Cứu tuiiiiiiiii

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cho trước - \( f(0) = \sin(2 \cdot 0) + 0 = \sin(0) + 0 = 0 \) - \( f(\pi) = \sin(2 \cdot \pi) + \pi = \sin(2\pi) + \pi = 0 + \pi = \pi \) Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số - \( f(x) = \sin(2x) + x \) - \( f'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(2x)] + \frac{d}{dx}[x] = 2\cos(2x) + 1 \) Bước 3: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 trên đoạn [0; π] - \( f'(x) = 2\cos(2x) + 1 = 0 \) - \( 2\cos(2x) = -1 \) - \( \cos(2x) = -\frac{1}{2} \) Phương trình \( \cos(2x) = -\frac{1}{2} \) có hai nghiệm trong khoảng [0; π]: - \( 2x = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} \) - \( 2x = \frac{4\pi}{3} \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3} \) Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và biên - \( f(0) = 0 \) - \( f(\pi) = \pi \) - \( f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{3} = \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{3} \) - \( f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{2\pi}{3} = \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) + \frac{2\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3} \) Bước 5: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất - \( f(0) = 0 \) - \( f(\pi) = \pi \) - \( f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{3} \approx 1.913 \) - \( f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3} \approx 1.228 \) Trong các giá trị trên, giá trị lớn nhất là \( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{3} \). Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = \sin(2x) + x \) trên đoạn [0; π] là \( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{3} \), đạt được khi \( x = \frac{\pi}{3} \). Câu 2: a) Quãng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t). b) Ta có: \[ v(t) = -10t + 20 \] Tìm nguyên hàm của v(t): \[ s(t) = \int (-10t + 20) \, dt = -5t^2 + 20t + C \] Do ban đầu (t = 0), xe chưa di chuyển nên s(0) = 0. Từ đó suy ra: \[ 0 = -5(0)^2 + 20(0) + C \Rightarrow C = 0 \] Vậy: \[ s(t) = -5t^2 + 20t \] c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 20 giây. Xe dừng hẳn khi v(t) = 0: \[ -10t + 20 = 0 \] \[ 10t = 20 \] \[ t = 2 \text{ (giây)} \] d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Quãng đường xe đi được trong 1 giây đầu tiên (thời gian phản ứng): \[ s_{phản ứng} = 6 \times 1 = 6 \text{ (m)} \] Quãng đường xe đi được kể từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn: \[ s_{đạp phanh} = -5(2)^2 + 20(2) = -5 \times 4 + 40 = -20 + 40 = 20 \text{ (m)} \] Tổng quãng đường xe đi được từ khi phát hiện chướng ngại vật đến khi dừng hẳn: \[ s_{tổng} = s_{phản ứng} + s_{đạp phanh} = 6 + 20 = 26 \text{ (m)} \] So sánh với khoảng cách đến chướng ngại vật (som). Nếu som > 26 m thì xe không va vào chướng ngại vật. Kết luận: - Quãng đường xe đi được trong thời gian t (giây) là \( s(t) = -5t^2 + 20t \). - Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là 2 giây. - Xe không va vào chướng ngại vật nếu khoảng cách đến chướng ngại vật lớn hơn 26 mét. Câu 3: a) Xác suất người đó mắc bệnh phổi khi nghiện thuốc lá là 0,3. - Tỉ lệ người dân của tỉnh X nghiện thuốc lá là 20%, tức là xác suất người đó nghiện thuốc lá là 0,2. - Tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là 70%, tức là xác suất người đó mắc bệnh phổi khi nghiện thuốc lá là 0,7. Do đó, xác suất người đó mắc bệnh phổi khi nghiện thuốc lá là 0,7, không phải 0,3. b) Tỉ lệ người mắc bệnh phổi của tỉnh X là 26%. - Tỉ lệ người dân của tỉnh X nghiện thuốc lá là 20%, tức là xác suất người đó nghiện thuốc lá là 0,2. - Tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là 70%, tức là xác suất người đó mắc bệnh phổi khi nghiện thuốc lá là 0,7. - Tỉ lệ người không nghiện thuốc lá là 80%, tức là xác suất người đó không nghiện thuốc lá là 0,8. - Tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người không nghiện thuốc lá là 15%, tức là xác suất người đó mắc bệnh phổi khi không nghiện thuốc lá là 0,15. Xác suất người đó mắc bệnh phổi là: \[ P(\text{Bệnh phổi}) = P(\text{Nghiện thuốc lá}) \times P(\text{Bệnh phổi} | \text{Nghiện thuốc lá}) + P(\text{Không nghiện thuốc lá}) \times P(\text{Bệnh phổi} | \text{Không nghiện thuốc lá}) \] \[ P(\text{Bệnh phổi}) = 0,2 \times 0,7 + 0,8 \times 0,15 \] \[ P(\text{Bệnh phổi}) = 0,14 + 0,12 \] \[ P(\text{Bệnh phổi}) = 0,26 \] Do đó, tỉ lệ người mắc bệnh phổi của tỉnh X là 26%. c) Xác suất mà người đó nghiện thuốc lá khi biết bị bệnh phổi là $\frac{6}{13}$. - Xác suất người đó mắc bệnh phổi khi nghiện thuốc lá là 0,7. - Xác suất người đó mắc bệnh phổi khi không nghiện thuốc lá là 0,15. - Xác suất người đó mắc bệnh phổi là 0,26. Xác suất mà người đó nghiện thuốc lá khi biết bị bệnh phổi là: \[ P(\text{Nghiện thuốc lá} | \text{Bệnh phổi}) = \frac{P(\text{Nghiện thuốc lá}) \times P(\text{Bệnh phổi} | \text{Nghiện thuốc lá})}{P(\text{Bệnh phổi})} \] \[ P(\text{Nghiện thuốc lá} | \text{Bệnh phổi}) = \frac{0,2 \times 0,7}{0,26} \] \[ P(\text{Nghiện thuốc lá} | \text{Bệnh phổi}) = \frac{0,14}{0,26} \] \[ P(\text{Nghiện thuốc lá} | \text{Bệnh phổi}) = \frac{14}{26} = \frac{7}{13} \] Do đó, xác suất mà người đó nghiện thuốc lá khi biết bị bệnh phổi là $\frac{7}{13}$, không phải $\frac{6}{13}$. d) Xác suất người đó bị bệnh phổi khi không nghiện thuốc lá là 0,15. - Tỉ lệ người không nghiện thuốc lá là 80%, tức là xác suất người đó không nghiện thuốc lá là 0,8. - Tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người không nghiện thuốc lá là 15%, tức là xác suất người đó mắc bệnh phổi khi không nghiện thuốc lá là 0,15. Do đó, xác suất người đó bị bệnh phổi khi không nghiện thuốc lá là 0,15. Đáp số: a) Xác suất người đó mắc bệnh phổi khi nghiện thuốc lá là 0,7. b) Tỉ lệ người mắc bệnh phổi của tỉnh X là 26%. c) Xác suất mà người đó nghiện thuốc lá khi biết bị bệnh phổi là $\frac{7}{13}$. d) Xác suất người đó bị bệnh phổi khi không nghiện thuốc lá là 0,15. Câu 4: a) Phương trình tham số của đường cáp là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 6 + 2t \\ y = 4 - t \\ z = 1 - 2t \end{array} \right., \quad t \in \mathbb{R} \] b) Giả sử sau thời gian \( t \) kể từ xuất phát (\( t \geq 0 \)), cabin đến điểm M. Tọa độ của điểm M theo \( t \) là: \[ M \left( 6 + 2t, 4 - t, 1 - 2t \right) \] c) Cabin dừng ở điểm B có tung độ \( y_B = -396 \). Ta tìm giá trị của \( t \) khi cabin đến điểm B: \[ 4 - t = -396 \implies t = 400 \] Tọa độ của điểm B là: \[ B \left( 6 + 2 \cdot 400, 4 - 400, 1 - 2 \cdot 400 \right) = B \left( 806, -396, -799 \right) \] Độ dài quãng đường AB là: \[ AB = \sqrt{(806 - 6)^2 + (-396 - 4)^2 + (-799 - 1)^2} = \sqrt{800^2 + (-400)^2 + (-800)^2} = \sqrt{640000 + 160000 + 640000} = \sqrt{1440000} = 1200 \text{ mét} \] d) Đường cáp AB tạo với mặt phẳng (Oxy) góc \(\theta\). Ta tính góc này: \[ \cos \theta = \frac{|u_z|}{|u|} = \frac{|-2|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} = \frac{2}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{2}{3} \] \[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{2}{3} \right) \approx 48^\circ \] Đáp số: a) Phương trình tham số của đường cáp là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 6 + 2t \\ y = 4 - t \\ z = 1 - 2t \end{array} \right., \quad t \in \mathbb{R} \] b) Tọa độ của điểm M theo \( t \) là: \[ M \left( 6 + 2t, 4 - t, 1 - 2t \right) \] c) Độ dài quãng đường AB là 1200 mét. d) Đường cáp AB tạo với mặt phẳng (Oxy) góc khoảng \( 48^\circ \).