Giúp mình với!

Câu 1. a) Ta có \( SA \perp (ABC) \), do đó \( SA \perp AC \). Trong tam giác ABC, ta có \( AC \perp AB \) (vì ABC là tam giác vuông cân tại A). Do đó, \( AC \perp (SAB) \) vì \( AC \) vuông góc với cả hai giao tuyến \( SA \) và \( AB \) của mặt phẳng \( (SAB) \). b) Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là góc giữa SB và hình chiếu của SB lên (ABC), tức là góc \( \widehat{SBA} \). c) Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của chúng. Trong trường hợp này, giao tuyến là BC. Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) là góc \( \widehat{SCB} \). d) Khoảng cách từ C đến (SAB) là khoảng cách từ C đến đường thẳng AB, tức là độ dài đoạn thẳng CA. Vậy đáp án đúng là: a) \( AC \perp (SAB) \) b) Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là góc \( \widehat{SBA} \) c) Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) là góc \( \widehat{SCB} \) d) Khoảng cách từ C đến (SAB) là CA Đáp án: d) Khoảng cách từ C đến (SAB) là CA. Câu 2. a) Ta có: $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ Do đó, nhận xét này sai. b) Ta có: $f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$ Mà $f(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 - 1 = -8 + 12 - 1 = 3$ Do đó: $f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{-x^3 + 3x^2 - 1 - 3}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{-x^3 + 3x^2 - 4}{x - 2}$ Nhận xét này đúng. c) Ta tính đạo hàm của $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x^2 - 1) = -3x^2 + 6x$ Nhận xét này đúng. d) Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$ là $f'(1)$: $f'(1) = -3(1)^2 + 6(1) = -3 + 6 = 3$ Nhận xét này đúng. Đáp án: A, B, C, D Câu 1. Để tính xác suất chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn Guitar hoặc vẽ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm số học sinh thích ít nhất một trong hai môn Guitar hoặc vẽ: - Số học sinh thích Guitar: 19 - Số học sinh thích vẽ: 17 - Số học sinh thích cả hai môn: 15 Áp dụng công thức: \[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \] Ta có: \[ |A \cup B| = 19 + 17 - 15 = 21 \] Vậy có 21 học sinh thích ít nhất một trong hai môn Guitar hoặc vẽ. 2. Tính xác suất: - Tổng số học sinh trong lớp: 40 - Số học sinh thích ít nhất một trong hai môn: 21 Xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn Guitar hoặc vẽ là: \[ P = \frac{|A \cup B|}{\text{Tổng số học sinh}} = \frac{21}{40} \] Làm tròn kết quả đến hàng phần chục: \[ P \approx 0.5 \] Đáp số: Xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn Guitar hoặc vẽ là 0.5. Câu 2. Để tính xác suất để hai viên bi lấy ra cùng màu, ta sẽ tính xác suất của hai trường hợp: cả hai viên bi đều màu xanh và cả hai viên bi đều màu đỏ. 1. Tính xác suất cả hai viên bi đều màu xanh: - Xác suất lấy ra một viên bi màu xanh từ túi I là $\frac{3}{10}$. - Xác suất lấy ra một viên bi màu xanh từ túi II là $\frac{14}{20} = \frac{7}{10}$. - Vậy xác suất cả hai viên bi đều màu xanh là: \[ P(\text{xanh}) = \frac{3}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{21}{100} \] 2. Tính xác suất cả hai viên bi đều màu đỏ: - Xác suất lấy ra một viên bi màu đỏ từ túi I là $\frac{7}{10}$. - Xác suất lấy ra một viên bi màu đỏ từ túi II là $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$. - Vậy xác suất cả hai viên bi đều màu đỏ là: \[ P(\text{đỏ}) = \frac{7}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{21}{100} \] 3. Tính tổng xác suất để hai viên bi lấy ra cùng màu: - Tổng xác suất là: \[ P(\text{cùng màu}) = P(\text{xanh}) + P(\text{đỏ}) = \frac{21}{100} + \frac{21}{100} = \frac{42}{100} = 0.42 \] Vậy xác suất để hai viên bi lấy ra cùng màu là 0.42. Câu 3. Để giải bất phương trình $3^{-2x-1} > \frac{1}{9}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại bất phương trình: Ta nhận thấy rằng $\frac{1}{9}$ có thể viết dưới dạng lũy thừa cơ số 3: \[ \frac{1}{9} = 3^{-2} \] Vậy bất phương trình trở thành: \[ 3^{-2x-1} > 3^{-2} \] 2. So sánh các lũy thừa: Vì cơ số 3 là số dương lớn hơn 1, nên ta có thể so sánh các mũ của chúng: \[ -2x - 1 > -2 \] 3. Giải bất phương trình bậc nhất: Ta giải bất phương trình này như sau: \[ -2x - 1 > -2 \] \[ -2x > -2 + 1 \] \[ -2x > -1 \] Chia cả hai vế cho -2 (nhớ đổi dấu): \[ x < \frac{1}{2} \] 4. Tập nghiệm: Tập nghiệm của bất phương trình là: \[ S = (-\infty; \frac{1}{2}) \] 5. Tìm giá trị của \(a\) và \(b\): Trong phân số tối giản $\frac{1}{2}$, ta có \(a = 1\) và \(b = 2\). 6. Tính giá trị của \(a + b\): \[ a + b = 1 + 2 = 3 \] Vậy giá trị của \(a + b\) là \(\boxed{3}\). Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm trên đồ thị (C) có tung độ \( y_0 = 1 \). 2. Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \) để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó. 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm đã tìm. 4. Tính giá trị của \( 2A + 3B \). Bước 1: Tìm tọa độ điểm trên đồ thị (C) có tung độ \( y_0 = 1 \) Ta có: \[ y = \frac{3x - 5}{x - 3} \] Thay \( y = 1 \) vào phương trình: \[ 1 = \frac{3x - 5}{x - 3} \] Nhân cả hai vế với \( x - 3 \): \[ x - 3 = 3x - 5 \] Rearrange the equation: \[ x - 3x = -5 + 3 \] \[ -2x = -2 \] \[ x = 1 \] Vậy tọa độ điểm trên đồ thị (C) có tung độ \( y_0 = 1 \) là \( (1, 1) \). Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \) Hàm số \( f(x) = \frac{3x - 5}{x - 3} \). Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ f'(x) = \frac{(3x - 5)'(x - 3) - (3x - 5)(x - 3)'}{(x - 3)^2} \] \[ f'(x) = \frac{3(x - 3) - (3x - 5)}{(x - 3)^2} \] \[ f'(x) = \frac{3x - 9 - 3x + 5}{(x - 3)^2} \] \[ f'(x) = \frac{-4}{(x - 3)^2} \] Tại điểm \( x = 1 \): \[ f'(1) = \frac{-4}{(1 - 3)^2} = \frac{-4}{(-2)^2} = \frac{-4}{4} = -1 \] Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm \( (1, 1) \) Phương trình tiếp tuyến có dạng: \[ y = f'(1)(x - 1) + f(1) \] \[ y = -1(x - 1) + 1 \] \[ y = -x + 1 + 1 \] \[ y = -x + 2 \] Vậy phương trình tiếp tuyến là \( y = -x + 2 \). So sánh với dạng \( y = Ax + B \), ta có: \[ A = -1 \] \[ B = 2 \] Bước 4: Tính giá trị của \( 2A + 3B \) \[ 2A + 3B = 2(-1) + 3(2) = -2 + 6 = 4 \] Vậy giá trị của \( 2A + 3B \) là \( 4 \). Đáp số: \( 4 \) Câu 1. Để tính đạo hàm của các hàm số đã cho, ta sẽ áp dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản. a) \( y = -\frac{1}{3}x^3 + 2\sqrt{x} - 5 \) Ta tính đạo hàm từng hạng tử: - Đạo hàm của \( -\frac{1}{3}x^3 \): \[ \left( -\frac{1}{3}x^3 \right)' = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 = -x^2 \] - Đạo hàm của \( 2\sqrt{x} \): \[ 2\sqrt{x} = 2x^{\frac{1}{2}} \] \[ \left( 2x^{\frac{1}{2}} \right)' = 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}} \] - Đạo hàm của hằng số \( -5 \): \[ (-5)' = 0 \] Vậy đạo hàm của \( y \) là: \[ y' = -x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}} \] b) \( y = (x^2 - 2x)e^{3x} \) Ta áp dụng quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số \( u(x)v(x) \): \[ (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \] Trong đó: - \( u(x) = x^2 - 2x \) - \( v(x) = e^{3x} \) Tính đạo hàm của \( u(x) \): \[ u'(x) = (x^2 - 2x)' = 2x - 2 \] Tính đạo hàm của \( v(x) \): \[ v'(x) = (e^{3x})' = 3e^{3x} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích: \[ y' = (x^2 - 2x)'e^{3x} + (x^2 - 2x)(e^{3x})' \] \[ y' = (2x - 2)e^{3x} + (x^2 - 2x) \cdot 3e^{3x} \] \[ y' = (2x - 2)e^{3x} + 3(x^2 - 2x)e^{3x} \] \[ y' = e^{3x} \left[ (2x - 2) + 3(x^2 - 2x) \right] \] \[ y' = e^{3x} \left[ 2x - 2 + 3x^2 - 6x \right] \] \[ y' = e^{3x} \left[ 3x^2 - 4x - 2 \right] \] Vậy đạo hàm của \( y \) là: \[ y' = e^{3x} (3x^2 - 4x - 2) \] Đáp số: a) \( y' = -x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}} \) b) \( y' = e^{3x} (3x^2 - 4x - 2) \)