chỉ mình với

Câu 97. Phương trình dao động điều hòa của vật là: \[ x = 3 \cos \left( 2\pi t + \frac{\pi}{4} \right) + 1 \] Từ phương trình trên, ta nhận thấy rằng: - Tần số góc \(\omega = 2\pi\) rad/s - Biên độ dao động \(A = 3\) cm - Vị trí ban đầu \(x_0 = 1\) cm Gia tốc của vật trong dao động điều hòa được tính theo công thức: \[ a = -\omega^2 x \] Trong đó, \(x\) là li độ của vật tại thời điểm bất kỳ. Để tìm giá trị lớn nhất của gia tốc, ta cần tìm giá trị lớn nhất của li độ \(x\). Li độ \(x\) đạt giá trị lớn nhất khi \(\cos \left( 2\pi t + \frac{\pi}{4} \right)\) đạt giá trị cực đại hoặc cực tiểu. Giá trị lớn nhất của \(\cos\) là 1 và giá trị nhỏ nhất của \(\cos\) là -1. Do đó, li độ \(x\) đạt giá trị lớn nhất khi: \[ x_{\text{max}} = 3 \cdot 1 + 1 = 4 \text{ cm} \] và giá trị nhỏ nhất khi: \[ x_{\text{min}} = 3 \cdot (-1) + 1 = -2 \text{ cm} \] Gia tốc đạt giá trị lớn nhất khi li độ đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Ta sẽ tính gia tốc ở cả hai trường hợp này: 1. Khi \(x = 4\) cm: \[ a_{\text{max}} = -(2\pi)^2 \cdot 4 = -4\pi^2 \cdot 4 = -16\pi^2 \text{ cm/s}^2 \] 2. Khi \(x = -2\) cm: \[ a_{\text{max}} = -(2\pi)^2 \cdot (-2) = -4\pi^2 \cdot (-2) = 8\pi^2 \text{ cm/s}^2 \] Như vậy, giá trị lớn nhất của gia tốc là \(16\pi^2 \text{ cm/s}^2\). Trong khoảng thời gian 3 giây, gia tốc của vật đạt giá trị lớn nhất bao nhiêu lần? Ta biết rằng chu kỳ dao động \(T\) của vật là: \[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1 \text{ s} \] Trong 3 giây, số lần dao động của vật là: \[ \frac{3 \text{ s}}{1 \text{ s}} = 3 \text{ lần} \] Mỗi lần dao động, gia tốc đạt giá trị lớn nhất 2 lần (1 lần khi li độ đạt giá trị lớn nhất và 1 lần khi li độ đạt giá trị nhỏ nhất). Do đó, trong 3 giây, gia tốc đạt giá trị lớn nhất: \[ 3 \times 2 = 6 \text{ lần} \] Đáp số: Gia tốc của vật đạt giá trị lớn nhất 6 lần trong khoảng thời gian 3 giây. Câu 98. Phương trình chuyển động của con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương nằm ngang là: \[ x(t) = 2 \sin(at + b) \] Tại thời điểm \( t = 4 \) (s), quãng đường di chuyển của con lắc là \( \sqrt{2} \) cm và vận tốc của con lắc là \( -0,6 \) cm/s. Bước 1: Xác định vận tốc và gia tốc của con lắc. - Vận tốc \( v(t) \) của con lắc là đạo hàm của \( x(t) \): \[ v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = 2a \cos(at + b) \] - Gia tốc \( a(t) \) của con lắc là đạo hàm của \( v(t) \): \[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = -2a^2 \sin(at + b) \] Bước 2: Thay \( t = 4 \) vào phương trình chuyển động và phương trình vận tốc. - Phương trình chuyển động tại \( t = 4 \): \[ x(4) = 2 \sin(4a + b) = \sqrt{2} \] - Phương trình vận tốc tại \( t = 4 \): \[ v(4) = 2a \cos(4a + b) = -0,6 \] Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm \( a \) và \( b \). - Từ phương trình \( x(4) = \sqrt{2} \): \[ 2 \sin(4a + b) = \sqrt{2} \] \[ \sin(4a + b) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ 4a + b = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{với } k \in \mathbb{Z} \] - Từ phương trình \( v(4) = -0,6 \): \[ 2a \cos(4a + b) = -0,6 \] \[ \cos(4a + b) = -\frac{0,6}{2a} \] \[ \cos(4a + b) = -\frac{0,3}{a} \] Bước 4: Kết hợp hai phương trình trên để tìm \( a \) và \( b \). - Ta có: \[ \sin(4a + b) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \cos(4a + b) = -\frac{0,3}{a} \] - Sử dụng công thức Pythagoras: \[ \sin^2(4a + b) + \cos^2(4a + b) = 1 \] \[ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{0,3}{a}\right)^2 = 1 \] \[ \frac{1}{2} + \frac{0,09}{a^2} = 1 \] \[ \frac{0,09}{a^2} = \frac{1}{2} \] \[ a^2 = 0,18 \] \[ a = \sqrt{0,18} \approx 0,424 \] Bước 5: Tìm gia tốc của con lắc tại thời điểm \( t = 4 \) (s). - Gia tốc \( a(t) \) tại \( t = 4 \): \[ a(4) = -2a^2 \sin(4a + b) \] \[ a(4) = -2 \times 0,18 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ a(4) = -0,18 \sqrt{2} \] \[ a(4) \approx -0,254 \] Vậy gia tốc của con lắc tại thời điểm \( t = 4 \) (s) là: \[ \boxed{-0,3} \]