jdieieieiie

Câu 1. Để tính giá trị của $\cos \alpha$, ta cần tìm góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Ta thực hiện theo các bước sau: 1. Tìm vector pháp tuyến của mỗi mặt phẳng: - Mặt phẳng $(P): x + 2y + 2z + 3 = 0$ có vector pháp tuyến $\vec{n}_1 = (1, 2, 2)$. - Mặt phẳng $(Q): 3x - 4y + 5 = 0$ có thể viết lại thành $3x - 4y + 0z + 5 = 0$, do đó vector pháp tuyến $\vec{n}_2 = (3, -4, 0)$. 2. Tính tích vô hướng của hai vector pháp tuyến: \[ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-4) + 2 \cdot 0 = 3 - 8 + 0 = -5 \] 3. Tính độ dài của mỗi vector pháp tuyến: \[ |\vec{n}_1| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] \[ |\vec{n}_2| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5 \] 4. Tính giá trị của $\cos \alpha$: \[ \cos \alpha = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{-5}{3 \cdot 5} = \frac{-5}{15} = -\frac{1}{3} \] Vậy giá trị của $\cos \alpha$ là: \[ \boxed{\cos \alpha = -\frac{1}{3}} \] Đáp án đúng là: $D.~\cos\alpha=-\frac13.$ Câu 2. Để tìm phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1;1;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (1;2;3)\), ta sử dụng công thức phương trình tham số của đường thẳng trong không gian. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(x_0, y_0, z_0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (a, b, c)\) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{array} \right. \] Áp dụng vào bài toán, ta có: - Điểm \(M(1;1;1)\) nên \(x_0 = 1\), \(y_0 = 1\), \(z_0 = 1\) - Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (1;2;3)\) nên \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 3\) Thay vào công thức trên, ta được: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 1 + 3t \end{array} \right. \] Do đó, phương trình của đường thẳng \(d\) là: \[ D.\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 1 + 3t \end{array} \right. \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D} \] Câu 3. Để tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;3;1) và vuông góc với đường thẳng d, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): - Đường thẳng d có phương hướng được xác định bởi vectơ $\vec{u} = (-1, 2, -3)$. - Vì mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d, nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) sẽ trùng với vectơ phương hướng của đường thẳng d. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (-1, 2, -3)$. 2. Lập phương trình mặt phẳng (P): - Phương trình mặt phẳng có dạng: $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$, trong đó $(a, b, c)$ là các thành phần của vectơ pháp tuyến và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm thuộc mặt phẳng. - Thay $\vec{n} = (-1, 2, -3)$ và điểm A(2;3;1) vào phương trình mặt phẳng: \[ -1(x - 2) + 2(y - 3) - 3(z - 1) = 0 \] - Rút gọn phương trình: \[ -x + 2 + 2y - 6 - 3z + 3 = 0 \] \[ -x + 2y - 3z - 1 = 0 \] \[ -x + 2y - 3z = 1 \] 3. Kiểm tra đáp án: - Các phương án đã cho là: \[ A.~x - 3y + z + 6 = 0 \] \[ B.~x - 3y + z - 6 = 0 \] \[ C.~2x + 3y + z + 6 = 0 \] \[ D.~-x + 3y - z + 5 = 0 \] - So sánh với phương trình đã tìm được $-x + 2y - 3z = 1$, ta thấy rằng không có phương án nào đúng theo phương trình đã tính toán. Do đó, có thể có lỗi trong việc so sánh hoặc các phương án đã cho không chính xác. Tuy nhiên, dựa trên phương trình đã tính toán, phương án gần đúng nhất là: \[ D.~-x + 3y - z + 5 = 0 \] Nhưng cần lưu ý rằng phương trình này không hoàn toàn khớp với phương trình đã tính toán. Câu 4. Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \) trong không gian Oxyz, ta cần xác định các hệ số của tham số \( t \) trong phương trình tham số của đường thẳng. Phương trình tham số của đường thẳng \( d \) là: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t \\ y = 3 + 2t \\ z = t \end{array} \right. \] Từ phương trình trên, ta thấy: - Khi \( t \) tăng 1 đơn vị, \( x \) giảm 1 đơn vị. - Khi \( t \) tăng 1 đơn vị, \( y \) tăng 2 đơn vị. - Khi \( t \) tăng 1 đơn vị, \( z \) tăng 1 đơn vị. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \) sẽ có các thành phần tương ứng với sự thay đổi của \( x \), \( y \), và \( z \) theo \( t \). Ta có: \[ \overrightarrow{u} = (-1; 2; 1) \] So sánh với các lựa chọn đã cho: - \( A.~\overrightarrow{u_3} = (1; 2; 1) \) - \( B.~\overrightarrow{u_4} = (-1; 2; 1) \) - \( C.~\overrightarrow{u_2} = (1; 3; 1) \) - \( D.~\overrightarrow{u_1} = (-1; 2; 0) \) Nhận thấy rằng \( \overrightarrow{u_4} = (-1; 2; 1) \) trùng khớp với vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \). Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~\overrightarrow{u_4} = (-1; 2; 1)} \] Câu 5. Phương trình của mặt cầu (S) là $(x-1)^2 + (y-4)^2 + (z+2)^2 = 9$. Ta nhận thấy rằng phương trình này có dạng chuẩn của phương trình mặt cầu $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $I(a, b, c)$ và bán kính là $R$. So sánh phương trình đã cho với phương trình chuẩn, ta có: - Tâm của mặt cầu là $I(1, 4, -2)$. - Bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt{9} = 3$. Do đó, tâm và bán kính của mặt cầu (S) là: \[ I(1, 4, -2), R = 3 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\text{A. } I(1, 4, -2), R = 3} \] Câu 6. Mặt phẳng $(P):~x+y+z-1=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;1;1)$. Do đó, đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{n_3}=(1;1;1)$. Câu 7. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng số học sinh và xác suất của các biến cố liên quan. 2. Tính xác suất của các biến cố \( P(B) \), \( P(\overline{B}) \), \( P(A|B) \), và \( P(A|\overline{B}) \). 3. Thay các giá trị vào biểu thức \( P(B).P(A|B) + P(\overline{B}).P(A|\overline{B}) \). Bước 1: Xác định tổng số học sinh và xác suất của các biến cố liên quan. Tổng số học sinh là 100. Số học sinh nữ là 12 + 38 = 50. Số học sinh nam là 18 + 32 = 50. Biến cố \( B \) là "Học sinh được chọn là nữ". Biến cố \( \overline{B} \) là "Học sinh được chọn là nam". Xác suất của biến cố \( B \): \[ P(B) = \frac{\text{số học sinh nữ}}{\text{tổng số học sinh}} = \frac{50}{100} = 0,5 \] Xác suất của biến cố \( \overline{B} \): \[ P(\overline{B}) = \frac{\text{số học sinh nam}}{\text{tổng số học sinh}} = \frac{50}{100} = 0,5 \] Biến cố \( A \) là "Học sinh được chọn có tật khúc xạ". Số học sinh nữ có tật khúc xạ là 12. Số học sinh nam có tật khúc xạ là 18. Xác suất của biến cố \( A \) cho điều kiện \( B \) (học sinh nữ có tật khúc xạ): \[ P(A|B) = \frac{\text{số học sinh nữ có tật khúc xạ}}{\text{số học sinh nữ}} = \frac{12}{50} = 0,24 \] Xác suất của biến cố \( A \) cho điều kiện \( \overline{B} \) (học sinh nam có tật khúc xạ): \[ P(A|\overline{B}) = \frac{\text{số học sinh nam có tật khúc xạ}}{\text{số học sinh nam}} = \frac{18}{50} = 0,36 \] Bước 2: Thay các giá trị vào biểu thức \( P(B).P(A|B) + P(\overline{B}).P(A|\overline{B}) \). \[ P(B).P(A|B) + P(\overline{B}).P(A|\overline{B}) = 0,5 \times 0,24 + 0,5 \times 0,36 \] \[ = 0,12 + 0,18 \] \[ = 0,3 \] Vậy giá trị biểu thức \( P(B).P(A|B) + P(\overline{B}).P(A|\overline{B}) \) bằng 0,3. Đáp án đúng là: D. 0,3. Câu 8. Để tính xác suất điều kiện \( P(A|B) \), ta sử dụng công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Trong đó: - \( P(A \cap B) \) là xác suất của cả hai biến cố A và B xảy ra cùng một lúc. - \( P(B) \) là xác suất của biến cố B. Vì A và B là hai biến cố độc lập, nên ta có: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \] Thay các giá trị đã cho vào công thức trên: \[ P(A \cap B) = 0,1997 \times 0,1994 \] Tính \( P(A \cap B) \): \[ P(A \cap B) = 0,1997 \times 0,1994 = 0,03986018 \] Bây giờ, thay \( P(A \cap B) \) và \( P(B) \) vào công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{0,03986018}{0,1994} \] Tính \( P(A|B) \): \[ P(A|B) = \frac{0,03986018}{0,1994} \approx 0,1997 \] Vậy, \( P(A|B) = 0,1997 \). Do đó, đáp án đúng là: A. 0,1997. Câu 9. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 1 \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Nguyên hàm của \( 2x \) là: \[ \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \] Nguyên hàm của \( 1 \) là: \[ \int 1 \, dx = x \] Vậy, họ nguyên hàm của \( f(x) = 2x + 1 \) là: \[ \int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~x^2 + x + C \] Đáp án: \( A.~x^2 + x + C \) Câu 10. Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y = x^2$, $y = -1$, $x = 0$, và $x = 1$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân để tính diện tích giữa hai đường cong. Bước 1: Xác định khoảng tích phân - Khoảng tích phân từ $x = 0$ đến $x = 1$. Bước 2: Xác định hàm số trên và dưới - Đường cong trên là $y = x^2$. - Đường thẳng dưới là $y = -1$. Bước 3: Tính diện tích bằng cách lấy tích phân của hiệu giữa hàm số trên và hàm số dưới trong khoảng đã cho: \[ S = \int_{0}^{1} (x^2 - (-1)) \, dx = \int_{0}^{1} (x^2 + 1) \, dx \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \textcircled{A.}~S = \int_{0}^{1} (x^2 + 1) \, dx \]