heppppyyyyyy

Câu 1. a) Ta có: $f(0)=4\sin 0+2\times 0+1=1$ $f(-\frac{\pi }{2})=4\sin (-\frac{\pi }{2})+2\times (-\frac{\pi }{2})+1=-4-\pi +1=-\pi -3$ b) Đạo hàm của hàm số đã cho là: $f'(x)=(4\sin x+2x+1)'=4\cos x+2$ c) Ta có: $f'(x)=0$ $4\cos x+2=0$ $\cos x=-\frac{1}{2}$ $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ Vì $x\in [0;\pi ]$ nên $x=\frac{2\pi }{3}$ d) Ta có: $f(0)=1$ $f(\frac{2\pi }{3})=4\sin (\frac{2\pi }{3})+2\times \frac{2\pi }{3}+1=2\sqrt{3}+\frac{4\pi }{3}+1$ $f(\pi )=4\sin \pi +2\times \pi +1=2\pi +1$ Ta thấy $2\pi +1>2\sqrt{3}+\frac{4\pi }{3}+1>1$ Vậy giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0;\pi ]$ là $2\pi +1$, đạt được khi $x=\pi $. Câu 2. Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)=\cos2x+x.$ $a)~f(0)=1;f(\frac\pi2)=\frac\pi2-1.$ b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^\prime(x)=-2\sin2x+1.$ c) Nghiệm của phương trình $f^\prime(x)=0$ trên đoạn $[0;\frac\pi4]$ là $\frac\pi6.$ d) Giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0;\frac\pi4]$ là $\frac\pi4.$ Giải: a) Ta có: \[ f(0) = \cos(2 \cdot 0) + 0 = \cos(0) + 0 = 1 \] \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2} = \cos(\pi) + \frac{\pi}{2} = -1 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 1 \] b) Đạo hàm của hàm số $f(x)$ là: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (\cos(2x) + x) = -2\sin(2x) + 1 \] c) Giải phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{4}]$: \[ -2\sin(2x) + 1 = 0 \] \[ \sin(2x) = \frac{1}{2} \] Trên đoạn $[0; \frac{\pi}{4}]$, ta có: \[ 2x = \frac{\pi}{6} \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} \] d) Để tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{4}]$, ta xét các giá trị của $f(x)$ tại các điểm biên và điểm cực trị: \[ f(0) = 1 \] \[ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{4} = 0 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \] \[ f\left(\frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) + \frac{\pi}{12} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12} \approx 0.866 + 0.262 = 1.128 \] So sánh các giá trị: \[ f(0) = 1 \] \[ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} \approx 0.785 \] \[ f\left(\frac{\pi}{12}\right) \approx 1.128 \] Như vậy, giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{4}]$ là $\frac{\pi}{4}$. Đáp án: a) $f(0) = 1$; $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - 1$ b) $f'(x) = -2\sin(2x) + 1$ c) Nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{4}]$ là $\frac{\pi}{12}$ d) Giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{4}]$ là $\frac{\pi}{4}$ Câu hỏi: Cho hàm số $f(x) = 2\sin x + x$. a) $f(0) = 0$; $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 + \frac{\pi}{2}$. b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = 2\cos x + 1$. c) Nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$ là $\frac{2\pi}{3}$. d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$ là $2 + \frac{\pi}{2}$. Giải: a) Ta có: \[ f(0) = 2\sin(0) + 0 = 0 \] \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 1 + \frac{\pi}{2} = 2 + \frac{\pi}{2} \] b) Đạo hàm của hàm số $f(x)$ là: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (2\sin x + x) = 2\cos x + 1 \] c) Giải phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$: \[ 2\cos x + 1 = 0 \] \[ \cos x = -\frac{1}{2} \] Trên đoạn $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$, ta có: \[ x = \frac{2\pi}{3} \] d) Để tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$, ta xét các giá trị của $f(x)$ tại các điểm biên và điểm cực trị: \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 + \frac{\pi}{2} \] \[ f(\pi) = 2\sin(\pi) + \pi = 0 + \pi = \pi \] \[ f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 2\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{2\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3} = \sqrt{3} + \frac{2\pi}{3} \approx 1.732 + 2.094 = 3.826 \] So sánh các giá trị: \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 + \frac{\pi}{2} \approx 3.571 \] \[ f(\pi) = \pi \approx 3.142 \] \[ f\left(\frac{2\pi}{3}\right) \approx 3.826 \] Như vậy, giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$ là $\pi$. Đáp án: a) $f(0) = 0$; $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 + \frac{\pi}{2}$ b) $f'(x) = 2\cos x + 1$ c) Nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$ là $\frac{2\pi}{3}$ d) Giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$ là $\pi$ Câu 4. Để giải quyết từng phần của bài toán, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Tính giá trị của hàm số tại các điểm cho trước 1. Tính \( f(0) \): \[ f(0) = 2 \sin(0) - \sqrt{2} \cdot 0 = 0 \] 2. Tính \( f\left(\frac{\pi}{4}\right) \): \[ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{4} \] Biết rằng \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\): \[ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} \pi}{4} \] b) Tìm đạo hàm của hàm số Hàm số đã cho là \( f(x) = 2 \sin x - \sqrt{2} x \). Đạo hàm của hàm số này là: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2 \sin x) - \frac{d}{dx}(\sqrt{2} x) \] \[ f'(x) = 2 \cos x - \sqrt{2} \] c) Giải phương trình đạo hàm bằng 0 trên đoạn \([0; \frac{\pi}{2}]\) Phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 2 \cos x - \sqrt{2} = 0 \] \[ 2 \cos x = \sqrt{2} \] \[ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Trên đoạn \([0; \frac{\pi}{2}]\), giá trị của \(x\) thỏa mãn \(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) là: \[ x = \frac{\pi}{4} \] d) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\), chúng ta cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị. 1. Giá trị tại biên: \[ f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) - \sqrt{2} \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot (-1) + \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2} = -2 + \frac{\sqrt{2} \pi}{2} \] \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 1 - \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2} = 2 - \frac{\sqrt{2} \pi}{2} \] 2. Giá trị tại điểm cực trị: \[ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} \pi}{4} \] So sánh các giá trị: - \( f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -2 + \frac{\sqrt{2} \pi}{2} \) - \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 - \frac{\sqrt{2} \pi}{2} \) - \( f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} \pi}{4} \) Trong đó, giá trị nhỏ nhất là: \[ -2 + \frac{\sqrt{2} \pi}{2} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \(f(x)\) trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) là: \[ -2 + \frac{\sqrt{2} \pi}{2} \]