Giúp mình với!

Bài 1. a) Rút gọn biểu thức: Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 1 \) Biểu thức \( B = \frac{4}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{1 - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} - 5}{x - 1} \) Chúng ta sẽ quy đồng mẫu số để rút gọn biểu thức này. Mẫu số chung là \( (\sqrt{x} + 1)(1 - \sqrt{x})(x - 1) \). Ta có: \[ B = \frac{4(1 - \sqrt{x})(x - 1)}{(\sqrt{x} + 1)(1 - \sqrt{x})(x - 1)} + \frac{2(\sqrt{x} + 1)(x - 1)}{(\sqrt{x} + 1)(1 - \sqrt{x})(x - 1)} - \frac{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 1)(1 - \sqrt{x})}{(\sqrt{x} + 1)(1 - \sqrt{x})(x - 1)} \] Rút gọn từng phân số: \[ B = \frac{4(x - \sqrt{x} - 1 + \sqrt{x}) + 2(x + 1 - \sqrt{x} - \sqrt{x}) - (\sqrt{x} - 5)(1 - x)}{(\sqrt{x} + 1)(1 - \sqrt{x})(x - 1)} \] \[ B = \frac{4(x - 1) + 2(x + 1 - 2\sqrt{x}) - (\sqrt{x} - 5)(1 - x)}{(\sqrt{x} + 1)(1 - \sqrt{x})(x - 1)} \] \[ B = \frac{4x - 4 + 2x + 2 - 4\sqrt{x} - (\sqrt{x} - 5 - x\sqrt{x} + 5x)}{(\sqrt{x} + 1)(1 - \sqrt{x})(x - 1)} \] \[ B = \frac{4x - 4 + 2x + 2 - 4\sqrt{x} - \sqrt{x} + 5 + x\sqrt{x} - 5x}{(\sqrt{x} + 1)(1 - \sqrt{x})(x - 1)} \] \[ B = \frac{(4x + 2x - 5x) + (-4 + 2 + 5) + (-4\sqrt{x} - \sqrt{x} + x\sqrt{x})}{(\sqrt{x} + 1)(1 - \sqrt{x})(x - 1)} \] \[ B = \frac{x + 3 - 5\sqrt{x} + x\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1)(1 - \sqrt{x})(x - 1)} \] b) Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x + 5y = -3 \\ 3x - y = 4 \end{array} \right. \] Từ phương trình thứ hai, ta có: \[ y = 3x - 4 \] Thay vào phương trình thứ nhất: \[ 2x + 5(3x - 4) = -3 \] \[ 2x + 15x - 20 = -3 \] \[ 17x - 20 = -3 \] \[ 17x = 17 \] \[ x = 1 \] Thay \( x = 1 \) vào \( y = 3x - 4 \): \[ y = 3(1) - 4 = -1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (1, -1) \). c) Với những giá trị nào của \( m \) thì đồ thị hàm số \( y = (m^2 - m)x^2 \) đi qua điểm \( (1, 1) \)? Thay \( x = 1 \) và \( y = 1 \) vào phương trình hàm số: \[ 1 = (m^2 - m)(1)^2 \] \[ 1 = m^2 - m \] \[ m^2 - m - 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} \] \[ m = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} \] \[ m = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \] Vậy giá trị của \( m \) là: \[ m = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \text{ hoặc } m = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \] Bài 2. a) Với $m=2$, ta có phương trình: \[ 5x^2 + 2x - 28 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 5$, $b = 2$, $c = -28$. Ta tính: \[ b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-28) = 4 + 560 = 564 \] Do đó: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{564}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{141}}{10} = \frac{-1 \pm \sqrt{141}}{5} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{141}}{5}, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{141}}{5} \] b) Để chứng minh phương trình $5x^2 + mx - 28 = 0$ có nghiệm với mọi $m$, ta xét biệt thức $\Delta$ của phương trình: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Ở đây, $a = 5$, $b = m$, $c = -28$. Ta có: \[ \Delta = m^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-28) = m^2 + 560 \] Vì $m^2 \geq 0$ với mọi $m$, nên: \[ \Delta = m^2 + 560 \geq 560 > 0 \] Biệt thức $\Delta$ luôn dương với mọi giá trị của $m$, do đó phương trình luôn có hai nghiệm thực phân biệt. Kết luận: a) Nghiệm của phương trình khi $m=2$ là $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{141}}{5}$ và $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{141}}{5}$. b) Phương trình $5x^2 + mx - 28 = 0$ có nghiệm với mọi giá trị của $m$. Bài 3 Bài 4: Cho đường tròn $(O;R),$ dây $MN(MN< 2R).$ Trên tia đối của tia MN lấy điểm quý. Đọc ? A. Từ A kẻ tiếp tuyến AB,AC tới đường tròn (O)((B, là tiếp điểm).. n thân phê 1) Chứng minh bốn điểm A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn. aruuyyn 2) Chứng minh $AB^2=AC^2=AM.AN$ thằn gửi, 3) Gọi I là trung điểm của MN. Kẻ BI cắt đường tròn (O) tại E . Chứng minh $EC//AN.$. Câu hỏi: 1) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh $AB^2 = AC^2 = AM \cdot AN$. 3) Gọi I là trung điểm của MN. Kẻ BI cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh $EC // AN$. Câu trả lời: 1) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn: - Ta có $\angle OBA = 90^\circ$ và $\angle OCA = 90^\circ$ (vì AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)). - Do đó, bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA. 2) Chứng minh $AB^2 = AC^2 = AM \cdot AN$: - Ta có $\angle OBA = 90^\circ$ và $\angle OCA = 90^\circ$ (vì AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)). - Do đó, $AB^2 = AM \cdot AN$ và $AC^2 = AM \cdot AN$ (theo tính chất đường cao hạ từ đỉnh góc vuông của tam giác vuông). - Vậy $AB^2 = AC^2 = AM \cdot AN$. 3) Gọi I là trung điểm của MN. Kẻ BI cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh $EC // AN$: - Ta có $\angle MBI = \angle NBE$ (vì I là trung điểm của MN và BE là đường kính của đường tròn (O)). - Do đó, $\angle MBI = \angle NBE$ và $\angle MBI = \angle NBE$ (góc nội tiếp cùng chắn cung ME). - Vậy $\angle MBI = \angle NBE$ và $\angle MBI = \angle NBE$. - Do đó, $EC // AN$ (vì hai góc đồng vị bằng nhau). Đáp số: 1) Bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn. 2) $AB^2 = AC^2 = AM \cdot AN$. 3) $EC // AN$. Bài 5. Gọi số lần giảm giá là \( x \) (lần, điều kiện: \( x \geq 0 \)). Giá tour sau khi giảm là: \[ 2000000 - 100000 \times x \text{ (đồng)} \] Số người tham gia sau khi giảm giá là: \[ 150 + 20 \times x \text{ (người)} \] Doanh thu từ tour xuyên Việt là: \[ A = (2000000 - 100000 \times x) \times (150 + 20 \times x) \] Ta có: \[ A = (2000000 - 100000 \times x) \times (150 + 20 \times x) \] \[ A = 2000000 \times 150 + 2000000 \times 20 \times x - 100000 \times 150 \times x - 100000 \times 20 \times x^2 \] \[ A = 300000000 + 40000000 \times x - 15000000 \times x - 2000000 \times x^2 \] \[ A = 300000000 + 25000000 \times x - 2000000 \times x^2 \] Để \( A \) đạt giá trị lớn nhất, ta sử dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức bậc hai: \[ A = -2000000 \times x^2 + 25000000 \times x + 300000000 \] Biểu thức này có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = -2000000 \), \( b = 25000000 \), và \( c = 300000000 \). Giá trị lớn nhất của \( A \) đạt được khi: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{25000000}{2 \times (-2000000)} = \frac{25000000}{4000000} = 6.25 \] Vì \( x \) phải là số nguyên, ta xét hai giá trị gần nhất là \( x = 6 \) và \( x = 7 \): - Khi \( x = 6 \): \[ A = 300000000 + 25000000 \times 6 - 2000000 \times 6^2 \] \[ A = 300000000 + 150000000 - 72000000 \] \[ A = 378000000 \] - Khi \( x = 7 \): \[ A = 300000000 + 25000000 \times 7 - 2000000 \times 7^2 \] \[ A = 300000000 + 175000000 - 98000000 \] \[ A = 377000000 \] Như vậy, doanh thu lớn nhất đạt được khi \( x = 6 \). Vậy công ty phải giảm giá tour là: \[ 100000 \times 6 = 600000 \text{ (đồng)} \] Đáp số: 600000 đồng.