Giyp mik vs

Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng lý thuyết xác suất nhị thức. a) Tính xác suất để Bình đạt đúng 8 điểm Bình cần đúng 16 câu để đạt 8 điểm (vì mỗi câu đúng được 0,5 điểm). - Số câu chắc chắn đúng là 10 câu. - Số câu còn lại là 10 câu, trong đó Bình cần đúng thêm 6 câu nữa. Xác suất để Bình trả lời đúng một câu trong 10 câu còn lại là $\frac{1}{4}$ (vì có 4 đáp án và chỉ có 1 đáp án đúng). Xác suất để Bình trả lời sai một câu trong 10 câu còn lại là $\frac{3}{4}$. Ta sử dụng công thức xác suất nhị thức: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] Trong đó: - \( n = 10 \) (số câu còn lại) - \( k = 6 \) (số câu cần đúng) - \( p = \frac{1}{4} \) (xác suất đúng một câu) Thay vào công thức: \[ P(X = 6) = \binom{10}{6} \left( \frac{1}{4} \right)^6 \left( \frac{3}{4} \right)^4 \] Tính toán: \[ \binom{10}{6} = \frac{10!}{6!4!} = 210 \] \[ \left( \frac{1}{4} \right)^6 = \frac{1}{4096} \] \[ \left( \frac{3}{4} \right)^4 = \frac{81}{256} \] Nhân các giá trị lại: \[ P(X = 6) = 210 \times \frac{1}{4096} \times \frac{81}{256} = 210 \times \frac{81}{1048576} = \frac{17010}{1048576} \approx 0.0162 \] b) Tính xác suất để Bình đạt được từ 9 điểm trở lên Để đạt từ 9 điểm trở lên, Bình cần đúng ít nhất 18 câu (vì mỗi câu đúng được 0,5 điểm). - Số câu chắc chắn đúng là 10 câu. - Số câu còn lại là 10 câu, trong đó Bình cần đúng thêm 8 câu hoặc nhiều hơn. Ta tính xác suất cho các trường hợp \( X = 8 \), \( X = 9 \), và \( X = 10 \). Xác suất \( X = 8 \): \[ P(X = 8) = \binom{10}{8} \left( \frac{1}{4} \right)^8 \left( \frac{3}{4} \right)^2 \] \[ \binom{10}{8} = 45 \] \[ \left( \frac{1}{4} \right)^8 = \frac{1}{65536} \] \[ \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16} \] \[ P(X = 8) = 45 \times \frac{1}{65536} \times \frac{9}{16} = 45 \times \frac{9}{1048576} = \frac{405}{1048576} \approx 0.000386 \] Xác suất \( X = 9 \): \[ P(X = 9) = \binom{10}{9} \left( \frac{1}{4} \right)^9 \left( \frac{3}{4} \right)^1 \] \[ \binom{10}{9} = 10 \] \[ \left( \frac{1}{4} \right)^9 = \frac{1}{262144} \] \[ \left( \frac{3}{4} \right)^1 = \frac{3}{4} \] \[ P(X = 9) = 10 \times \frac{1}{262144} \times \frac{3}{4} = 10 \times \frac{3}{1048576} = \frac{30}{1048576} \approx 0.0000286 \] Xác suất \( X = 10 \): \[ P(X = 10) = \binom{10}{10} \left( \frac{1}{4} \right)^{10} \left( \frac{3}{4} \right)^0 \] \[ \binom{10}{10} = 1 \] \[ \left( \frac{1}{4} \right)^{10} = \frac{1}{1048576} \] \[ \left( \frac{3}{4} \right)^0 = 1 \] \[ P(X = 10) = 1 \times \frac{1}{1048576} \times 1 = \frac{1}{1048576} \approx 0.00000095 \] Tổng xác suất để đạt từ 9 điểm trở lên: \[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) \] \[ P(X \geq 8) \approx 0.000386 + 0.0000286 + 0.00000095 \approx 0.00041555 \] Đáp số: a) Xác suất để Bình đạt đúng 8 điểm là khoảng 0.0162. b) Xác suất để Bình đạt từ 9 điểm trở lên là khoảng 0.00041555. Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a) Chứng minh $SC \perp (AHK)$ 1. Xác định các hình chiếu vuông góc: - H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. - I là hình chiếu vuông góc của A lên SS. - K là hình chiếu vuông góc của A lên SD. 2. Chứng minh $SC \perp AH$: - Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp AB$ và $SA \perp AD$. - Do đó, $SA \perp (SAB)$ và $SA \perp (SAD)$. - Mặt khác, vì H là hình chiếu của A lên SB nên $AH \perp SB$. - Vì K là hình chiếu của A lên SD nên $AK \perp SD$. - Kết hợp với $SA \perp (ABCD)$, ta có $SA \perp BC$. - Vì ABCD là hình vuông nên $BC \perp CD$. - Do đó, $SC \perp (SAB)$ và $SC \perp (SAD)$. - Từ đó suy ra $SC \perp AH$ và $SC \perp AK$. 3. Kết luận: - Vì $SC \perp AH$ và $SC \perp AK$, nên $SC \perp (AHK)$. Phần b) Chứng minh điểm I thuộc mặt phẳng (AHK) 1. Xác định vị trí của I: - I là hình chiếu của A lên SS, do đó I nằm trên đường thẳng SS. 2. Chứng minh I thuộc (AHK): - Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp AB$ và $SA \perp AD$. - Do đó, $SA \perp (SAB)$ và $SA \perp (SAD)$. - Vì H là hình chiếu của A lên SB nên $AH \perp SB$. - Vì K là hình chiếu của A lên SD nên $AK \perp SD$. - Kết hợp với $SA \perp (ABCD)$, ta có $SA \perp BC$. - Vì ABCD là hình vuông nên $BC \perp CD$. - Do đó, $SC \perp (SAB)$ và $SC \perp (SAD)$. - Từ đó suy ra $SC \perp AH$ và $SC \perp AK$. 3. Kết luận: - Vì $I$ là hình chiếu của $A$ lên $SS$, và $SS$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$, do đó $I$ cũng nằm trong mặt phẳng $(AHK)$. Đáp số: - a) $SC \perp (AHK)$ - b) Điểm I thuộc mặt phẳng (AHK). Câu 3. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và A'C', ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích đáy ABC: - Ta biết rằng thể tích của lăng trụ ABC.A'B'C' là 1. - Gọi diện tích đáy ABC là S và chiều cao của lăng trụ là h. - Thể tích của lăng trụ được tính bằng công thức: \( V = S \times h \). Do đó: \[ 1 = S \times h \implies S = \frac{1}{h} \] 2. Tính diện tích tam giác AB'C': - Ta biết rằng \( AB' = 1 \) và \( A'C' = \sqrt{2} \). - Hai đường thẳng AB' và A'C' vuông góc với nhau, tức là góc giữa chúng là 90°. - Diện tích tam giác AB'C' được tính bằng công thức: \[ S_{AB'C'} = \frac{1}{2} \times AB' \times A'C' = \frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và A'C': - Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và A'C' là chiều cao hạ từ điểm B' xuống đường thẳng A'C'. - Gọi khoảng cách này là d. - Diện tích tam giác AB'C' cũng có thể được tính bằng công thức: \[ S_{AB'C'} = \frac{1}{2} \times A'C' \times d \] - Thay giá trị diện tích đã tính vào: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times d \] - Giải phương trình để tìm d: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times d \implies d = 1 \] Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và A'C' là 1. Câu 4. Để tính thể tích hình chóp S.ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số cơ bản: - Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC với cạnh a. - Mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). - Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) với mặt phẳng (ABC) lần lượt là \(60^\circ\) và \(45^\circ\). 2. Xác định chiều cao của hình chóp từ đỉnh S xuống đáy ABC: - Vì (SAC) vuông góc với (ABC), nên đường cao hạ từ S xuống AC sẽ nằm trong mặt phẳng (SAC) và vuông góc với AC. - Gọi H là chân đường cao từ S xuống AC, ta có SH là đường cao của tam giác SAC. 3. Tính chiều cao SH: - Tam giác SAC là tam giác nhọn, do đó ta có thể sử dụng các tính chất của tam giác để tính SH. - Gọi M là trung điểm của AC, ta có AM = MC = \(\frac{a}{2}\). - Tam giác SAM là tam giác vuông tại M, do đó ta có: \[ SH = SA \cdot \sin(60^\circ) \] - Ta biết rằng góc giữa (SAB) và (ABC) là \(60^\circ\), do đó góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) cũng là \(60^\circ\). Từ đó ta có: \[ SH = SA \cdot \sin(60^\circ) = SA \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] 4. Tính diện tích đáy ABC: - Diện tích tam giác đều ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] 5. Tính thể tích hình chóp S.ABC: - Thể tích hình chóp S.ABC là: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SH \] - Thay các giá trị đã tính vào công thức trên: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \times SA \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] - Ta cần tính SA. Vì góc giữa (SBC) và (ABC) là \(45^\circ\), ta có: \[ SA = \frac{a}{\sqrt{2}} \] - Thay SA vào công thức thể tích: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \times \frac{a}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \times \frac{a \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \] \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times \frac{a^3 \cdot 3}{8 \sqrt{2}} \] \[ V_{S.ABC} = \frac{a^3 \sqrt{2}}{8} \] Vậy thể tích hình chóp S.ABC là: \[ V_{S.ABC} = \frac{a^3 \sqrt{2}}{8} \]