giải giúp em.với

Câu 1. Để tính giá trị biểu thức \( P = 2^x + 2^{-x} \) từ điều kiện \( 4^x + 4^{-x} = 23 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định \( 4^x \) và \( 4^{-x} \): \[ 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \] \[ 4^{-x} = (2^2)^{-x} = (2^{-x})^2 \] Bước 2: Thay vào điều kiện: \[ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 = 23 \] Bước 3: Đặt \( a = 2^x \) và \( b = 2^{-x} \). Ta có: \[ a^2 + b^2 = 23 \] Bước 4: Biểu thức \( P \) trở thành: \[ P = a + b \] Bước 5: Ta biết rằng: \[ (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \] Bước 6: Tính \( ab \): \[ ab = 2^x \cdot 2^{-x} = 2^{x - x} = 2^0 = 1 \] Bước 7: Thay vào công thức: \[ (a + b)^2 = 23 + 2 \cdot 1 = 23 + 2 = 25 \] Bước 8: Lấy căn bậc hai để tìm \( a + b \): \[ a + b = \sqrt{25} = 5 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P = 2^x + 2^{-x} \) là: \[ P = 5 \] Câu 2. Để tính giá trị của biểu thức \( P = \frac{2^3 \cdot 2^{-1} + 5^{-3} \cdot 5^4}{10^{-3} : 10^{-2} - 0,1^0} \), chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo quy tắc luỹ thừa và phép toán đại số. Bước 1: Tính giá trị của từng phần tử trong biểu thức. - \( 2^3 = 8 \) - \( 2^{-1} = \frac{1}{2} \) - \( 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125} \) - \( 5^4 = 625 \) - \( 10^{-3} = \frac{1}{1000} \) - \( 10^{-2} = \frac{1}{100} \) - \( 0,1^0 = 1 \) Bước 2: Thay các giá trị đã tính vào biểu thức. \[ P = \frac{8 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{125} \cdot 625}{\frac{1}{1000} : \frac{1}{100} - 1} \] Bước 3: Thực hiện phép nhân và chia. - \( 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \) - \( \frac{1}{125} \cdot 625 = 5 \) - \( \frac{1}{1000} : \frac{1}{100} = \frac{1}{1000} \cdot \frac{100}{1} = \frac{100}{1000} = \frac{1}{10} \) Bước 4: Thay các kết quả vừa tính vào biểu thức. \[ P = \frac{4 + 5}{\frac{1}{10} - 1} \] Bước 5: Thực hiện phép cộng và trừ. - \( 4 + 5 = 9 \) - \( \frac{1}{10} - 1 = \frac{1}{10} - \frac{10}{10} = -\frac{9}{10} \) Bước 6: Thay các kết quả vừa tính vào biểu thức cuối cùng. \[ P = \frac{9}{-\frac{9}{10}} = 9 \cdot -\frac{10}{9} = -10 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là \(-10\). Câu 3. Để tính \( Q = \log_a(b^2c^3) \), ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit. Trước tiên, ta áp dụng tính chất logarit của tích và lũy thừa: \[ \log_a(b^2c^3) = \log_a(b^2) + \log_a(c^3) \] Tiếp theo, ta sử dụng tính chất logarit của lũy thừa: \[ \log_a(b^2) = 2 \log_a(b) \quad \text{và} \quad \log_a(c^3) = 3 \log_a(c) \] Thay vào biểu thức trên, ta có: \[ \log_a(b^2c^3) = 2 \log_a(b) + 3 \log_a(c) \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \log_a(b) = 2 \quad \text{và} \quad \log_a(c) = 3 \] Thay các giá trị này vào biểu thức, ta được: \[ \log_a(b^2c^3) = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 4 + 9 = 13 \] Vậy giá trị của \( Q \) là: \[ Q = 13 \] Câu 4. Để tính thời gian nạp pin của điện thoại từ lúc cạn pin cho đến khi đạt được 80% dung lượng pin tối đa, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện: - Dung lượng pin nạp được theo công thức: \( Q(t) = Q_0 \left(1 - e^{-\frac{3t}{2}}\right) \) - Ta cần tìm thời gian \( t \) để \( Q(t) = 0.8 \times Q_0 \). 2. Thay vào công thức: \[ Q_0 \left(1 - e^{-\frac{3t}{2}}\right) = 0.8 \times Q_0 \] 3. Chia cả hai vế cho \( Q_0 \): \[ 1 - e^{-\frac{3t}{2}} = 0.8 \] 4. Di chuyển các hạng tử: \[ e^{-\frac{3t}{2}} = 1 - 0.8 \] \[ e^{-\frac{3t}{2}} = 0.2 \] 5. Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế: \[ -\frac{3t}{2} = \ln(0.2) \] 6. Tính giá trị của \( \ln(0.2) \): \[ \ln(0.2) \approx -1.6094 \] 7. Giải phương trình để tìm \( t \): \[ -\frac{3t}{2} = -1.6094 \] \[ \frac{3t}{2} = 1.6094 \] \[ 3t = 1.6094 \times 2 \] \[ 3t = 3.2188 \] \[ t = \frac{3.2188}{3} \] \[ t \approx 1.0729 \] 8. Làm tròn đến hàng phần trăm: \[ t \approx 1.07 \text{ giờ} \] Đáp số: Thời gian nạp pin của điện thoại từ lúc cạn pin cho đến khi đạt được 80% dung lượng pin tối đa là khoảng 1.07 giờ. Câu 5. Để tìm khoảng thời gian mà dân số gấp đôi dân số ban đầu, ta cần giải phương trình $S = 2A$. Thay vào công thức $S = A.e^{rt}$, ta có: \[ 2A = A.e^{rt} \] Chia cả hai vế cho A: \[ 2 = e^{rt} \] Lấy logarit tự nhiên (ln) của cả hai vế: \[ \ln(2) = \ln(e^{rt}) \] Áp dụng tính chất logarit $\ln(e^x) = x$, ta có: \[ \ln(2) = rt \] Biết rằng $\ln(2) \approx 0,693$ và $r = 1,14\% = 0,0114$, thay vào ta có: \[ 0,693 = 0,0114t \] Giải phương trình này để tìm t: \[ t = \frac{0,693}{0,0114} \approx 60,79 \] Làm tròn đến hàng đơn vị, ta có: \[ t \approx 61 \] Vậy khoảng 61 năm, dân số sẽ gấp đôi dân số của năm lấy làm mốc tính. Câu 6. a) Góc giữa đường thẳng SB và (ABC): Trong tam giác vuông SAB, ta có: \[ \tan(\angle SBA) = \frac{SA}{AB} = \frac{a}{a} = 1 \] Do đó: \[ \angle SBA = 45^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là \(45^\circ\). b) Góc giữa đường thẳng SC và (SAB): Trong tam giác vuông ABC, ta có: \[ AC = AB \sqrt{2} = a \sqrt{2} \] Trong tam giác SAC, ta có: \[ SC^2 = SA^2 + AC^2 = a^2 + (a \sqrt{2})^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2 \] \[ SC = a \sqrt{3} \] Trong tam giác vuông SAC, ta có: \[ \cos(\angle ASC) = \frac{SA}{SC} = \frac{a}{a \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc giữa SC và SA, do đó: \[ \angle ASC = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \] Đáp số: a) Góc giữa đường thẳng SB và (ABC) là \(45^\circ\). b) Góc giữa đường thẳng SC và (SAB) là \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\). Câu 7. Để tính xác suất lấy ra ít nhất một sản phẩm tốt từ lô hàng có 50 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm không đạt chất lượng, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Tìm tổng số cách chọn 2 sản phẩm từ 50 sản phẩm: Số cách chọn 2 sản phẩm từ 50 sản phẩm là: \[ C_{50}^2 = \frac{50!}{2!(50-2)!} = \frac{50 \times 49}{2 \times 1} = 1225 \] 2. Tìm số cách chọn 2 sản phẩm không đạt chất lượng từ 6 sản phẩm không đạt chất lượng: Số cách chọn 2 sản phẩm không đạt chất lượng từ 6 sản phẩm là: \[ C_{6}^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \] 3. Tìm số cách chọn ít nhất một sản phẩm tốt: Số cách chọn ít nhất một sản phẩm tốt là tổng số cách chọn trừ đi số cách chọn cả hai sản phẩm đều không đạt chất lượng: \[ 1225 - 15 = 1210 \] 4. Tính xác suất lấy ra ít nhất một sản phẩm tốt: Xác suất lấy ra ít nhất một sản phẩm tốt là: \[ P(\text{ít nhất một sản phẩm tốt}) = \frac{1210}{1225} \approx 0.987755 \] Làm tròn đến hàng phần trăm: \[ 0.987755 \approx 0.99 \] Vậy xác suất để lấy ra ít nhất một sản phẩm tốt là 0.99 hoặc 99%. Câu 8. Để tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \( t = 5 \) giây, ta cần tìm đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \) theo thời gian \( t \). Phương trình chuyển động của chất điểm là: \[ s(t) = \frac{1}{2} t^2 \] Bước 1: Tìm đạo hàm của \( s(t) \) để xác định vận tốc tức thời \( v(t) \): \[ v(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} t^2 \right) \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm bậc hai: \[ v(t) = \frac{1}{2} \cdot 2t = t \] Bước 2: Thay \( t = 5 \) vào biểu thức của \( v(t) \) để tìm vận tốc tức thời tại thời điểm này: \[ v(5) = 5 \] Vậy vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \( t = 5 \) giây là: \[ \boxed{5 \text{ m/s}} \] Câu 1 Để giải các bất phương trình logarit, ta sẽ áp dụng tính chất của hàm số logarit và các điều kiện xác định. Bất phương trình a) $\log_3(7x-1) < \log_3(x+5)$ Bước 1: Xác định điều kiện xác định - Đối với $\log_3(7x-1)$: $7x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{7}$ - Đối với $\log_3(x+5)$: $x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5$ Tổng hợp lại, điều kiện xác định là: \[ x > \frac{1}{7} \] Bước 2: Giải bất phương trình Do hàm số logarit cơ số 3 là hàm số đồng biến, nên ta có: \[ \log_3(7x-1) < \log_3(x+5) \Rightarrow 7x - 1 < x + 5 \] \[ 7x - x < 5 + 1 \] \[ 6x < 6 \] \[ x < 1 \] Bước 3: Kết hợp điều kiện xác định Từ điều kiện xác định $x > \frac{1}{7}$ và kết quả từ bất phương trình $x < 1$, ta có: \[ \frac{1}{7} < x < 1 \] Kết luận: \[ x \in \left( \frac{1}{7}, 1 \right) \] Bất phương trình b) $\log_{\frac{2}{3}}(3-x) > \log_{\frac{2}{3}}(x+7)$ Bước 1: Xác định điều kiện xác định - Đối với $\log_{\frac{2}{3}}(3-x)$: $3 - x > 0 \Rightarrow x < 3$ - Đối với $\log_{\frac{2}{3}}(x+7)$: $x + 7 > 0 \Rightarrow x > -7$ Tổng hợp lại, điều kiện xác định là: \[ -7 < x < 3 \] Bước 2: Giải bất phương trình Do hàm số logarit cơ số $\frac{2}{3}$ là hàm số nghịch biến, nên ta có: \[ \log_{\frac{2}{3}}(3-x) > \log_{\frac{2}{3}}(x+7) \Rightarrow 3 - x < x + 7 \] \[ 3 - 7 < x + x \] \[ -4 < 2x \] \[ -2 < x \] Bước 3: Kết hợp điều kiện xác định Từ điều kiện xác định $-7 < x < 3$ và kết quả từ bất phương trình $-2 < x$, ta có: \[ -2 < x < 3 \] Kết luận: \[ x \in (-2, 3) \] Đáp số: a) $x \in \left( \frac{1}{7}, 1 \right)$ b) $x \in (-2, 3)$