Dbhdsv dcehes dbssjbs djdbs

Câu 5. Để tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho miền D giới hạn bởi các đường $y=$ $\frac23(x+1)^2-\frac23$, $x=\frac{|y|}2$ quay quanh đường thẳng $x=1$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định miền D Phương trình $y = \frac{2}{3}(x+1)^2 - \frac{2}{3}$ là một parabol mở rộng lên trên với đỉnh tại điểm $(-1, -\frac{2}{3})$. Phương trình $x = \frac{|y|}{2}$ là hai đường thẳng $x = \frac{y}{2}$ và $x = -\frac{y}{2}$. Bước 2: Tìm giao điểm của các đường Ta cần tìm giao điểm của $y = \frac{2}{3}(x+1)^2 - \frac{2}{3}$ và $x = \frac{|y|}{2}$. - Với $x = \frac{y}{2}$: \[ y = \frac{2}{3}\left(\frac{y}{2} + 1\right)^2 - \frac{2}{3} \] \[ y = \frac{2}{3}\left(\frac{y^2}{4} + y + 1\right) - \frac{2}{3} \] \[ y = \frac{y^2}{6} + \frac{2y}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \] \[ y = \frac{y^2}{6} + \frac{2y}{3} \] \[ 6y = y^2 + 4y \] \[ y^2 - 2y = 0 \] \[ y(y - 2) = 0 \] Vậy $y = 0$ hoặc $y = 2$. - Với $y = 0$, ta có $x = 0$. - Với $y = 2$, ta có $x = 1$. - Với $x = -\frac{y}{2}$: \[ y = \frac{2}{3}\left(-\frac{y}{2} + 1\right)^2 - \frac{2}{3} \] \[ y = \frac{2}{3}\left(\frac{y^2}{4} - y + 1\right) - \frac{2}{3} \] \[ y = \frac{y^2}{6} - \frac{2y}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \] \[ y = \frac{y^2}{6} - \frac{2y}{3} \] \[ 6y = y^2 - 4y \] \[ y^2 - 10y = 0 \] \[ y(y - 10) = 0 \] Vậy $y = 0$ hoặc $y = 10$. - Với $y = 0$, ta có $x = 0$. - Với $y = 10$, ta có $x = -5$. Bước 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay Miền D giới hạn bởi các đường $y = \frac{2}{3}(x+1)^2 - \frac{2}{3}$ và $x = \frac{|y|}{2}$ quay quanh đường thẳng $x = 1$. Ta sẽ tính thể tích bằng phương pháp con lăng kính. - Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay quanh đường thẳng $x = 1$: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [R(y)]^2 dy \] Trong đó, $R(y)$ là khoảng cách từ đường thẳng $x = 1$ đến đường cong $x = \frac{|y|}{2}$. - Với $y$ từ $0$ đến $2$: \[ R(y) = 1 - \frac{y}{2} \] - Với $y$ từ $0$ đến $-2$: \[ R(y) = 1 + \frac{y}{2} \] - Thể tích: \[ V = \pi \int_{0}^{2} \left(1 - \frac{y}{2}\right)^2 dy + \pi \int_{-2}^{0} \left(1 + \frac{y}{2}\right)^2 dy \] - Tính từng phần: \[ \int_{0}^{2} \left(1 - \frac{y}{2}\right)^2 dy = \int_{0}^{2} \left(1 - y + \frac{y^2}{4}\right) dy \] \[ = \left[ y - \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{12} \right]_{0}^{2} = 2 - 2 + \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \] \[ \int_{-2}^{0} \left(1 + \frac{y}{2}\right)^2 dy = \int_{-2}^{0} \left(1 + y + \frac{y^2}{4}\right) dy \] \[ = \left[ y + \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{12} \right]_{-2}^{0} = 0 - (-2 + 2 - \frac{8}{12}) = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \] - Tổng thể tích: \[ V = \pi \left( \frac{2}{3} + \frac{4}{3} \right) = \pi \cdot 2 = 2\pi \] - Kết quả làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai: \[ V \approx 6.28 \] Vậy thể tích của vật thể tròn xoay là $6.28$.