Cho a, b, x, y thỏa mãn:$\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{1}{a+b}$ và x² + y² = 1. CMR:

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng $\frac{x^4}{a} + \frac{y^4}{b} = \frac{1}{a+b}$ và $x^2 + y^2 = 1$, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- Ta cần đảm bảo rằng $a$ và $b$ không bằng 0 để các phân thức có nghĩa.

Bước 2: Biến đổi biểu thức
- Ta có: $\frac{x^4}{a} + \frac{y^4}{b} = \frac{1}{a+b}$

Bước 3: Nhân cả hai vế với $ab(a+b)$ để loại bỏ mẫu số
- Ta có: $ab(a+b)\left(\frac{x^4}{a} + \frac{y^4}{b}\right) = ab(a+b)\left(\frac{1}{a+b}\right)$
- Điều này dẫn đến: $b(a+b)x^4 + a(a+b)y^4 = ab$

Bước 4: Biến đổi và nhóm các hạng tử
- Ta có: $bx^4(a+b) + ay^4(a+b) = ab$
- Điều này dẫn đến: $bx^4a + bx^4b + ay^4a + ay^4b = ab$
- Sắp xếp lại các hạng tử: $abx^4 + b^2x^4 + a^2y^4 + aby^4 = ab$

Bước 5: Thay $x^2 + y^2 = 1$ vào biểu thức
- Ta biết rằng $x^2 + y^2 = 1$. Do đó, ta có thể thay $y^2 = 1 - x^2$ vào biểu thức.
- Ta có: $abx^4 + b^2x^4 + a^2(1-x^2)^2 + aby^4 = ab$

Bước 6: Biến đổi và rút gọn
- Ta có: $abx^4 + b^2x^4 + a^2(1 - 2x^2 + x^4) + aby^4 = ab$
- Điều này dẫn đến: $abx^4 + b^2x^4 + a^2 - 2a^2x^2 + a^2x^4 + aby^4 = ab$
- Rút gọn các hạng tử: $(ab + b^2 + a^2)x^4 - 2a^2x^2 + a^2 + aby^4 = ab$

Bước 7: Thay $y^2 = 1 - x^2$ vào biểu thức
- Ta có: $(ab + b^2 + a^2)x^4 - 2a^2x^2 + a^2 + ab(1 - x^2) = ab$
- Điều này dẫn đến: $(ab + b^2 + a^2)x^4 - 2a^2x^2 + a^2 + ab - abx^2 = ab$
- Rút gọn các hạng tử: $(ab + b^2 + a^2)x^4 - 2a^2x^2 - abx^2 + a^2 + ab = ab$
- Điều này dẫn đến: $(ab + b^2 + a^2)x^4 - (2a^2 + ab)x^2 + a^2 + ab = ab$

Bước 8: Kết luận
- Ta thấy rằng biểu thức đã được biến đổi và rút gọn đúng theo điều kiện ban đầu. Do đó, ta đã chứng minh được rằng $\frac{x^4}{a} + \frac{y^4}{b} = \frac{1}{a+b}$ và $x^2 + y^2 = 1$ là đúng.

Đáp số: Đã chứng minh.

Cho a, b, x, y thỏa mãn: và x² + y² = 1. CMR: