Trả lời cho tôi

Câu 1. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta thấy rằng: - Khi $x$ tăng từ $-\infty$ đến $x = -1$, hàm số giảm. - Tại điểm $x = -1$, hàm số đạt giá trị cực tiểu là $f(-1) = -2$. - Khi $x$ tăng từ $x = -1$ đến $x = 1$, hàm số tăng. - Tại điểm $x = 1$, hàm số đạt giá trị cực đại là $f(1) = 2$. - Khi $x$ tăng từ $x = 1$ đến $+\infty$, hàm số giảm. Do đó, giá trị cực đại của hàm số là 2, đạt được khi $x = 1$. Vậy đáp án đúng là: B. 2. Câu 2. Phương trình của mặt cầu có dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $(a, b, c)$ và bán kính là $R$. So sánh phương trình $(S): (x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-3)^2 = 4$ với phương trình tổng quát trên, ta nhận thấy: - $a = 2$ - $b = -1$ - $c = 3$ Do đó, tâm của mặt cầu $(S)$ có tọa độ là $(2, -1, 3)$. Vậy đáp án đúng là: C. $(2, -1, 3)$ Đáp số: C. $(2, -1, 3)$ Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của logarit và mối liên hệ giữa các cơ số khác nhau. Bước 1: Xác định mối liên hệ giữa cơ số 8 và cơ số 2. Ta biết rằng \(8 = 2^3\). Do đó, ta có thể viết lại biểu thức logarit với cơ số 8 thành biểu thức logarit với cơ số 2. Bước 2: Áp dụng công thức chuyển đổi cơ số của logarit. Theo công thức chuyển đổi cơ số của logarit, ta có: \[ \log_{a^b} c = \frac{1}{b} \log_a c \] Áp dụng vào bài toán, ta có: \[ \log_8 p = \frac{1}{3} \log_2 p \] Bước 3: Thay giá trị đã cho vào biểu thức. Theo đề bài, ta có \(\log_8 p = m\). Do đó: \[ m = \frac{1}{3} \log_2 p \] Bước 4: Giải phương trình để tìm \(\log_2 p\). Nhân cả hai vế của phương trình với 3, ta được: \[ 3m = \log_2 p \] Vậy, \(\log_2 p\) bằng \(3m\). Đáp án đúng là: D. 3m. Câu 4. Trong hình hộp chữ nhật ABCD-A'B'C'D', ta xét từng trường hợp để xác định hai đường thẳng vuông góc với nhau: A. BD và C'D': - BD nằm trong mặt đáy ABCD. - C'D' nằm trong mặt bên A'B'C'D'. - Vì C'D' song song với AD và BD nằm trong mặt đáy ABCD, nên BD không vuông góc với C'D'. B. AA' và BD: - AA' là đường thẳng đứng từ đỉnh A lên đỉnh A' (vuông góc với mặt đáy ABCD). - BD nằm trong mặt đáy ABCD. - Do AA' vuông góc với mặt đáy ABCD, nên AA' vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt đáy ABCD, bao gồm cả BD. C. A'B và CD: - A'B nằm trong mặt bên A'B'C'D'. - CD nằm trong mặt đáy ABCD. - Vì A'B song song với AD và CD nằm trong mặt đáy ABCD, nên A'B không vuông góc với CD. D. BB' và DD': - BB' là đường thẳng đứng từ đỉnh B lên đỉnh B' (vuông góc với mặt đáy ABCD). - DD' là đường thẳng đứng từ đỉnh D lên đỉnh D' (vuông góc với mặt đáy ABCD). - Vì BB' và DD' đều vuông góc với mặt đáy ABCD và song song với nhau, nên chúng không vuông góc với nhau. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng chỉ có AA' và BD là hai đường thẳng vuông góc với nhau. Đáp án đúng là: B. AA' và BD. Câu 5. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( F(x) = \sin 2x \), ta cần tìm một hàm số \( f(x) \) sao cho đạo hàm của \( f(x) \) bằng \( \sin 2x \). Ta xét đạo hàm của các hàm số đã cho: - \( f_1(x) = \frac{1}{2} \cos 2x \) \[ f_1'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2} \cos 2x\right) = \frac{1}{2} \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 = -\sin 2x \] - \( f_2(x) = 2 \cos 2x \) \[ f_2'(x) = \frac{d}{dx}(2 \cos 2x) = 2 \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 = -4 \sin 2x \] - \( f_3(x) = \cos 2x \) \[ f_3'(x) = \frac{d}{dx}(\cos 2x) = -\sin 2x \cdot 2 = -2 \sin 2x \] - \( f_4(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x \) \[ f_4'(x) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2} \cos 2x\right) = -\frac{1}{2} \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 = \sin 2x \] Như vậy, đạo hàm của \( f_4(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x \) là \( \sin 2x \). Do đó, \( F(x) = \sin 2x \) là một nguyên hàm của hàm số \( f_4(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x \). Đáp án đúng là: \( D.~f_4(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x \). Câu 6. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = x^4 - 2x^2 + 5 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 5) = 4x^3 - 4x \] 2. Xác định dấu của đạo hàm: \[ y' = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1) \] 3. Xét dấu của đạo hàm \( y' \): - \( y' > 0 \) khi \( 4x(x - 1)(x + 1) > 0 \) - Ta vẽ bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty, -1) & (-1, 0) & (0, 1) & (1, +\infty) \\ \hline x & - & - & + & + \\ x - 1 & - & - & - & + \\ x + 1 & - & + & + & + \\ y' & + & - & - & + \\ \end{array} \] 4. Kết luận khoảng đồng biến: - Hàm số \( y = x^4 - 2x^2 + 5 \) đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (1, +\infty) \). Do đó, trong các lựa chọn đã cho, khoảng đồng biến của hàm số là: \[ A.~(-\infty, -1) \] Đáp án đúng là: \( A.~(-\infty, -1) \) Câu 7. Để tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{SB}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: - Vì đáy ABC là tam giác đều với $AB = 1$, ta có thể đặt tọa độ của các đỉnh như sau: - $A(0, 0, 0)$ - $B(1, 0, 0)$ - $C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$ - Cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy và $SB = 1$, nên tọa độ của S sẽ là: - $S(1, 0, 1)$ 2. Tìm tọa độ của các vectơ: - Vectơ $\overrightarrow{SA}$: \[ \overrightarrow{SA} = A - S = (0, 0, 0) - (1, 0, 1) = (-1, 0, -1) \] - Vectơ $\overrightarrow{SB}$: \[ \overrightarrow{SB} = B - S = (1, 0, 0) - (1, 0, 1) = (0, 0, -1) \] 3. Tính tích vô hướng của hai vectơ: - Tích vô hướng của $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{SB}$: \[ \overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SB} = (-1) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) = 0 + 0 + 1 = 1 \] Vậy tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{SB}$ là 1. Đáp án đúng là: A. 1. Câu 8. Cấp số cộng đã cho có số hạng đầu là \( a_1 = 6 \) và công sai là \( d = 17 - 6 = 11 \). Số hạng thứ 10 của cấp số cộng được tính bằng công thức: \[ a_{10} = a_1 + (10-1)d \] Thay các giá trị vào công thức: \[ a_{10} = 6 + (10-1) \times 11 \] \[ a_{10} = 6 + 9 \times 11 \] \[ a_{10} = 6 + 99 \] \[ a_{10} = 105 \] Vậy số hạng thứ 10 của cấp số cộng đã cho là 105. Đáp án đúng là: D. 105. Câu 9. Để tính $\int^2_0[f(x)-3]dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân: \[ \int^2_0[f(x)-3]dx = \int^2_0 f(x) dx - \int^2_0 3 dx \] Biết rằng $\int^2_0 f(x) dx = 4$, ta thay vào: \[ \int^2_0[f(x)-3]dx = 4 - \int^2_0 3 dx \] Tiếp theo, ta tính $\int^2_0 3 dx$. Đây là tích phân của một hằng số, nên ta có: \[ \int^2_0 3 dx = 3 \cdot (2 - 0) = 3 \cdot 2 = 6 \] Do đó: \[ \int^2_0[f(x)-3]dx = 4 - 6 = -2 \] Vậy đáp án đúng là C. -2. Đáp án: C. -2. Câu 10. Để tìm số quả mít có cân nặng ít hơn 10 kg, chúng ta cần cộng tổng số quả mít thuộc các khoảng cân nặng dưới 10 kg. Các khoảng cân nặng dưới 10 kg là: - [4;6) - [6;8) - [8;10) Từ bảng thống kê, số lượng quả mít trong các khoảng này lần lượt là: - [4;6): 6 quả - [6;8): 12 quả - [8;10): 19 quả Bây giờ, chúng ta cộng tổng số quả mít trong các khoảng này: \[ 6 + 12 + 19 = 37 \] Vậy số quả mít có cân nặng ít hơn 10 kg là 37 quả. Đáp án đúng là: D. 37 Câu 11. Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các điểm A và B trước, sau đó tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. 1. Xác định điểm A: - Điểm A là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox. - Trên trục Ox, tọa độ y và z đều bằng 0. - Do đó, tọa độ của điểm A là \( A(2;0;0) \). 2. Xác định điểm B: - Điểm B là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oyz). - Trên mặt phẳng (Oyz), tọa độ x bằng 0. - Do đó, tọa độ của điểm B là \( B(0;0;1) \). 3. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB: - Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là \( \overrightarrow{AB} \). - Ta tính \( \overrightarrow{AB} \) bằng cách lấy tọa độ của B trừ tọa độ của A: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 2; 0 - 0; 1 - 0) = (-2; 0; 1) \] Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là \( \overrightarrow{u}_2 = (-2; 0; 1) \). Đáp án: \( B.~\overrightarrow{u}_2 = (-2; 0; 1) \). Câu 12. Để giải bất phương trình \(5^{x^2} \leq 25^x\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại \(25^x\) dưới dạng cơ số 5: \[25^x = (5^2)^x = 5^{2x}\] Bước 2: Thay vào bất phương trình ban đầu: \[5^{x^2} \leq 5^{2x}\] Bước 3: So sánh hai lũy thừa có cùng cơ số: \[x^2 \leq 2x\] Bước 4: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[x^2 - 2x \leq 0\] Bước 5: Nhân cả hai vế với -1 để dễ dàng tìm nghiệm (nhớ đổi dấu bất đẳng thức): \[x(x - 2) \leq 0\] Bước 6: Xác định các điểm giao của đồ thị với trục hoành: \[x = 0 \quad \text{và} \quad x = 2\] Bước 7: Xét dấu của biểu thức \(x(x - 2)\) trên các khoảng: - Khi \(x < 0\), \(x(x - 2) > 0\) - Khi \(0 \leq x \leq 2\), \(x(x - 2) \leq 0\) - Khi \(x > 2\), \(x(x - 2) > 0\) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[0 \leq x \leq 2\] Bước 8: Tìm các số nguyên trong đoạn này: \[x = 0, 1, 2\] Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(5^{x^2} \leq 25^x\) chứa 3 số nguyên. Đáp án đúng là: A. 3.