!!:₫!:!:!!:@:&/&/₫/!!/)//!!/

Câu 21. Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{3x - 1}{2x + 5}$ tại các điểm đã cho hoặc theo yêu cầu, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Hàm số $y = \frac{3x - 1}{2x + 5}$ là một hàm phân thức. Ta tính đạo hàm của nó: \[ y' = \left( \frac{3x - 1}{2x + 5} \right)' = \frac{(3x - 1)'(2x + 5) - (3x - 1)(2x + 5)'}{(2x + 5)^2} = \frac{3(2x + 5) - 2(3x - 1)}{(2x + 5)^2} = \frac{6x + 15 - 6x + 2}{(2x + 5)^2} = \frac{17}{(2x + 5)^2} \] Bước 2: Xác định các điểm và hệ số góc a) Tại điểm $M(z : \frac{5}{9})$ thuộc (C) Điểm $M(z : \frac{5}{9})$ thuộc đồ thị hàm số, vậy ta có: \[ \frac{3z - 1}{2z + 5} = \frac{5}{9} \] Giải phương trình này để tìm $z$: \[ 9(3z - 1) = 5(2z + 5) \] \[ 27z - 9 = 10z + 25 \] \[ 17z = 34 \] \[ z = 2 \] Vậy điểm $M$ là $(2, \frac{5}{9})$. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm này là: \[ y'(2) = \frac{17}{(2 \cdot 2 + 5)^2} = \frac{17}{9^2} = \frac{17}{81} \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(2, \frac{5}{9})$ là: \[ y - \frac{5}{9} = \frac{17}{81}(x - 2) \] \[ y = \frac{17}{81}x - \frac{34}{81} + \frac{5}{9} \] \[ y = \frac{17}{81}x - \frac{34}{81} + \frac{45}{81} \] \[ y = \frac{17}{81}x + \frac{11}{81} \] b) Tại giao điểm (C) và trục tung Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm có hoành độ $x = 0$: \[ y = \frac{3 \cdot 0 - 1}{2 \cdot 0 + 5} = -\frac{1}{5} \] Vậy giao điểm là $(0, -\frac{1}{5})$. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm này là: \[ y'(0) = \frac{17}{(2 \cdot 0 + 5)^2} = \frac{17}{25} \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(0, -\frac{1}{5})$ là: \[ y + \frac{1}{5} = \frac{17}{25}x \] \[ y = \frac{17}{25}x - \frac{1}{5} \] c) Tại giao điểm (C) và trục hoành Giao điểm của đồ thị với trục hoành là điểm có tung độ $y = 0$: \[ 0 = \frac{3x - 1}{2x + 5} \] \[ 3x - 1 = 0 \] \[ x = \frac{1}{3} \] Vậy giao điểm là $(\frac{1}{3}, 0)$. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm này là: \[ y'\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{17}{\left(2 \cdot \frac{1}{3} + 5\right)^2} = \frac{17}{\left(\frac{2}{3} + 5\right)^2} = \frac{17}{\left(\frac{17}{3}\right)^2} = \frac{17}{\frac{289}{9}} = \frac{17 \cdot 9}{289} = \frac{153}{289} = \frac{9}{17} \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(\frac{1}{3}, 0)$ là: \[ y = \frac{9}{17}\left(x - \frac{1}{3}\right) \] \[ y = \frac{9}{17}x - \frac{9}{51} \] \[ y = \frac{9}{17}x - \frac{3}{17} \] d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng $\frac{17}{4}$ Hệ số góc của tiếp tuyến là $\frac{17}{4}$, vậy ta có: \[ \frac{17}{(2x + 5)^2} = \frac{17}{4} \] \[ (2x + 5)^2 = 4 \] \[ 2x + 5 = 2 \text{ hoặc } 2x + 5 = -2 \] \[ 2x = -3 \text{ hoặc } 2x = -7 \] \[ x = -\frac{3}{2} \text{ hoặc } x = -\frac{7}{2} \] Tìm tung độ tương ứng: \[ y\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{3 \left(-\frac{3}{2}\right) - 1}{2 \left(-\frac{3}{2}\right) + 5} = \frac{-\frac{9}{2} - 1}{-3 + 5} = \frac{-\frac{11}{2}}{2} = -\frac{11}{4} \] \[ y\left(-\frac{7}{2}\right) = \frac{3 \left(-\frac{7}{2}\right) - 1}{2 \left(-\frac{7}{2}\right) + 5} = \frac{-\frac{21}{2} - 1}{-7 + 5} = \frac{-\frac{23}{2}}{-2} = \frac{23}{4} \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $\left(-\frac{3}{2}, -\frac{11}{4}\right)$ là: \[ y + \frac{11}{4} = \frac{17}{4}\left(x + \frac{3}{2}\right) \] \[ y = \frac{17}{4}x + \frac{51}{8} - \frac{11}{4} \] \[ y = \frac{17}{4}x + \frac{29}{8} \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $\left(-\frac{7}{2}, \frac{23}{4}\right)$ là: \[ y - \frac{23}{4} = \frac{17}{4}\left(x + \frac{7}{2}\right) \] \[ y = \frac{17}{4}x + \frac{119}{8} + \frac{23}{4} \] \[ y = \frac{17}{4}x + \frac{165}{8} \] e) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 68x + \frac{99}{2}$ Hệ số góc của tiếp tuyến là 68, vậy ta có: \[ \frac{17}{(2x + 5)^2} = 68 \] \[ (2x + 5)^2 = \frac{17}{68} = \frac{1}{4} \] \[ 2x + 5 = \frac{1}{2} \text{ hoặc } 2x + 5 = -\frac{1}{2} \] \[ 2x = -\frac{9}{2} \text{ hoặc } 2x = -\frac{11}{2} \] \[ x = -\frac{9}{4} \text{ hoặc } x = -\frac{11}{4} \] Tìm tung độ tương ứng: \[ y\left(-\frac{9}{4}\right) = \frac{3 \left(-\frac{9}{4}\right) - 1}{2 \left(-\frac{9}{4}\right) + 5} = \frac{-\frac{27}{4} - 1}{-\frac{9}{2} + 5} = \frac{-\frac{31}{4}}{\frac{1}{2}} = -\frac{31}{2} \] \[ y\left(-\frac{11}{4}\right) = \frac{3 \left(-\frac{11}{4}\right) - 1}{2 \left(-\frac{11}{4}\right) + 5} = \frac{-\frac{33}{4} - 1}{-\frac{11}{2} + 5} = \frac{-\frac{37}{4}}{\frac{1}{2}} = -\frac{37}{2} \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $\left(-\frac{9}{4}, -\frac{31}{2}\right)$ là: \[ y + \frac{31}{2} = 68\left(x + \frac{9}{4}\right) \] \[ y = 68x + 153 - \frac{31}{2} \] \[ y = 68x + \frac{275}{2} \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $\left(-\frac{11}{4}, -\frac{37}{2}\right)$ là: \[ y + \frac{37}{2} = 68\left(x + \frac{11}{4}\right) \] \[ y = 68x + 187 - \frac{37}{2} \] \[ y = 68x + \frac{337}{2} \] f) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = -\frac{9}{17}x + 1$ Hệ số góc của tiếp tuyến là $\frac{17}{9}$, vì hai đường thẳng vuông góc thì tích của các hệ số góc bằng -1. Vậy ta có: \[ \frac{17}{(2x + 5)^2} = \frac{17}{9} \] \[ (2x + 5)^2 = 9 \] \[ 2x + 5 = 3 \text{ hoặc } 2x + 5 = -3 \] \[ 2x = -2 \text{ hoặc } 2x = -8 \] \[ x = -1 \text{ hoặc } x = -4 \] Tìm tung độ tương ứng: \[ y(-1) = \frac{3(-1) - 1}{2(-1) + 5} = \frac{-3 - 1}{-2 + 5} = \frac{-4}{3} \] \[ y(-4) = \frac{3(-4) - 1}{2(-4) + 5} = \frac{-12 - 1}{-8 + 5} = \frac{-13}{-3} = \frac{13}{3} \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-1, -\frac{4}{3})$ là: \[ y + \frac{4}{3} = \frac{17}{9}(x + 1) \] \[ y = \frac{17}{9}x + \frac{17}{9} - \frac{4}{3} \] \[ y = \frac{17}{9}x + \frac{5}{9} \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-4, \frac{13}{3})$ là: \[ y - \frac{13}{3} = \frac{17}{9}(x + 4) \] \[ y = \frac{17}{9}x + \frac{68}{9} + \frac{13}{3} \] \[ y = \frac{17}{9}x + \frac{107}{9} \] Đáp án cuối cùng a) Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(2, \frac{5}{9})$ là: \[ y = \frac{17}{81}x + \frac{11}{81} \] b) Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm (C) và trục tung là: \[ y = \frac{17}{25}x - \frac{1}{5} \] c) Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm (C) và trục hoành là: \[ y = \frac{9}{17}x - \frac{3}{17} \] d) Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng $\frac{17}{4}$ là: \[ y = \frac{17}{4}x + \frac{29}{8} \] \[ y = \frac{17}{4}x + \frac{165}{8} \] e) Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 68x + \frac{99}{2}$ là: \[ y = 68x + \frac{275}{2} \] \[ y = 68x + \frac{337}{2} \] f) Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = -\frac{9}{17}x + 1$ là: \[ y = \frac{17}{9}x + \frac{5}{9} \] \[ y = \frac{17}{9}x + \frac{107}{9} \] Câu 22. Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-x+2}{x-1}$ tại các điểm đã cho hoặc theo các điều kiện đã nêu, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Hàm số $y=\frac{x^2-x+2}{x-1}$. Ta tính đạo hàm của hàm số này: \[ y' = \left(\frac{x^2-x+2}{x-1}\right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(x^2-x+2)'(x-1) - (x^2-x+2)(x-1)'}{(x-1)^2} \] \[ y' = \frac{(2x-1)(x-1) - (x^2-x+2)}{(x-1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x - x + 1 - x^2 + x - 2}{(x-1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2} \] Bước 2: Xác định các điểm và điều kiện a) Tại điểm $M(1; -2)$ thuộc (C) Điều kiện: $x = 1$ Tính giá trị đạo hàm tại điểm này: \[ y'(1) = \frac{1^2 - 2 \cdot 1 - 1}{(1-1)^2} \] Do mẫu số bằng 0, nên đạo hàm không xác định tại điểm này. Do đó, không thể viết phương trình tiếp tuyến tại điểm này. b) Tại giao điểm (C) và trục tung Điều kiện: $x = 0$ Tính giá trị hàm số tại điểm này: \[ y(0) = \frac{0^2 - 0 + 2}{0 - 1} = -2 \] Tính giá trị đạo hàm tại điểm này: \[ y'(0) = \frac{0^2 - 2 \cdot 0 - 1}{(0-1)^2} = -1 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(0, -2)$: \[ y + 2 = -1(x - 0) \] \[ y = -x - 2 \] c) Tại giao điểm (C) và đường thẳng $y = -2$ Điều kiện: $y = -2$ Tìm giá trị $x$ thỏa mãn: \[ \frac{x^2 - x + 2}{x - 1} = -2 \] \[ x^2 - x + 2 = -2(x - 1) \] \[ x^2 - x + 2 = -2x + 2 \] \[ x^2 + x = 0 \] \[ x(x + 1) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = -1 \] Tính giá trị đạo hàm tại các điểm này: - Tại $x = 0$: Đã tính ở phần b) là $y'(0) = -1$ - Tại $x = -1$: \[ y'(-1) = \frac{(-1)^2 - 2(-1) - 1}{(-1-1)^2} = \frac{1 + 2 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(0, -2)$: \[ y + 2 = -1(x - 0) \] \[ y = -x - 2 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-1, -2)$: \[ y + 2 = \frac{1}{2}(x + 1) \] \[ y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} \] d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng $1$ Điều kiện: $y' = 1$ \[ \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2} = 1 \] \[ x^2 - 2x - 1 = (x-1)^2 \] \[ x^2 - 2x - 1 = x^2 - 2x + 1 \] \[ -1 = 1 \] (không thỏa mãn) Không có điểm nào trên đồ thị có đạo hàm bằng 1. e) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = \frac{3}{4}x + 1$ Điều kiện: $y' = \frac{3}{4}$ \[ \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2} = \frac{3}{4} \] \[ 4(x^2 - 2x - 1) = 3(x-1)^2 \] \[ 4x^2 - 8x - 4 = 3(x^2 - 2x + 1) \] \[ 4x^2 - 8x - 4 = 3x^2 - 6x + 3 \] \[ x^2 - 2x - 7 = 0 \] \[ x = 1 \pm \sqrt{8} \] Tính giá trị hàm số tại các điểm này: - Tại $x = 1 + \sqrt{8}$: \[ y = \frac{(1+\sqrt{8})^2 - (1+\sqrt{8}) + 2}{1+\sqrt{8}-1} = \frac{1 + 2\sqrt{8} + 8 - 1 - \sqrt{8} + 2}{\sqrt{8}} = \frac{10 + \sqrt{8}}{\sqrt{8}} = \frac{10}{\sqrt{8}} + 1 = \frac{5\sqrt{2}}{2} + 1 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(1 + \sqrt{8}, \frac{5\sqrt{2}}{2} + 1)$: \[ y - (\frac{5\sqrt{2}}{2} + 1) = \frac{3}{4}(x - (1 + \sqrt{8})) \] - Tại $x = 1 - \sqrt{8}$: \[ y = \frac{(1-\sqrt{8})^2 - (1-\sqrt{8}) + 2}{1-\sqrt{8}-1} = \frac{1 - 2\sqrt{8} + 8 - 1 + \sqrt{8} + 2}{-\sqrt{8}} = \frac{10 - \sqrt{8}}{-\sqrt{8}} = -\frac{10}{\sqrt{8}} - 1 = -\frac{5\sqrt{2}}{2} - 1 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(1 - \sqrt{8}, -\frac{5\sqrt{2}}{2} - 1)$: \[ y - (-\frac{5\sqrt{2}}{2} - 1) = \frac{3}{4}(x - (1 - \sqrt{8})) \] f) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = -\frac{8}{7}x - 3$ Điều kiện: $y' = \frac{7}{8}$ \[ \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2} = \frac{7}{8} \] \[ 8(x^2 - 2x - 1) = 7(x-1)^2 \] \[ 8x^2 - 16x - 8 = 7(x^2 - 2x + 1) \] \[ 8x^2 - 16x - 8 = 7x^2 - 14x + 7 \] \[ x^2 - 2x - 15 = 0 \] \[ (x - 5)(x + 3) = 0 \] \[ x = 5 \text{ hoặc } x = -3 \] Tính giá trị hàm số tại các điểm này: - Tại $x = 5$: \[ y = \frac{5^2 - 5 + 2}{5 - 1} = \frac{25 - 5 + 2}{4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(5, \frac{11}{2})$: \[ y - \frac{11}{2} = \frac{7}{8}(x - 5) \] - Tại $x = -3$: \[ y = \frac{(-3)^2 - (-3) + 2}{-3 - 1} = \frac{9 + 3 + 2}{-4} = \frac{14}{-4} = -\frac{7}{2} \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-3, -\frac{7}{2})$: \[ y + \frac{7}{2} = \frac{7}{8}(x + 3) \] Kết luận - Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(0, -2)$: $y = -x - 2$ - Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-1, -2)$: $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ - Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(5, \frac{11}{2})$: $y - \frac{11}{2} = \frac{7}{8}(x - 5)$ - Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-3, -\frac{7}{2})$: $y + \frac{7}{2} = \frac{7}{8}(x + 3)$ Chúc các em có một kỳ nghỉ vui vẻ!