trả lời câu hỏi và chọn đáp án đúng

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính nguyên hàm của \( x^3 \). Bước 1: Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] trong đó \( n \neq -1 \). Bước 2: Áp dụng công thức trên cho \( n = 3 \): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C \] Do đó, khẳng định đúng là: \[ D.~\int x^3dx=\frac{x^4}{4}+C. \] Đáp án: D. Câu 2: Để tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị \( y = 2x - x^2 \) và trục Ox quay quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của đồ thị với trục Ox: Đặt \( y = 0 \): \[ 2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Vậy, giao điểm là \( (0, 0) \) và \( (2, 0) \). 2. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: Thể tích \( V \) của khối tròn xoay tạo thành khi quay một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \( y = f(x) \), trục Ox và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \) quanh trục Ox là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong trường hợp này, \( f(x) = 2x - x^2 \), \( a = 0 \), và \( b = 2 \). Do đó: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (2x - x^2)^2 \, dx \] 3. Tính tích phân: Ta có: \[ (2x - x^2)^2 = 4x^2 - 4x^3 + x^4 \] Vậy: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (4x^2 - 4x^3 + x^4) \, dx \] Tính từng phần: \[ \int_{0}^{2} 4x^2 \, dx = 4 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 4 \left( \frac{8}{3} - 0 \right) = \frac{32}{3} \] \[ \int_{0}^{2} -4x^3 \, dx = -4 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = -4 \left( \frac{16}{4} - 0 \right) = -16 \] \[ \int_{0}^{2} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \frac{32}{5} - 0 = \frac{32}{5} \] Cộng lại: \[ V = \pi \left( \frac{32}{3} - 16 + \frac{32}{5} \right) \] Chuyển về cùng mẫu số: \[ \frac{32}{3} = \frac{160}{15}, \quad -16 = -\frac{240}{15}, \quad \frac{32}{5} = \frac{96}{15} \] \[ V = \pi \left( \frac{160}{15} - \frac{240}{15} + \frac{96}{15} \right) = \pi \left( \frac{160 - 240 + 96}{15} \right) = \pi \left( \frac{16}{15} \right) = \frac{16\pi}{15} \] Vậy, thể tích của khối tròn xoay là: \[ \boxed{\frac{16\pi}{15}} \] Đáp án đúng là: D. \( V = \frac{16\pi}{15} \). Câu 3: Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung bình cộng của mẫu số liệu: Ta tính trung bình cộng \( \bar{x} \) của các nhóm theo công thức: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i} \] Trong đó, \( f_i \) là tần số của nhóm thứ \( i \), \( x_i \) là giá trị trung tâm của nhóm thứ \( i \). Bảng giá trị trung tâm của các nhóm: \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Nhóm} & \text{Giá trị trung tâm} (x_i) & \text{Tần số} (f_i) \\ \hline [150;155) & 152.5 & 3 \\ [155;160) & 157.5 & 7 \\ [160;165) & 162.5 & 10 \\ [165;170) & 167.5 & 7 \\ [170;175) & 172.5 & 3 \\ \hline \end{array} \] Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(3 \times 152.5) + (7 \times 157.5) + (10 \times 162.5) + (7 \times 167.5) + (3 \times 172.5)}{30} \] \[ \bar{x} = \frac{457.5 + 1102.5 + 1625 + 1172.5 + 517.5}{30} \] \[ \bar{x} = \frac{5875}{30} = 195.8333 \approx 162.5 \] 2. Tính phương sai: Phương sai \( s^2 \) của mẫu số liệu ghép nhóm được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{k} f_i} \] Bảng tính phương sai: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Nhóm} & \text{Giá trị trung tâm} (x_i) & \text{Tần số} (f_i) & f_i (x_i - \bar{x})^2 \\ \hline [150;155) & 152.5 & 3 & 3 \times (152.5 - 162.5)^2 = 3 \times (-10)^2 = 300 \\ [155;160) & 157.5 & 7 & 7 \times (157.5 - 162.5)^2 = 7 \times (-5)^2 = 175 \\ [160;165) & 162.5 & 10 & 10 \times (162.5 - 162.5)^2 = 10 \times 0 = 0 \\ [165;170) & 167.5 & 7 & 7 \times (167.5 - 162.5)^2 = 7 \times 5^2 = 175 \\ [170;175) & 172.5 & 3 & 3 \times (172.5 - 162.5)^2 = 3 \times 10^2 = 300 \\ \hline \end{array} \] Tổng phương sai: \[ \sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2 = 300 + 175 + 0 + 175 + 300 = 950 \] Phương sai: \[ s^2 = \frac{950}{30} = \frac{95}{3} \] 3. Tính độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn \( s \) là căn bậc hai của phương sai: \[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{95}{3}} = \frac{\sqrt{285}}{3} \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \( \frac{\sqrt{285}}{3} \). Đáp án đúng là \( A.~\frac{\sqrt{285}}{3} \). Câu 4: Để tìm phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(2; -3; 1)\) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha): x + 3y - z + 2 = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\): Mặt phẳng \((\alpha)\) có phương trình \(x + 3y - z + 2 = 0\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec{n} = (1, 3, -1)\). 2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): Vì đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \((\alpha)\), nên vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) trùng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\). Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec{u} = (1, 3, -1)\). 3. Lập phương trình tham số của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(2, -3, 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (1, 3, -1)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = -3 + 3t \\ z = 1 - t \end{array} \right. \] Do đó, phương án đúng là: \[ C. \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = -3 + 3t \\ z = 1 - t \end{array} \right. \] Câu 5: Để tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 4} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các đường tiệm cận đứng: Các đường tiệm cận đứng xuất hiện khi mẫu số bằng 0 nhưng tử số không bằng 0 tại những điểm đó. Ta giải phương trình: \[ x^2 - 4 = 0 \implies (x - 2)(x + 2) = 0 \implies x = 2 \text{ hoặc } x = -2 \] Kiểm tra các giá trị này trong tử số: \[ 2(2)^2 - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0 \] \[ 2(-2)^2 - 3(-2) - 2 = 8 + 6 - 2 = 12 \neq 0 \] Do đó, \( x = 2 \) không là đường tiệm cận đứng vì tử số cũng bằng 0 tại điểm này. Tuy nhiên, \( x = -2 \) là đường tiệm cận đứng vì tử số không bằng 0 tại điểm này. 2. Tìm đường tiệm cận ngang: Đường tiệm cận ngang xuất hiện khi giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \) tồn tại hữu hạn. Ta tính: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 4} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x^2 \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 - \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}} = \frac{2 - 0 - 0}{1 - 0} = 2 \] Vậy đường tiệm cận ngang là \( y = 2 \). Kết luận: - Đồ thị hàm số \( y = \frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 4} \) có 1 đường tiệm cận đứng là \( x = -2 \). - Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là \( y = 2 \). Do đó, tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 2. Đáp án đúng là: B. 2. Câu 6: Để giải phương trình $\log_3(x+1)=2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với phương trình $\log_3(x+1)$, ta cần đảm bảo rằng $x + 1 > 0$. Điều này dẫn đến $x > -1$. Bước 2: Giải phương trình: - Ta có $\log_3(x+1) = 2$. Điều này có nghĩa là $x + 1 = 3^2$. - Tính toán $3^2 = 9$, do đó $x + 1 = 9$. - Giải phương trình $x + 1 = 9$ để tìm $x$: $x = 9 - 1 = 8$. Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định: - Ta đã xác định $x > -1$. Với $x = 8$, điều kiện này được thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình $\log_3(x+1)=2$ là $x = 8$. Đáp án đúng là: B. 8. Câu 7: Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{-2} = 1$. Ta viết lại phương trình này dưới dạng tổng quát: \[ \frac{x}{2} + \frac{y}{3} - \frac{z}{2} = 1 \] Nhân cả hai vế với 6 để loại bỏ mẫu số: \[ 3x + 2y - 3z = 6 \] Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: \[ 3x + 2y - 3z = 6 \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $(3, 2, -3)$. Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~\overrightarrow{n} = (3, 2, -3) \] Câu 8: Để tìm góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Đáy ABCD là hình vuông cạnh $\sqrt{3}a$. - SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và $SA = \sqrt{2}a$. - Ta cần tìm góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD). 2. Tìm độ dài đoạn thẳng AC: - Vì ABCD là hình vuông cạnh $\sqrt{3}a$, nên AC là đường chéo của hình vuông. - Độ dài AC là: \[ AC = \sqrt{(\sqrt{3}a)^2 + (\sqrt{3}a)^2} = \sqrt{3a^2 + 3a^2} = \sqrt{6a^2} = a\sqrt{6} \] 3. Tìm độ dài đoạn thẳng SC: - SC là đường thẳng nối đỉnh S với đỉnh C của đáy. - Ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác SAC vuông tại A: \[ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(\sqrt{2}a)^2 + (a\sqrt{6})^2} = \sqrt{2a^2 + 6a^2} = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2} \] 4. Tìm góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD): - Gọi góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là $\theta$. - Trong tam giác SAC vuông tại A, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) chính là góc giữa SC và AC. - Ta có: \[ \sin \theta = \frac{SA}{SC} = \frac{\sqrt{2}a}{2a\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \] - Từ đó suy ra: \[ \theta = \arcsin \left( \frac{1}{2} \right) = 30^\circ \] Vậy góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là $30^\circ$.