giải giúp em ạ

Câu 1. Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định đúng. A. $\int x^{\frac{4}{3}} dx = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$ - Ta có $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. - Áp dụng vào đây, ta có $n = \frac{4}{3}$, vậy $\int x^{\frac{4}{3}} dx = \frac{x^{\frac{4}{3} + 1}}{\frac{4}{3} + 1} + C = \frac{x^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}} + C = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$. - Khẳng định này đúng. B. $\int x^{\frac{5}{3}} dx = \frac{7}{3} x^{\frac{2}{3}} + C$ - Ta có $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. - Áp dụng vào đây, ta có $n = \frac{5}{3}$, vậy $\int x^{\frac{5}{3}} dx = \frac{x^{\frac{5}{3} + 1}}{\frac{5}{3} + 1} + C = \frac{x^{\frac{8}{3}}}{\frac{8}{3}} + C = \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$. - Khẳng định này sai. C. $\int x^{\frac{1}{3}} dx = 3 x^{\frac{1}{3}} + C$ - Ta có $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. - Áp dụng vào đây, ta có $n = \frac{1}{3}$, vậy $\int x^{\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{1}{3} + 1}}{\frac{1}{3} + 1} + C = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$. - Khẳng định này sai. D. $\int x^{\frac{4}{3}} dx = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}} + C$ - Ta có $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. - Áp dụng vào đây, ta có $n = \frac{4}{3}$, vậy $\int x^{\frac{4}{3}} dx = \frac{x^{\frac{4}{3} + 1}}{\frac{4}{3} + 1} + C = \frac{x^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}} + C = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$. - Khẳng định này sai. Vậy khẳng định đúng là: $\textcircled{A.}~\int x^{\frac{4}{3}} dx = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$. Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính tích phân của hàm số \(3^{2x}\). Bước 1: Xác định dạng tích phân của hàm số \(a^{bx}\): \[ \int a^{bx} \, dx = \frac{a^{bx}}{b \ln a} + C \] Bước 2: Áp dụng công thức trên vào bài toán: \[ \int 3^{2x} \, dx = \frac{3^{2x}}{2 \ln 3} + C \] Bước 3: So sánh kết quả với các lựa chọn đã cho: - A. \(\int 3^{2x} \, dx = \frac{3^{2x}}{\ln 3} + C\) (sai vì thiếu nhân tử 2 ở mẫu) - B. \(\int 3^{2x} \, dx = \frac{9^x}{\ln 9} + C\) (đúng vì \(9^x = (3^2)^x = 3^{2x}\)) - C. \(\int 3^{2x} \, dx = 3^{2x} \cdot \ln 3 + C\) (sai vì không đúng dạng tích phân) - D. \(\int 3^{2x} \, dx = 9^2 \cdot \ln 9 + C\) (sai vì không đúng dạng tích phân) Như vậy, khẳng định đúng là: \[ B. \int 3^{2x} \, dx = \frac{9^x}{\ln 9} + C \] Câu 3. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x - \sin x \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ trong hàm số: - Nguyên hàm của \( x \) là \( \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1 \). - Nguyên hàm của \( -\sin x \) là \( \int -\sin x \, dx = \cos x + C_2 \). 2. Kết hợp các nguyên hàm lại: \[ \int (x - \sin x) \, dx = \int x \, dx - \int \sin x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1 + \cos x + C_2 \] 3. Gộp các hằng số \( C_1 \) và \( C_2 \) thành một hằng số tổng quát \( C \): \[ \int (x - \sin x) \, dx = \frac{x^2}{2} + \cos x + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x - \sin x \) là: \[ \frac{x^2}{2} + \cos x + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~\frac{x^2}{2} - \cos x + C \] Tuy nhiên, có vẻ như có một lỗi trong việc ghi đáp án. Đáp án đúng theo các bước trên là: \[ A.~\frac{x^2}{2} + \cos x + C \] Câu 4. Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{2\sqrt{x} - 1}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tách phân thức thành hai phần: \[ f(x) = \frac{2\sqrt{x}}{x} - \frac{1}{x} \] Bước 2: Rút gọn từng phần: \[ f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x} \] \[ f(x) = 2x^{-\frac{1}{2}} - x^{-1} \] Bước 3: Tìm nguyên hàm của mỗi phần riêng lẻ: - Nguyên hàm của $2x^{-\frac{1}{2}}$: \[ \int 2x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{x} \] - Nguyên hàm của $-x^{-1}$: \[ \int -x^{-1} \, dx = -\ln|x| = -\ln x \] (vì $x > 0$) Bước 4: Kết hợp các nguyên hàm lại: \[ \int f(x) \, dx = 4\sqrt{x} - \ln x + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{2\sqrt{x} - 1}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ là: \[ 4\sqrt{x} - \ln x + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~4\sqrt{x} - \ln x + C \]