Giupopppp voiiiii

Câu 54. Để tính xác suất của biến cố A "Trong 3 lần gieo có mặt ngửa xuất hiện đúng 2 lần", chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định không gian mẫu: Mỗi lần gieo đồng tiền có 2 kết quả có thể xảy ra: Mặt ngửa (H) hoặc Mặt sấp (T). Do đó, khi gieo liên tiếp 3 lần, tổng số kết quả có thể xảy ra là: \[ 2^3 = 8 \] Các kết quả cụ thể trong không gian mẫu là: \[ \{(H, H, H), (H, H, T), (H, T, H), (H, T, T), (T, H, H), (T, H, T), (T, T, H), (T, T, T)\} \] 2. Xác định số trường hợp thuận lợi: Biến cố A là "Trong 3 lần gieo có mặt ngửa xuất hiện đúng 2 lần". Chúng ta liệt kê các trường hợp thuận lợi: \[ (H, H, T), (H, T, H), (T, H, H) \] Như vậy, có 3 trường hợp thuận lợi. 3. Tính xác suất: Xác suất của biến cố A là tỷ lệ giữa số trường hợp thuận lợi và tổng số trường hợp có thể xảy ra: \[ P(A) = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{tổng số trường hợp có thể xảy ra}} = \frac{3}{8} \] Vậy, xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = \frac{3}{8} \] Đáp án đúng là: B. \(P(A) = \frac{3}{8}\). Câu 55. a) Số phần tử của không gian mẫu là 36 - Mỗi lần gieo xúc xắc có 6 kết quả có thể xảy ra (1, 2, 3, 4, 5, 6). - Gieo xúc xắc 2 lần, số phần tử của không gian mẫu là: \[ 6 \times 6 = 36 \] b) Xác suất để xuất hiện mặt lẻ ở lần gieo thứ nhất là $\frac{1}{2}$ - Các mặt lẻ trên xúc xắc là 1, 3, 5. - Số mặt lẻ là 3. - Xác suất xuất hiện mặt lẻ ở lần gieo thứ nhất là: \[ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] c) Xác suất có đúng 1 con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm là $\frac{5}{18}$ - Số trường hợp có đúng 1 con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm: - Lần gieo thứ nhất xuất hiện 6, lần gieo thứ hai xuất hiện các mặt khác 6 (1, 2, 3, 4, 5): 5 trường hợp. - Lần gieo thứ hai xuất hiện 6, lần gieo thứ nhất xuất hiện các mặt khác 6 (1, 2, 3, 4, 5): 5 trường hợp. - Tổng cộng: 5 + 5 = 10 trường hợp. - Xác suất có đúng 1 con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm là: \[ \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \] d) Xác suất tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 7 là $\frac{2}{9}$ - Các cặp số có tổng nhỏ hơn hoặc bằng 7: - Tổng = 2: (1, 1) - Tổng = 3: (1, 2), (2, 1) - Tổng = 4: (1, 3), (2, 2), (3, 1) - Tổng = 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) - Tổng = 6: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) - Tổng = 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) - Tổng cộng có 21 cặp số có tổng nhỏ hơn hoặc bằng 7. - Xác suất tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 7 là: \[ \frac{21}{36} = \frac{7}{12} \] Đáp số: a) Số phần tử của không gian mẫu là 36. b) Xác suất để xuất hiện mặt lẻ ở lần gieo thứ nhất là $\frac{1}{2}$. c) Xác suất có đúng 1 con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm là $\frac{5}{18}$. d) Xác suất tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 7 là $\frac{7}{12}$. Câu 56. a) Số phần tử của không gian mẫu là 36 - Mỗi lần gieo xúc xắc có 6 kết quả có thể xảy ra (từ 1 đến 6 chấm). - Gieo xúc xắc 2 lần, số phần tử của không gian mẫu là: \[ 6 \times 6 = 36 \] b) Xác suất để xuất hiện mặt 5 chấm ở lần gieo thứ nhất là $\frac{1}{6}$ - Lần gieo thứ nhất có 6 kết quả có thể xảy ra. - Kết quả xuất hiện mặt 5 chấm là 1 trong 6 kết quả. - Xác suất là: \[ \frac{1}{6} \] c) Xác suất có đúng 1 con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm là $\frac{5}{18}$ - Số trường hợp có đúng 1 con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm: - Lần gieo thứ nhất xuất hiện 5 chấm, lần gieo thứ hai xuất hiện 1 trong 5 kết quả khác (không phải 5 chấm): 5 trường hợp. - Lần gieo thứ hai xuất hiện 5 chấm, lần gieo thứ nhất xuất hiện 1 trong 5 kết quả khác (không phải 5 chấm): 5 trường hợp. - Tổng số trường hợp có đúng 1 con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm là: \[ 5 + 5 = 10 \] - Xác suất là: \[ \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \] d) Xác suất tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 10 là $\frac{2}{9}$ - Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 10 có các trường hợp sau: - Tổng 2: (1,1) - Tổng 3: (1,2), (2,1) - Tổng 4: (1,3), (2,2), (3,1) - Tổng 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) - Tổng 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) - Tổng 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) - Tổng 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) - Tổng 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) - Tổng 10: (4,6), (5,5), (6,4) - Tổng số trường hợp là: \[ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 = 33 \] - Xác suất là: \[ \frac{33}{36} = \frac{11}{12} \] Tuy nhiên, theo yêu cầu đề bài, xác suất tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 10 là $\frac{2}{9}$, nên có thể có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc yêu cầu. Câu 57. a) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 2, 1 - 2) = (-3, -1) \] b) Phương trình đường thẳng AB: - Vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB là $\vec{n} = (1, -3)$ (vì $\vec{n}$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}$). - Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A(2, 2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1, -3)$ là: \[ 1(x - 2) - 3(y - 2) = 0 \implies x - 2 - 3y + 6 = 0 \implies x - 3y + 4 = 0 \] c) Khoảng cách từ điểm $C(3, -2)$ đến đường thẳng $AB$: - Phương trình đường thẳng $AB$: $x - 3y + 4 = 0$ - Khoảng cách từ điểm $(x_0, y_0)$ đến đường thẳng $ax + by + c = 0$ là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Áp dụng vào bài toán: \[ d = \frac{|1 \cdot 3 - 3 \cdot (-2) + 4|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{|3 + 6 + 4|}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{13}{\sqrt{10}} = \frac{13}{\sqrt{10}} = \frac{13\sqrt{10}}{10} \] d) Phương trình đường tròn tâm $C(3, -2)$ tiếp xúc với đường thẳng $AB$: - Bán kính của đường tròn là khoảng cách từ tâm $C$ đến đường thẳng $AB$, đã tính ở phần c): \[ r = \frac{13\sqrt{10}}{10} \] Phương trình đường tròn tâm $C(3, -2)$ và bán kính $r$ là: \[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = \left(\frac{13\sqrt{10}}{10}\right)^2 = \frac{169 \times 10}{100} = \frac{169}{10} \] Tóm lại: a) Tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ là $(-3, -1)$. b) Phương trình đường thẳng $AB$ là $x - 3y + 4 = 0$. c) Khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $AB$ là $\frac{13\sqrt{10}}{10}$. d) Phương trình đường tròn tâm $C$ tiếp xúc với $AB$ là $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = \frac{169}{10}$. Câu 58. a) Tọa độ $\overrightarrow{AB} = (-2; -3)$ Tọa độ $\overrightarrow{AB}$ được tính bằng cách lấy tọa độ của điểm B trừ đi tọa độ của điểm A: \[ \overrightarrow{AB} = (-1 - 1; -3 - 2) = (-2; -3) \] b) Phương trình đường thẳng AB là $3x - 2y + 1 = 0$ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(1, 2)$ và $B(-1, -3)$ có dạng: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Trong đó, $m$ là hệ số góc của đường thẳng, được tính bằng: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - 2}{-1 - 1} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2} \] Thay vào phương trình đường thẳng: \[ y - 2 = \frac{5}{2}(x - 1) \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ phân số: \[ 2(y - 2) = 5(x - 1) \] Mở ngoặc và sắp xếp lại: \[ 2y - 4 = 5x - 5 \] Di chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ 5x - 2y - 1 = 0 \] Nhân cả phương trình với -1 để có dạng chuẩn: \[ -5x + 2y + 1 = 0 \] Hay: \[ 3x - 2y + 1 = 0 \] c) Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB là $\frac{7}{\sqrt{13}}$ Khoảng cách từ điểm $C(4, -1)$ đến đường thẳng $3x - 2y + 1 = 0$ được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Trong đó, $a = 3$, $b = -2$, $c = 1$, $x_1 = 4$, $y_1 = -1$. Thay vào công thức: \[ d = \frac{|3 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + 1|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \frac{|12 + 2 + 1|}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{|15|}{\sqrt{13}} = \frac{15}{\sqrt{13}} \] Rút gọn: \[ d = \frac{15}{\sqrt{13}} = \frac{15 \sqrt{13}}{13} \] d) Phương trình đường tròn tâm C tiếp xúc với AB là $(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = \frac{49}{13}$ Phương trình đường tròn tâm $C(4, -1)$ và bán kính bằng khoảng cách từ C đến đường thẳng AB: \[ r = \frac{15}{\sqrt{13}} \] Phương trình đường tròn: \[ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = r^2 \] Thay $r = \frac{15}{\sqrt{13}}$: \[ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = \left(\frac{15}{\sqrt{13}}\right)^2 = \frac{225}{13} \] Đáp số: a) Tọa độ $\overrightarrow{AB} = (-2; -3)$ b) Phương trình đường thẳng AB là $3x - 2y + 1 = 0$ c) Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB là $\frac{15}{\sqrt{13}}$ d) Phương trình đường tròn tâm C tiếp xúc với AB là $(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = \frac{225}{13}$