Giúp mình với ạ

Câu 14. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một. Phát biểu A: \( f(2) = 2 \) Ta thay \( x = 2 \) vào hàm số \( f(x) \): \[ f(2) = \sqrt{2^2 - 2} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2} \] Như vậy, \( f(2) = \sqrt{2} \neq 2 \). Phát biểu A sai. Phát biểu B: \( g'(3) = 11 \) Hàm số \( g(x) = 3x + 2 \). Ta tính đạo hàm của \( g(x) \): \[ g'(x) = 3 \] Do đó, \( g'(3) = 3 \). Phát biểu B sai. Phát biểu C: \( f'(2) + g'(3) = 3\sqrt{2} \) Ta tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f(x) = \sqrt{x^2 - 2} \] \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 - 2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 2}} \] Thay \( x = 2 \) vào: \[ f'(2) = \frac{2}{\sqrt{2^2 - 2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \] Ta đã biết \( g'(x) = 3 \), do đó: \[ g'(3) = 3 \] Tính tổng: \[ f'(2) + g'(3) = \sqrt{2} + 3 \] Như vậy, \( f'(2) + g'(3) = \sqrt{2} + 3 \neq 3\sqrt{2} \). Phát biểu C sai. Phát biểu D: Đạo hàm của hàm số \( g[f(x)] \) tại \( x = 3 \) bằng \( \frac{9\sqrt{7}}{7} \) Ta tính đạo hàm của \( g[f(x)] \) bằng quy tắc đạo hàm của hàm hợp: \[ g[f(x)] = g(\sqrt{x^2 - 2}) = 3\sqrt{x^2 - 2} + 2 \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp: \[ \frac{d}{dx} [g(f(x))] = g'(f(x)) \cdot f'(x) \] Ta đã biết: \[ g'(u) = 3 \] \[ f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 2}} \] Do đó: \[ \frac{d}{dx} [g(f(x))] = 3 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - 2}} \] Thay \( x = 3 \): \[ \frac{d}{dx} [g(f(3))] = 3 \cdot \frac{3}{\sqrt{3^2 - 2}} = 3 \cdot \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{9}{\sqrt{7}} = \frac{9\sqrt{7}}{7} \] Như vậy, phát biểu D đúng. Kết luận: Đáp án đúng là D. Câu 15. Số tiền ban đầu người đó gửi vào ngân hàng là 18 triệu đồng. Lãi suất hàng năm là 8%, tức là mỗi năm số tiền tăng thêm 8% so với số tiền đầu kỳ. Ta sẽ tính số tiền sau mỗi năm bằng công thức lãi kép: \[ A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \] Trong đó: - \( A \) là số tiền cuối kỳ, - \( P \) là số tiền ban đầu, - \( r \) là lãi suất hàng năm, - \( n \) là số năm. Áp dụng vào bài toán: - \( P = 18 \) triệu đồng, - \( r = 8 \% \), - \( n = 7 \) năm. Thay vào công thức: \[ A = 18 \left(1 + \frac{8}{100}\right)^7 \] \[ A = 18 \left(1 + 0.08\right)^7 \] \[ A = 18 \left(1.08\right)^7 \] Bây giờ ta tính \( (1.08)^7 \): \[ (1.08)^7 \approx 1.713824 \] Nhân với số tiền ban đầu: \[ A \approx 18 \times 1.713824 \] \[ A \approx 30.848832 \] Làm tròn đến hàng phần mười: \[ A \approx 30.8 \] Vậy sau 7 năm, người đó có khoảng 30.8 triệu đồng. Câu 16. Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm M và N: - Điểm M là trung điểm của cạnh AD, do đó M có tọa độ $\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}, 0, 0\right)$. - Điểm N là trung điểm của cạnh SD, do đó N có tọa độ $\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}, \frac{a\sqrt{2}}{2}, \frac{a}{2}\right)$. Tiếp theo, ta xác định vectơ MN và SC: - Vectơ MN = N - M = $\left(0, \frac{a\sqrt{2}}{2}, \frac{a}{2}\right)$. - Vectơ SC = C - S = $(a\sqrt{2}, a\sqrt{2}, -a)$. Ta tính tích vô hướng của MN và SC: \[ \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{SC} = 0 \cdot a\sqrt{2} + \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a\sqrt{2} + \frac{a}{2} \cdot (-a) = 0 + a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}. \] Ta tính độ dài của MN và SC: \[ |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{0^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}. \] \[ |\overrightarrow{SC}| = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + (a\sqrt{2})^2 + (-a)^2} = \sqrt{2a^2 + 2a^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}. \] Ta tính cos góc giữa MN và SC: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{SC}}{|\overrightarrow{MN}| \cdot |\overrightarrow{SC}|} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot a\sqrt{5}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2\sqrt{15}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{15}}. \] Do đó, góc giữa hai đường thẳng MN và SC là: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{15}}\right). \] Đáp số: Góc giữa hai đường thẳng MN và SC là $\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{15}}\right)$. Câu 17. Để tính xác suất của sự kiện \(A \cup B\) khi \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập, ta sử dụng công thức: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Trước tiên, ta cần tính \(P(A \cap B)\). Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập, nên ta có: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ P(A \cap B) = 0,4 \cdot 0,5 = 0,2 \] Bây giờ, ta thay các giá trị vào công thức ban đầu: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] \[ P(A \cup B) = 0,4 + 0,5 - 0,2 \] \[ P(A \cup B) = 0,7 \] Vậy xác suất của sự kiện \(A \cup B\) là: \[ \boxed{0,7} \] Câu 18. Cường độ dòng điện \( I(t) \) tại thời điểm \( t \) được tính bằng đạo hàm của hàm số điện lượng \( Q(t) \) theo thời gian \( t \). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( Q(t) \). \[ Q(t) = 2t^2 + t \] Tính đạo hàm: \[ Q'(t) = \frac{d}{dt}(2t^2 + t) = 4t + 1 \] Bước 2: Thay \( t = 4 \) vào biểu thức đạo hàm để tìm cường độ dòng điện tại thời điểm \( t = 4 \) giây. \[ I(4) = Q'(4) = 4 \cdot 4 + 1 = 16 + 1 = 17 \] Vậy cường độ dòng điện tại thời điểm \( t = 4 \) giây là 17 A. Câu 19. Để tính thể tích khối chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy ABCD: - Đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, góc $\widehat{ABC} = 60^\circ$. - Diện tích hình thoi được tính bằng công thức: \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times AC \times BD \] - Ta cần tìm độ dài các đường chéo AC và BD. Vì ABCD là hình thoi, các đường chéo vuông góc và chia đôi nhau. - Xét tam giác ABD, trong đó $\widehat{BAD} = 60^\circ$, do đó tam giác ABD là tam giác đều. - Độ dài đường chéo BD là: \[ BD = 2a \sqrt{3} \] - Độ dài đường chéo AC cũng là: \[ AC = 2a \sqrt{3} \] - Vậy diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times 2a \sqrt{3} \times 2a \sqrt{3} = 6a^2 \] 2. Tính chiều cao SA của khối chóp: - Mặt bên (SCD) tạo với đáy một góc $60^\circ$. - Xét tam giác SCD, trong đó SC là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy CD. - Gọi O là trung điểm của CD, ta có: \[ SO = SA \quad \text{(vì SA vuông góc với đáy)} \] - Tam giác SOC là tam giác vuông tại O, góc $\widehat{SCO} = 60^\circ$. - Do đó: \[ \sin(60^\circ) = \frac{SO}{SC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] - Ta có: \[ SC = \frac{SO}{\sin(60^\circ)} = \frac{SA}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2SA}{\sqrt{3}} \] - Độ dài đoạn OC là: \[ OC = a \sqrt{3} \] - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SOC: \[ SC^2 = SO^2 + OC^2 \] \[ \left(\frac{2SA}{\sqrt{3}}\right)^2 = SA^2 + (a \sqrt{3})^2 \] \[ \frac{4SA^2}{3} = SA^2 + 3a^2 \] \[ 4SA^2 = 3SA^2 + 9a^2 \] \[ SA^2 = 9a^2 \] \[ SA = 3a \] 3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD: - Thể tích khối chóp được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA \] - Thay các giá trị đã tìm được: \[ V = \frac{1}{3} \times 6a^2 \times 3a = 6a^3 \] Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: \[ \boxed{6a^3} \] Câu 20. Để tìm xác suất để trong 4 người được chọn có nhiều nhất 2 nữ, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tổng số cách chọn 4 người từ 13 người (5 nam + 8 nữ). Số cách chọn 4 người từ 13 người là: \[ C_{13}^4 = \frac{13!}{4!(13-4)!} = \frac{13!}{4! \cdot 9!} = 715 \] Bước 2: Tính số cách chọn 4 người sao cho trong đó có nhiều nhất 2 nữ. - Số cách chọn 4 người đều là nam: \[ C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = 5 \] - Số cách chọn 3 nam và 1 nữ: \[ C_5^3 \times C_8^1 = \frac{5!}{3!(5-3)!} \times \frac{8!}{1!(8-1)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} \times \frac{8!}{1! \cdot 7!} = 10 \times 8 = 80 \] - Số cách chọn 2 nam và 2 nữ: \[ C_5^2 \times C_8^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} \times \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} \times \frac{8!}{2! \cdot 6!} = 10 \times 28 = 280 \] Bước 3: Tính tổng số cách chọn 4 người sao cho trong đó có nhiều nhất 2 nữ. \[ 5 + 80 + 280 = 365 \] Bước 4: Tính xác suất để trong 4 người được chọn có nhiều nhất 2 nữ. Xác suất là: \[ P = \frac{\text{Số cách chọn 4 người có nhiều nhất 2 nữ}}{\text{Tổng số cách chọn 4 người}} = \frac{365}{715} = \frac{73}{143} \] Vậy xác suất để trong 4 người được chọn có nhiều nhất 2 nữ là: \[ \boxed{\frac{73}{143}} \] Câu 21. Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{-2x+1}{x+3}$ tại điểm có hoành độ bằng -2, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc. Thay $x = -2$ vào phương trình hàm số: \[ y = \frac{-2(-2) + 1}{-2 + 3} = \frac{4 + 1}{1} = 5 \] Vậy điểm tiếp xúc là $(-2, 5)$. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số để tìm hệ số góc của tiếp tuyến. \[ y' = \left( \frac{-2x + 1}{x + 3} \right)' = \frac{(-2)(x + 3) - (-2x + 1)}{(x + 3)^2} = \frac{-2x - 6 + 2x - 1}{(x + 3)^2} = \frac{-7}{(x + 3)^2} \] Bước 3: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $x = -2$. \[ y'(-2) = \frac{-7}{(-2 + 3)^2} = \frac{-7}{1^2} = -7 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là $-7$. Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $k$ là: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] Thay $x_0 = -2$, $y_0 = 5$, và $k = -7$ vào phương trình trên: \[ y - 5 = -7(x + 2) \] \[ y - 5 = -7x - 14 \] \[ y = -7x - 9 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{-2x+1}{x+3}$ tại điểm có hoành độ bằng -2 là: \[ y = -7x - 9 \]