Giải chính sác

Câu 1. Để tính tích phân $\int^e_1\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right) dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tích phân từng phần. \[ \int^e_1 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) dx = \int^e_1 \frac{1}{x} dx + \int^e_1 \frac{1}{x^2} dx \] Bước 2: Tính từng tích phân riêng lẻ. \[ \int^e_1 \frac{1}{x} dx = \left[ \ln |x| \right]^e_1 = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1 \] \[ \int^e_1 \frac{1}{x^2} dx = \int^e_1 x^{-2} dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]^e_1 = -\frac{1}{e} - (-1) = 1 - \frac{1}{e} \] Bước 3: Cộng các kết quả lại. \[ \int^e_1 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) dx = 1 + \left( 1 - \frac{1}{e} \right) = 2 - \frac{1}{e} \] Bước 4: So sánh với dạng $a + \frac{b}{e}$ để tìm $a$ và $b$. \[ 2 - \frac{1}{e} = a + \frac{b}{e} \] Do đó, $a = 2$ và $b = -1$. Bước 5: Tính $a + b$. \[ a + b = 2 + (-1) = 1 \] Vậy, $a + b = 1$. Câu 2. Để tìm phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm \( M(2, -1, 0) \) và có cặp vectơ chỉ phương là \( \overrightarrow{a} = (2, 1, 3) \) và \( \overrightarrow{b} = (1, 1, 2) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} \) của mặt phẳng (P) có thể tìm bằng cách tính tích có hướng của hai vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{a} \) và \( \overrightarrow{b} \): \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \] Ta có: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 2 - 3 \cdot 1) - \mathbf{j}(2 \cdot 2 - 3 \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = \mathbf{i}(2 - 3) - \mathbf{j}(4 - 3) + \mathbf{k}(2 - 1) = -\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k} = (-1, -1, 1) \] 2. Viết phương trình mặt phẳng (P): Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \] Trong đó, \( (x_0, y_0, z_0) = (2, -1, 0) \) và \( (A, B, C) = (-1, -1, 1) \). Thay vào ta có: \[ -1(x - 2) - 1(y + 1) + 1(z - 0) = 0 \] \[ -x + 2 - y - 1 + z = 0 \] \[ -x - y + z + 1 = 0 \] Đổi về dạng \( Ax + By + Cz + D = 0 \): \[ -x - y + z + 1 = 0 \] Do đó, \( A = -1 \), \( B = -1 \), \( C = 1 \), và \( D = 1 \). 3. Tính \( 5A + B + C + 2D \): \[ 5A + B + C + 2D = 5(-1) + (-1) + 1 + 2(1) \] \[ = -5 - 1 + 1 + 2 \] \[ = -3 \] Vậy, \( 5A + B + C + 2D = -3 \). Câu 3. Để tính cosin của góc giữa hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng \( d_1 \) có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = t \\ y = 5 - 2t \\ z = 14 - 3t \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của \( d_1 \) là \( \vec{u}_1 = (1, -2, -3) \). - Đường thẳng \( d_2 \) có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 4t' \\ y = 2 + t' \\ z = -1 + 5t' \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của \( d_2 \) là \( \vec{u}_2 = (-4, 1, 5) \). 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương: \[ \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 1 \cdot (-4) + (-2) \cdot 1 + (-3) \cdot 5 = -4 - 2 - 15 = -21 \] 3. Tính độ dài của mỗi vectơ chỉ phương: \[ |\vec{u}_1| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \] \[ |\vec{u}_2| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 1 + 25} = \sqrt{42} \] 4. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{-21}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{42}} = \frac{-21}{\sqrt{588}} = \frac{-21}{2\sqrt{147}} = \frac{-21}{2 \cdot 7\sqrt{3}} = \frac{-21}{14\sqrt{3}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = \frac{-3\sqrt{3}}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] 5. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất: \[ \cos \theta \approx -0.866 \approx -0.9 \] Vậy cosin của góc giữa hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \) là \(\boxed{-0.9}\). Câu 4. Để giải bài toán xác suất này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định không gian mẫu: - Gọi T là trai, G là gái. - Các trường hợp có thể xảy ra là: (T, T), (T, G), (G, T), (G, G). 2. Điều kiện đã cho là có ít nhất 1 đứa trẻ là con gái. Do đó, chúng ta loại bỏ trường hợp (T, T) vì không có con gái nào trong trường hợp này. - Các trường hợp còn lại là: (T, G), (G, T), (G, G). 3. Số lượng các trường hợp có ít nhất 1 con gái là 3 trường hợp: (T, G), (G, T), (G, G). 4. Số lượng các trường hợp mà cả hai đứa trẻ đều là con gái là 1 trường hợp: (G, G). 5. Xác suất để cả hai đứa trẻ đều là con gái, cho biết có ít nhất 1 con gái, là: \[ P(\text{cả hai đều là gái}) = \frac{\text{số trường hợp cả hai đều là gái}}{\text{số trường hợp có ít nhất 1 gái}} = \frac{1}{3} \] 6. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất: \[ \frac{1}{3} \approx 0.3 \] Vậy xác suất để cả hai đứa trẻ đều là con gái là 0.3.