Câu 8:
Để tính giá trị của , ta cần tìm góc giữa hai mặt phẳng và . Ta thực hiện theo các bước sau:
1. Tìm vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng:
- Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
- Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
2. Tính tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến:
3. Tính độ dài của mỗi vectơ pháp tuyến:
4. Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ:
Vậy giá trị của là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 9:
Phương trình của mặt cầu (S) là .
Ta nhận thấy rằng phương trình này có dạng chuẩn của phương trình mặt cầu , trong đó tâm của mặt cầu là và bán kính là .
So sánh phương trình đã cho với phương trình chuẩn, ta có:
- Tâm của mặt cầu là .
- Bán kính của mặt cầu là .
Do đó, tâm và bán kính của mặt cầu (S) là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 10:
Để tính xác suất điều kiện , ta sử dụng công thức xác suất điều kiện:
Trong đó, là xác suất của cả hai biến cố A và B xảy ra cùng một lúc.
Vì A và B là hai biến cố độc lập, nên ta có:
Thay các giá trị đã cho vào công thức trên:
Tính toán:
Bây giờ, ta thay và vào công thức xác suất điều kiện:
Tính toán:
Vậy, .
Do đó, đáp án đúng là:
D. 0,1997.
Câu 11:
Để tìm xác suất điều kiện , ta sử dụng công thức xác suất điều kiện:
Trong đó:
- là xác suất của cả hai biến cố A và B xảy ra cùng lúc.
- là xác suất của biến cố B.
Theo đề bài, ta có:
-
-
-
Áp dụng công thức xác suất điều kiện:
Vậy xác suất là .
Đáp án đúng là: .
Câu 12:
Để xác định mệnh đề đúng trong các lựa chọn đã cho, chúng ta cần tính tích phân của hàm .
Tích phân của là:
Trong đó, là hằng số tích phân.
Do đó, mệnh đề đúng là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 1:
a) Ta tính khoảng cách từ điểm đến điểm :
Vì , nên điểm thuộc vùng phủ sóng của thiết bị.
b) Tập hợp tất cả các điểm thuộc vùng phủ sóng của thiết bị được giới hạn bởi mặt cầu có tâm tại và bán kính bằng 4. Phương trình của mặt cầu này là:
c) Để kiểm tra xem mặt phẳng có chắn được sóng của thiết bị hay không, ta cần kiểm tra khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được tính bằng công thức:
Áp dụng vào bài toán:
Vì , nên mặt phẳng chắn được sóng của thiết bị.
d) Vùng nhận được tín hiệu trên mặt phẳng là hình tròn có bán kính bằng 4. Tuy nhiên, do mặt phẳng chắn được sóng của thiết bị, nên vùng nhận được tín hiệu trên mặt phẳng sẽ là hình tròn có bán kính nhỏ hơn 4. Cụ thể, bán kính của hình tròn này sẽ là:
Đáp số:
a) Điểm thuộc vùng phủ sóng.
b) Tập hợp tất cả các điểm thuộc vùng phủ sóng của thiết bị được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình .
c) Mặt phẳng chắn được sóng của thiết bị.
d) Vùng nhận được tín hiệu trên mặt phẳng là hình tròn có bán kính .
Câu 2:
a) Một vectơ chỉ phương của d là
Đúng vì theo phương trình tham số của đường thẳng d, ta thấy rằng vectơ chỉ phương của d là
b) Điểm thuộc đường thẳng d.
Để kiểm tra điểm có thuộc đường thẳng d hay không, ta thay tọa độ của điểm A vào phương trình tham số của d:
- Với , ta có .
- Với , ta có .
- Với , ta có (sai).
Vậy điểm không thuộc đường thẳng d.
c) Hai đường thẳng d, d' cắt nhau.
Để kiểm tra hai đường thẳng d và d' có cắt nhau hay không, ta cần tìm giao điểm của chúng. Ta viết lại phương trình của d' dưới dạng tham số:
Bây giờ, ta giả sử hai đường thẳng cắt nhau tại điểm . Điều này có nghĩa là tồn tại các giá trị và sao cho:
Giải hệ phương trình này:
- Từ phương trình thứ nhất: .
- Từ phương trình thứ hai: (đồng nhất với phương trình thứ nhất).
- Thay vào phương trình thứ ba: .
- Thay vào : .
Vậy, hai đường thẳng d và d' cắt nhau tại điểm .
d) Đường thẳng d' đi qua A, cắt và vuông góc với d tại .
Để kiểm tra đường thẳng d' có đi qua điểm A hay không, ta thay tọa độ của điểm A vào phương trình tham số của d':
- Với , ta có .
- Với , ta có .
- Với , ta có (đúng).
Vậy điểm thuộc đường thẳng d'.
Tiếp theo, ta kiểm tra xem đường thẳng d' có vuông góc với d tại điểm H hay không. Vectơ chỉ phương của d là và vectơ chỉ phương của d' là . Ta tính tích vô hướng của hai vectơ này:
Vì tích vô hướng bằng 0, nên hai vectơ và vuông góc với nhau. Do đó, đường thẳng d' vuông góc với d tại điểm H.
Kết luận:
a) Đúng.
b) Sai.
c) Đúng.
d) Đúng.
Câu 3:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm bán kính của mặt cầu (S):
- Mặt cầu (S) có tâm tại điểm và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn (C) có diện tích là .
2. Diện tích của đường tròn (C):
- Diện tích của đường tròn (C) là .
- Công thức diện tích của đường tròn là , do đó:
Vậy bán kính của đường tròn (C) là 5.
3. Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P):
- Mặt phẳng (P) có phương trình .
- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P) được tính bằng công thức:
Với , , , , và :
4. Tính bán kính của mặt cầu (S):
- Bán kính của mặt cầu (S) là .
- Theo định lý Pythagoras trong hình học không gian, ta có:
Với và :
5. Phương trình của mặt cầu (S):
- Mặt cầu (S) có tâm và bán kính , nên phương trình của mặt cầu là:
Kết luận:
- Phương trình của mặt cầu (S) là .
Đáp số: .