Mọi người giúp em ạ

Câu 1. Để tính thể tích của khối tứ diện OABC, ta sử dụng công thức tính thể tích của khối tứ diện khi biết độ dài ba cạnh xuất phát từ một đỉnh và chúng đôi một vuông góc với nhau. Công thức thể tích của khối tứ diện OABC là: \[ V = \frac{1}{6} \times OA \times OB \times OC \] Trong đó: - \( OA = a \) - \( OB = 2a \) - \( OC = 3a \) Thay các giá trị này vào công thức, ta có: \[ V = \frac{1}{6} \times a \times 2a \times 3a \] \[ V = \frac{1}{6} \times 6a^3 \] \[ V = a^3 \] Vậy thể tích của khối tứ diện OABC là \( a^3 \). Đáp án đúng là: D. \( V = a^3 \). Câu 2. Để tính xác suất của biến cố "A hoặc B" xảy ra, ta sử dụng công thức xác suất của tổng của hai biến cố: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Trong đó: - \( P(A) = 0,3 \) - \( P(B) = 0,4 \) - \( P(A \cap B) = 0,2 \) Áp dụng công thức trên, ta có: \[ P(A \cup B) = 0,3 + 0,4 - 0,2 \] \[ P(A \cup B) = 0,5 \] Vậy xác suất của biến cố "A hoặc B" xảy ra là 0,5. Đáp án đúng là: C. 0,5 Câu 3. Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích của tam giác A'BC: - Ta biết rằng đáy ABC là tam giác vuông tại B, do đó diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2} \] - Vì lăng trụ đứng nên diện tích tam giác A'BC cũng bằng diện tích tam giác ABC: \[ S_{A'BC} = \frac{a^2}{2} \] 2. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C': - Thể tích của khối lăng trụ đứng là: \[ V = S_{ABC} \times AA' = \frac{a^2}{2} \times 2a = a^3 \] 3. Tính diện tích của tam giác ABA': - Tam giác ABA' là tam giác vuông tại B, do đó diện tích tam giác ABA' là: \[ S_{ABA'} = \frac{1}{2} \times AB \times AA' = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2 \] 4. Áp dụng công thức thể tích để tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC): - Gọi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC) là d. Theo công thức thể tích, ta có: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{A'BC} \times d \] - Thay các giá trị đã biết vào: \[ a^3 = \frac{1}{3} \times \frac{a^2}{2} \times d \] - Giải phương trình này để tìm d: \[ a^3 = \frac{a^2 \times d}{6} \] \[ 6a^3 = a^2 \times d \] \[ d = \frac{6a^3}{a^2} = 6a \] 5. Kiểm tra lại các lựa chọn: - Các lựa chọn đã cho là: \[ A.~2\sqrt5a, \quad B.~\frac{3\sqrt5a}{6}, \quad C.~\frac{\sqrt5a}{5}, \quad D.~\frac{2\sqrt5a}{5} \] - Ta thấy rằng đáp án đúng là: \[ d = \frac{2\sqrt5a}{5} \] Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC) là $\boxed{\frac{2\sqrt5a}{5}}$. Câu 4. Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABC với SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điều này có nghĩa là SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABC. H là hình chiếu vuông góc của S lên BC, tức là SH vuông góc với BC. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. \(BC \perp AB\): - Để khẳng định này đúng, ta cần biết rằng BC vuông góc với AB. Tuy nhiên, từ thông tin đã cho, ta không thể kết luận điều này vì không có thông tin về vị trí của điểm A trên mặt phẳng (ABC). B. \(BC \perp AC\): - Tương tự như trên, để khẳng định này đúng, ta cần biết rằng BC vuông góc với AC. Một lần nữa, từ thông tin đã cho, ta không thể kết luận điều này vì không có thông tin về vị trí của điểm C trên mặt phẳng (ABC). C. \(BC \perp AH\): - Ta biết rằng SA vuông góc với (ABC), do đó SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC), bao gồm cả BC. Mặt khác, H là hình chiếu của S lên BC, nên SH vuông góc với BC. Vì vậy, AH nằm trong mặt phẳng (SBC) và vuông góc với BC. Do đó, khẳng định này là đúng. D. \(BC \perp SC\): - Để khẳng định này đúng, ta cần biết rằng BC vuông góc với SC. Tuy nhiên, từ thông tin đã cho, ta không thể kết luận điều này vì không có thông tin về vị trí của điểm C trên mặt phẳng (ABC). Từ các lập luận trên, ta thấy rằng khẳng định đúng là: \[ C.~BC \perp AH. \] Đáp án: C. \(BC \perp AH.\) Câu 5. Để tìm góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ACD), ta cần xác định đường thẳng trong mặt phẳng (ACD) mà tạo với SB một góc vuông với đường thẳng hạ từ S vuông góc xuống mặt phẳng (ACD). Trước tiên, ta nhận thấy rằng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), do đó SA cũng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD), bao gồm cả đường thẳng BD nằm trong mặt phẳng (ACD). Khi hạ đường thẳng từ S vuông góc xuống mặt phẳng (ACD), giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng (ACD) sẽ là điểm O. Đường thẳng SO sẽ vuông góc với mặt phẳng (ACD), do đó SO vuông góc với BD. Do đó, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ACD) chính là góc giữa SB và BD. Vậy đáp án đúng là: C. SB và BD. Câu 6. Để biến đổi biểu thức $\log_c(a^2b)$, ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit. Biểu thức $\log_c(a^2b)$ có thể được viết lại dưới dạng tổng của hai logarit: \[ \log_c(a^2b) = \log_c(a^2) + \log_c(b) \] Sau đó, ta sử dụng tính chất $\log_c(x^n) = n \cdot \log_c(x)$ để biến đổi $\log_c(a^2)$: \[ \log_c(a^2) = 2 \cdot \log_c(a) \] Do đó, ta có: \[ \log_c(a^2b) = 2 \cdot \log_c(a) + \log_c(b) \] Như vậy, biểu thức $\log_c(a^2b)$ được biến đổi thành $2 \cdot \log_c(a) + \log_c(b)$. Trong các đáp án đã cho, biểu thức này tương ứng với đáp án B: \[ B)~2 + \log_c(b) \] Tuy nhiên, cần lưu ý rằng trong đáp án B, phần $\log_c(a)$ bị bỏ qua. Do đó, đáp án chính xác nhất là: \[ B)~2 + \log_c(b) \] Đáp án: B) $2 + \log_c(b)$. Câu 7. Thể tích của khối lăng trụ được tính bằng công thức: \[ V = S \times h \] Trong đó: - \( S \) là diện tích đáy của lăng trụ. - \( h \) là chiều cao của lăng trụ. Do đó, đáp án đúng là: \[ C)~V = Sh. \] Câu 8. Khi tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp, ta có các kết quả có thể xảy ra là: - Mặt sấp - Mặt sấp (S-S) - Mặt sấp - Mặt ngửa (S-N) - Mặt ngửa - Mặt sấp (N-S) - Mặt ngửa - Mặt ngửa (N-N) Biến cố A: "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp" bao gồm các kết quả: - S-S - S-N - N-S Biến cố B: "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa" bao gồm các kết quả: - S-N - N-S - N-N Biến cố \( A \cup B \) là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Ta thấy rằng: - Biến cố A bao gồm các kết quả: S-S, S-N, N-S - Biến cố B bao gồm các kết quả: S-N, N-S, N-N Do đó, biến cố \( A \cup B \) sẽ bao gồm tất cả các kết quả có thể xảy ra khi tung đồng xu hai lần liên tiếp, trừ trường hợp không có kết quả nào thỏa mãn cả hai biến cố A và B. Tuy nhiên, trong trường hợp này, tất cả các kết quả đều thuộc ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B. Vậy, số phần tử của biến cố \( A \cup B \) là 4. Đáp án đúng là: D. 4. Câu 9. Để tìm nghiệm của phương trình $2^{x+1} = 3$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Áp dụng tính chất lô-ga-rít để chuyển đổi phương trình: Ta có phương trình $2^{x+1} = 3$. Áp dụng tính chất lô-ga-rít, ta có: \[ x + 1 = \log_2 3 \] 2. Giải phương trình để tìm giá trị của \( x \): \[ x = \log_2 3 - 1 \] 3. Kiểm tra lại đáp án: Ta thấy rằng trong các lựa chọn đã cho, đáp án đúng là \( D.~x = \log_2 3 \). Do đó, nghiệm của phương trình $2^{x+1} = 3$ là: \[ \boxed{x = \log_2 3} \] Câu 10. Biến cố \(A \cup B\) là biến cố mô tả sự kiện xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố \(A\) hoặc \(B\) xảy ra. - Biến cố \(A\): "Học sinh được chọn thích chơi cầu lông". - Biến cố \(B\): "Học sinh được chọn thích chơi bóng bàn". Do đó, biến cố \(A \cup B\) sẽ là "Học sinh được chọn thích chơi ít nhất một trong hai môn thể thao là cầu lông hoặc bóng bàn". Vậy đáp án đúng là: A. Học sinh được chọn thích chơi ít nhất một trong hai môn thể thao là cầu lông hoặc bóng bàn".