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3} \times \frac{9\sqrt{6}}{4}a^3 = \frac{3\sqrt{6}}{4}a^3 \] Đáp số: $\frac{3\sqrt{6}}{4}a^3$