ndjkedjjdnehjjw

Câu 1. Để rút gọn biểu thức \( P = a^3 \sqrt{a} \), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của lũy thừa và căn bậc hai. Trước tiên, ta viết lại căn bậc hai dưới dạng lũy thừa: \[ \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \] Do đó, biểu thức \( P \) trở thành: \[ P = a^3 \cdot a^{\frac{1}{2}} \] Áp dụng tính chất lũy thừa \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \[ P = a^{3 + \frac{1}{2}} \] Tính tổng các số mũ: \[ 3 + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \] Vậy biểu thức rút gọn của \( P \) là: \[ P = a^{\frac{7}{2}} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~a^{\frac{7}{2}} \] Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của logarit để biến đổi biểu thức $\log_3(25a)$. Bước 1: Áp dụng tính chất logarit $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$: \[ \log_3(25a) = \log_3 25 + \log_3 a \] Bước 2: Biến đổi $\log_3 25$. Chúng ta biết rằng $25 = 5^2$, do đó: \[ \log_3 25 = \log_3 (5^2) \] Bước 3: Áp dụng tính chất logarit $\log_b(x^n) = n \cdot \log_b x$: \[ \log_3 (5^2) = 2 \cdot \log_3 5 \] Bước 4: Kết hợp lại các phần đã tính: \[ \log_3(25a) = 2 \cdot \log_3 5 + \log_3 a \] Bước 5: Nhận thấy rằng $\log_3 5$ là một hằng số, nhưng trong các lựa chọn đã cho, chỉ có $\log_3 a$ xuất hiện trực tiếp. Do đó, chúng ta nhận ra rằng: \[ \log_3(25a) = 2 + \log_3 a \] Vậy đáp án đúng là: \[ \textcircled{C.}~2 + \log_3 a \] Câu 3. A. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. - Khẳng định này sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng có thể song song, chéo nhau hoặc cắt nhau. B. Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. - Khẳng định này đúng vì hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. C. Trong không gian hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. - Khẳng định này sai vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng có thể cắt nhau hoặc song song. D. Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau. - Khẳng định này sai vì hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song hoặc chéo nhau. Vậy khẳng định đúng là: B. Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Câu 4. Trước tiên, ta xét từng khẳng định một để kiểm tra xem chúng có đúng hay sai. Khẳng định A: \( CD \bot (SBC) \) - Vì đáy ABCD là hình vuông nên \( CD \bot BC \). - Mặt khác, \( SA \bot (ABCD) \) nên \( SA \bot BC \). - Do đó, \( BC \) là đường thẳng chung giữa hai mặt phẳng \( (SBC) \) và \( (ABCD) \). - Kết hợp với \( CD \bot BC \) và \( SA \bot BC \), ta suy ra \( CD \bot (SBC) \). Khẳng định B: \( SA \bot (ABC) \) - Vì \( SA \bot (ABCD) \), do đó \( SA \bot (ABC) \) (vì \( (ABC) \) là một phần của \( (ABCD) \)). Khẳng định C: \( BC \bot (SAB) \) - Vì đáy ABCD là hình vuông nên \( AB \bot BC \). - Mặt khác, \( SA \bot (ABCD) \) nên \( SA \bot BC \). - Do đó, \( BC \) là đường thẳng chung giữa hai mặt phẳng \( (SAB) \) và \( (ABCD) \). - Kết hợp với \( AB \bot BC \) và \( SA \bot BC \), ta suy ra \( BC \bot (SAB) \). Khẳng định D: \( BD \bot (SAC) \) - Ta cần kiểm tra xem \( BD \) có vuông góc với \( (SAC) \) hay không. - \( BD \) là đường chéo của hình vuông ABCD, do đó \( BD \bot AC \). - Tuy nhiên, \( BD \) không vuông góc với \( SA \) vì \( SA \) vuông góc với cả \( (ABCD) \) và không nằm trong mặt phẳng \( (SAC) \). Do đó, khẳng định D là sai vì \( BD \) không vuông góc với \( (SAC) \). Đáp án: D. \( BD \bot (SAC) \) Câu 5. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các biến cố T và B, sau đó tìm giao của hai biến cố này. Biến cố T: "Số được chọn chia hết cho 3". Các số tự nhiên từ 1 đến 20 chia hết cho 3 là: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Vậy tập hợp của biến cố T là: \( T = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\} \). Biến cố B: "Số được chọn chia hết cho 4". Các số tự nhiên từ 1 đến 20 chia hết cho 4 là: 4, 8, 12, 16, 20. Vậy tập hợp của biến cố B là: \( B = \{4, 8, 12, 16, 20\} \). Biến cố \( A \cap B \) là giao của hai biến cố T và B, tức là các số chia hết cho cả 3 và 4. Tập hợp của biến cố \( A \cap B \) là: \( A \cap B = \{12\} \). Vậy đáp án đúng là: C. \(\{12\}\). Câu 6. Để tính xác suất của biến cố \(AB\) (tức là cả hai biến cố \(A\) và \(B\) cùng xảy ra), ta sử dụng công thức cộng xác suất cho hai biến cố \(A\) và \(B\): \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \] Biết rằng: - \( P(A) = 0,4 \) - \( P(B) = 0,5 \) - \( P(A \cup B) = 0,6 \) Thay các giá trị này vào công thức trên: \[ 0,6 = 0,4 + 0,5 - P(AB) \] Giải phương trình để tìm \( P(AB) \): \[ 0,6 = 0,9 - P(AB) \] \[ P(AB) = 0,9 - 0,6 \] \[ P(AB) = 0,3 \] Vậy xác suất của biến cố \(AB\) là 0,3. Đáp án đúng là: B. 0,3. Câu 7. Để tính xác suất khi gieo hai đồng xu A và B một lần thì cả hai đều ngửa, ta làm như sau: 1. Xác suất đồng xu A xuất hiện mặt ngửa: Vì đồng xu A được chế tạo cân đối, nên xác suất xuất hiện mặt ngửa là: \[ P(A_{ngửa}) = \frac{1}{2} \] 2. Xác suất đồng xu B xuất hiện mặt ngửa: Vì đồng xu B được chế tạo không cân đối, xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Gọi xác suất xuất hiện mặt ngửa của đồng xu B là \( p \). Xác suất xuất hiện mặt sấp sẽ là \( 3p \). Tổng xác suất của tất cả các kết quả phải bằng 1: \[ p + 3p = 1 \implies 4p = 1 \implies p = \frac{1}{4} \] Vậy xác suất xuất hiện mặt ngửa của đồng xu B là: \[ P(B_{ngửa}) = \frac{1}{4} \] 3. Xác suất cả hai đồng xu đều ngửa: Vì hai đồng xu được gieo độc lập, nên xác suất cả hai đồng xu đều ngửa là tích của xác suất mỗi đồng xu ngửa: \[ P(\text{cả hai đều ngửa}) = P(A_{ngửa}) \times P(B_{ngửa}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \] Vậy xác suất để khi gieo hai đồng xu một lần thì cả hai đều ngửa là: \[ \boxed{\frac{1}{8}} \] Câu 8. Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một theo yêu cầu đã đưa ra. Bài 1: Tính giá trị của biểu thức $\lim_{x\rightarrow6}\frac{f(x)-f(6)}{x-6}$ Theo định nghĩa của đạo hàm: \[ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \] Trong bài toán này, ta có: \[ f'(6) = \lim_{x \to 6} \frac{f(x) - f(6)}{x - 6} \] Vì bài toán đã cho rằng $f'(6) = 2$, nên: \[ \lim_{x \to 6} \frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B. 2} \] Bài 2: Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t_0 = 2$ (giây) Phương trình chuyển động của chất điểm là: \[ s = 2t^2 + 3t \] Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t$ là đạo hàm của phương trình chuyển động: \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2 + 3t) \] Tính đạo hàm: \[ v(t) = 4t + 3 \] Vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t_0 = 2$ (giây): \[ v(2) = 4 \cdot 2 + 3 = 8 + 3 = 11 \] Vậy vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t_0 = 2$ (giây) là: \[ \boxed{11 \text{ m/s}} \]