nchchdcjvjxgmccjf

Câu 2: a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD, AB bằng $\frac{a\sqrt3}4.$ - Vì SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), nên SA vuông góc với AB. - Mặt khác, vì ABCD là hình vuông, nên AB vuông góc với AD. - Do đó, AB vuông góc với mặt phẳng SAD (theo dấu hiệu nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng). - Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng SD chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB. - Ta tính khoảng cách từ B đến SD: - Gọi H là trung điểm của SD, ta có BH là khoảng cách từ B đến SD. - Ta có $SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a$. - Vì H là trung điểm của SD, nên $SH = HD = a$. - Ta tính BH trong tam giác vuông SBH: - $SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a$. - $BH = \sqrt{SB^2 - SH^2} = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{4a^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$. - Vậy khoảng cách từ B đến SD là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB là $\frac{a\sqrt{3}}{4}$. b) $(SBC) \perp (SAB)$. - Vì SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), nên SA vuông góc với AB và SA vuông góc với BC. - Mặt khác, vì ABCD là hình vuông, nên AB vuông góc với BC. - Do đó, BC vuông góc với mặt phẳng SAB (theo dấu hiệu nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng). - Từ đó suy ra mặt phẳng SBC vuông góc với mặt phẳng SAB (theo dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng vuông góc). c) Thể tích khối chóp S.ABCD bằng $a^3$. - Diện tích đáy ABCD là $S_{ABCD} = (a\sqrt{3})^2 = 3a^2$. - Chiều cao SA của khối chóp là $a$. - Thể tích khối chóp S.ABCD là $V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA = \frac{1}{3} \times 3a^2 \times a = a^3$. d) Hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng SAD là A. - Vì SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), nên SA vuông góc với AD. - Mặt khác, vì ABCD là hình vuông, nên AB vuông góc với AD. - Do đó, AD vuông góc với mặt phẳng SAB (theo dấu hiệu nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng). - Từ đó suy ra hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng SAD là A (vì A nằm trên đường thẳng AD và SA vuông góc với AD). Đáp số: a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD, AB bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$. b) $(SBC) \perp (SAB)$. c) Thể tích khối chóp S.ABCD bằng $a^3$. d) Hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng SAD là A. Câu 1: Để tìm gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình vận tốc: Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = -3t^2 + 6t + 1 \] 2. Tìm thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất: Để tìm giá trị lớn nhất của \( v(t) \), chúng ta cần tìm đạo hàm của \( v(t) \) và đặt nó bằng 0: \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(-3t^2 + 6t + 1) = -6t + 6 \] Đặt \( v'(t) = 0 \): \[ -6t + 6 = 0 \implies t = 1 \] 3. Kiểm tra tính chất của đạo hàm tại \( t = 1 \): Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai của \( v(t) \): \[ v''(t) = \frac{d}{dt}(-6t + 6) = -6 \] Vì \( v''(t) = -6 < 0 \), nên \( v(t) \) đạt giá trị lớn nhất tại \( t = 1 \). 4. Tìm gia tốc tại thời điểm \( t = 1 \): Gia tốc \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc \( v(t) \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = -6t + 6 \] Tại \( t = 1 \): \[ a(1) = -6 \cdot 1 + 6 = 0 \] Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất là \( 0 \) m/s². Đáp số: \( 0 \) m/s². Câu 2: Để tính hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( f(x) = \frac{2}{x} + 2025 \) tại điểm \( M(1; 2027) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \): Ta có: \[ f(x) = \frac{2}{x} + 2025 \] Đạo hàm của \( f(x) \) là: \[ f'(x) = -\frac{2}{x^2} \] 2. Tính giá trị của đạo hàm tại điểm \( x = 1 \): Thay \( x = 1 \) vào đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(1) = -\frac{2}{1^2} = -2 \] 3. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \( M(1; 2027) \): Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( f(x) \) tại điểm \( M(1; 2027) \) chính là giá trị của đạo hàm tại điểm đó, tức là: \[ f'(1) = -2 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( f(x) = \frac{2}{x} + 2025 \) tại điểm \( M(1; 2027) \) là \(-2\). Đáp số: \(-2\) Câu 3: Để tính thể tích khối chóp S.ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy ABC: - Đáy ABC là tam giác đều cạnh 3. - Diện tích tam giác đều được tính theo công thức: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \] Với \( a = 3 \): \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9 = \frac{9\sqrt{3}}{4} \] 2. Xác định chiều cao của khối chóp: - Chiều cao của khối chóp S.ABC là đoạn thẳng từ đỉnh S vuông góc xuống đáy ABC, tức là SA. - Theo đề bài, \( SA = 4 \). 3. Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: - Thể tích khối chóp được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{đáy} \times h \] Với \( S_{đáy} = \frac{9\sqrt{3}}{4} \) và \( h = 4 \): \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{9\sqrt{3}}{4} \times 4 = \frac{1}{3} \times 9\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \] 4. Làm tròn kết quả đến hàng phần chục: - \( 3\sqrt{3} \approx 3 \times 1.732 = 5.196 \) - Làm tròn đến hàng phần chục: \( 5.196 \approx 5.2 \) Vậy thể tích khối chóp S.ABC là \( 5.2 \). Câu 4: Số học sinh lớp 11A thích ít nhất một trong hai môn thể thao là: \[ 50 - 13 = 37 \text{ (học sinh)} \] Gọi số học sinh thích cả hai môn thể thao là \( x \). Số học sinh thích môn cầu lông nhưng không thích môn bóng đá là: \[ 25 - x \] Số học sinh thích môn bóng đá nhưng không thích môn cầu lông là: \[ 20 - x \] Theo đề bài, tổng số học sinh thích ít nhất một trong hai môn thể thao là 37 học sinh, nên ta có phương trình: \[ (25 - x) + x + (20 - x) = 37 \] \[ 25 + 20 - x = 37 \] \[ 45 - x = 37 \] \[ x = 45 - 37 \] \[ x = 8 \] Vậy số học sinh thích cả hai môn thể thao là 8 học sinh. Xác suất để học sinh được chọn thích cả hai môn thể thao là: \[ P = \frac{\text{số học sinh thích cả hai môn thể thao}}{\text{tổng số học sinh lớp 11A}} = \frac{8}{50} = \frac{4}{25} \] Đáp số: \(\frac{4}{25}\) Câu 1 Để tính đạo hàm của hàm số $y = x^5 - 4\sqrt{x} + 2025$, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản. Bước 1: Xác định đạo hàm của mỗi thành phần trong hàm số. - Đạo hàm của $x^5$: \[ \frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4 \] - Đạo hàm của $-4\sqrt{x}$: \[ \frac{d}{dx}(-4\sqrt{x}) = -4 \cdot \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = -4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = -2x^{-1/2} = -\frac{2}{\sqrt{x}} \] - Đạo hàm của hằng số 2025: \[ \frac{d}{dx}(2025) = 0 \] Bước 2: Kết hợp các đạo hàm đã tính được. \[ y' = 5x^4 - \frac{2}{\sqrt{x}} + 0 \] Vậy đạo hàm của hàm số $y = x^5 - 4\sqrt{x} + 2025$ là: \[ y' = 5x^4 - \frac{2}{\sqrt{x}} \] Câu 2 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' 1. Tính diện tích đáy ABC: - Vì ABC là tam giác đều cạnh \(a\), diện tích đáy \(S_{ABC}\) được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] 2. Tính chiều cao của lăng trụ: - Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên mặt phẳng \((A'B'C')\) là trọng tâm \(G'\) của tam giác \(A'B'C'\). - Chiều cao của lăng trụ là khoảng cách từ \(A\) đến \(A'\), tức là \(AA' = a\). 3. Tính thể tích khối lăng trụ: - Thể tích \(V\) của khối lăng trụ được tính bằng công thức: \[ V = S_{ABC} \times AA' \] - Thay các giá trị đã biết vào: \[ V = \left(\frac{\sqrt{3}}{4} a^2\right) \times a = \frac{\sqrt{3}}{4} a^3 \] b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và B'C 1. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và B'C: - Đường thẳng \(AA'\) vuông góc với mặt phẳng \((A'B'C')\), do đó khoảng cách giữa \(AA'\) và \(B'C\) chính là khoảng cách từ điểm \(A'\) đến đường thẳng \(B'C\). 2. Tính khoảng cách từ điểm \(A'\) đến đường thẳng \(B'C\): - Ta cần tìm khoảng cách từ điểm \(A'\) đến đường thẳng \(B'C\). - Trong tam giác đều \(A'B'C'\), khoảng cách từ đỉnh \(A'\) đến đường thẳng \(B'C\) là đường cao hạ từ \(A'\) xuống \(B'C\). - Đường cao của tam giác đều cạnh \(a\) là: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} a \] 3. Kết luận: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(B'C\) là: \[ d = \frac{\sqrt{3}}{2} a \] Đáp số: - Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là: \[ V = \frac{\sqrt{3}}{4} a^3 \] - Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(B'C\) là: \[ d = \frac{\sqrt{3}}{2} a \] Câu 3 Để tính xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt, ta có thể tính xác suất để cả hai động cơ đều hỏng và lấy 1 trừ đi xác suất đó. Xác suất để động cơ I bị hỏng là 0,1. Xác suất để động cơ II bị hỏng là 0,2. Vì hai động cơ hoạt động độc lập với nhau, nên xác suất để cả hai động cơ đều hỏng là: \[ P(\text{cả hai động cơ đều hỏng}) = P(\text{động cơ I hỏng}) \times P(\text{động cơ II hỏng}) = 0,1 \times 0,2 = 0,02 \] Xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt là: \[ P(\text{ít nhất một động cơ chạy tốt}) = 1 - P(\text{cả hai động cơ đều hỏng}) = 1 - 0,02 = 0,98 \] Đáp số: 0,98 Câu 4 Để tính vận tốc của vật tại thời điểm \( t = 6 \) giây, ta cần tìm đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \). Phương trình chuyển động của vật là: \[ s(t) = 4 \cos \left( 2\pi t - \frac{\pi}{6} \right) \] Bước 1: Tìm đạo hàm của \( s(t) \) để xác định vận tốc tức thời \( v(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ 4 \cos \left( 2\pi t - \frac{\pi}{6} \right) \right] \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm cosinus: \[ \frac{d}{dt} \left[ \cos(u) \right] = -\sin(u) \cdot \frac{du}{dt} \] Trong đó \( u = 2\pi t - \frac{\pi}{6} \), nên: \[ \frac{du}{dt} = 2\pi \] Do đó: \[ v(t) = 4 \cdot (-\sin(2\pi t - \frac{\pi}{6})) \cdot 2\pi \] \[ v(t) = -8\pi \sin(2\pi t - \frac{\pi}{6}) \] Bước 2: Thay \( t = 6 \) vào phương trình vận tốc: \[ v(6) = -8\pi \sin \left( 2\pi \cdot 6 - \frac{\pi}{6} \right) \] \[ v(6) = -8\pi \sin \left( 12\pi - \frac{\pi}{6} \right) \] \[ v(6) = -8\pi \sin \left( \frac{72\pi - \pi}{6} \right) \] \[ v(6) = -8\pi \sin \left( \frac{71\pi}{6} \right) \] Bước 3: Chuyển góc \( \frac{71\pi}{6} \) về khoảng \( [0, 2\pi) \): \[ \frac{71\pi}{6} = 11\pi + \frac{5\pi}{6} \] \[ \frac{71\pi}{6} = 2\pi \cdot 5 + \pi + \frac{5\pi}{6} \] \[ \frac{71\pi}{6} = 2\pi \cdot 5 + \frac{11\pi}{6} \] \[ \frac{71\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \] Do đó: \[ v(6) = -8\pi \sin \left( \frac{11\pi}{6} \right) \] Biết rằng: \[ \sin \left( \frac{11\pi}{6} \right) = \sin \left( 2\pi - \frac{\pi}{6} \right) = -\sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2} \] Vậy: \[ v(6) = -8\pi \left( -\frac{1}{2} \right) \] \[ v(6) = 4\pi \] Bước 4: Tính giá trị số và làm tròn kết quả: \[ v(6) \approx 4 \times 3.14159 \approx 12.56636 \] Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất: \[ v(6) \approx 12.6 \text{ m/s} \] Đáp số: Vận tốc của vật tại thời điểm \( t = 6 \) giây là \( 12.6 \text{ m/s} \). Câu 5 Để tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường, chúng ta sẽ áp dụng kiến thức về parabol và độ dốc. 1. Xác định phương trình parabol: - Ta chọn hệ tọa độ sao cho đỉnh cầu trùng với gốc tọa độ (0, 0) và trục đối xứng của parabol trùng với trục y. - Phương trình parabol có dạng: \( y = ax^2 \). 2. Xác định khoảng cách giữa hai điểm trên mặt cầu: - Khoảng cách giữa hai điểm là 248 m, do đó mỗi bên sẽ là 124 m (vì parabol đối xứng). 3. Áp dụng điều kiện độ dốc: - Độ dốc tại một điểm trên parabol được xác định bởi đạo hàm của phương trình parabol. - Đạo hàm của \( y = ax^2 \) là \( y' = 2ax \). - Tại điểm xa nhất (x = 124 m), độ dốc không vượt quá 6"30', tức là \( \tan(6^\circ 30') \). 4. Tính giá trị của \( a \): - \( \tan(6^\circ 30') = \tan(6.5^\circ) \approx 0.1143 \). - Tại x = 124 m, độ dốc là \( 2a \times 124 \leq 0.1143 \). - Do đó, \( 2a \times 124 \leq 0.1143 \Rightarrow 2a \leq \frac{0.1143}{124} \Rightarrow 2a \leq 0.00092177 \Rightarrow a \leq 0.000460885 \). 5. Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường: - Chiều cao \( h \) tại x = 124 m là \( h = a \times 124^2 \). - Thay \( a = 0.000460885 \) vào, ta có: \[ h = 0.000460885 \times 124^2 = 0.000460885 \times 15376 = 7.08 \text{ m} \] Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là 7.1 m (làm tròn đến hàng phần mười).