giuppppppppp

Câu 13. Số học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ là 12 học sinh. Số học sinh tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh là 25 học sinh. Số học sinh tham gia câu lạc bộ Nhảy là 16 học sinh. Số học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ là: \[ 25 + 16 - 12 = 29 \text{ học sinh} \] Số học sinh không tham gia bất kỳ câu lạc bộ nào là: \[ 45 - 29 = 16 \text{ học sinh} \] Tổng số học sinh là 45 học sinh. a) Xác suất để học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh là: \[ P(A) = \frac{25}{45} = \frac{5}{9} \] Khẳng định a) sai vì \( \frac{5}{9} \neq \frac{5}{10} \). b) Xác suất để học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Nhảy là: \[ P(B) = \frac{16}{45} \] Khẳng định b) sai vì \( \frac{16}{45} \neq \frac{7}{20} \). c) Xác suất để học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh biết rằng học sinh đó đã tham gia câu lạc bộ Nhảy là: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{12}{45}}{\frac{16}{45}} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0,75 \] Khẳng định c) đúng. d) Xác suất để học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Nhảy biết rằng học sinh đó đã tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh là: \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{12}{45}}{\frac{25}{45}} = \frac{12}{25} = 0,48 \] Khẳng định d) đúng. Đáp số: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng. Câu 14. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. a) Vectơ có tọa độ $(2;2;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P_1)$. Mặt phẳng $(P_1)$ có phương trình: \[ x - 2y - 2z - 7 = 0 \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P_1)$ là: \[ \overrightarrow{n}_1 = (1, -2, -2) \] Do đó, vectơ có tọa độ $(2;2;1)$ không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P_1)$. b) Vectơ có tọa độ $(1;-2;-2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P_2)$. Mặt phẳng $(P_2)$ có phương trình: \[ 2x + y + 2z - 1 = 0 \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P_2)$ là: \[ \overrightarrow{n}_2 = (2, 1, 2) \] Do đó, vectơ có tọa độ $(1;-2;-2)$ không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P_2)$. c) Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{n}_1 = (2, 1, 2)$ và $\overrightarrow{n}_2 = (1, -2, -2)$ bằng $\frac{4}{9}$. Công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u} = (u_1, u_2, u_3)$ và $\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, v_3)$ là: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{n}_1 \cdot \overrightarrow{n}_2 = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot (-2) = 2 - 2 - 4 = -4 \] Tính độ dài của các vectơ: \[ |\overrightarrow{n}_1| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] \[ |\overrightarrow{n}_2| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] Tính cosin của góc: \[ \cos(\theta) = \frac{-4}{3 \cdot 3} = \frac{-4}{9} \] Do đó, côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{n}_1$ và $\overrightarrow{n}_2$ là $\frac{-4}{9}$, không phải $\frac{4}{9}$. d) Góc giữa hai mặt phẳng $(P_1)$ và $(P_2)$ bằng $116^\circ$. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. Ta đã tính được: \[ \cos(\theta) = \frac{-4}{9} \] Tìm góc $\theta$: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-4}{9}\right) \approx 116^\circ \] Do đó, góc giữa hai mặt phẳng $(P_1)$ và $(P_2)$ là $116^\circ$. Câu 15. Để tìm quãng đường mà ô tô đi được kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng, ta cần tính tích phân của tốc độ theo thời gian. Bước 1: Xác định thời điểm ô tô dừng lại. - Ô tô dừng lại khi tốc độ \( v(t) = 0 \). - Ta có phương trình: \( 20 - 5t = 0 \). - Giải phương trình này: \[ 20 - 5t = 0 \] \[ 5t = 20 \] \[ t = 4 \text{ giây} \] Bước 2: Tính quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian từ 0 đến 4 giây. - Quãng đường \( s \) được tính bằng tích phân của tốc độ \( v(t) \) theo thời gian \( t \): \[ s = \int_{0}^{4} v(t) \, dt \] \[ s = \int_{0}^{4} (20 - 5t) \, dt \] Bước 3: Tính tích phân. \[ s = \left[ 20t - \frac{5t^2}{2} \right]_{0}^{4} \] \[ s = \left( 20 \cdot 4 - \frac{5 \cdot 4^2}{2} \right) - \left( 20 \cdot 0 - \frac{5 \cdot 0^2}{2} \right) \] \[ s = \left( 80 - \frac{5 \cdot 16}{2} \right) - 0 \] \[ s = 80 - 40 \] \[ s = 40 \text{ mét} \] Vậy, kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng, ô tô đi được quãng đường là 40 mét. Câu 16. Để tính góc giữa hai đường thẳng \( d \) và \( \Delta \) trong không gian, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng \( d \) có phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = -2 + t \\ z = 1 \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của \( d \) là \( \vec{u}_d = (1, 1, 0) \). - Đường thẳng \( \Delta \) có phương trình tham số: \[ \Delta: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 2s \\ y = -1 + 2s \\ z = 1 + s \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của \( \Delta \) là \( \vec{u}_\Delta = (2, 2, 1) \). 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương: \[ \vec{u}_d \cdot \vec{u}_\Delta = (1, 1, 0) \cdot (2, 2, 1) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 2 + 2 + 0 = 4 \] 3. Tính độ dài của mỗi vectơ chỉ phương: \[ |\vec{u}_d| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} \] \[ |\vec{u}_\Delta| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] 4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ chỉ phương: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u}_d \cdot \vec{u}_\Delta}{|\vec{u}_d| \cdot |\vec{u}_\Delta|} = \frac{4}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \] 5. Tính góc \( \theta \) giữa hai đường thẳng: \[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \right) \] 6. Làm tròn kết quả đến hàng phần chục: \[ \theta \approx 20.7^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng \( d \) và đường thẳng \( \Delta \) là \( 20.7^\circ \). Câu 17. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của hai parabol \( y = f(x) \) và \( y = g(x) \). 2. Tìm giao điểm của hai parabol để xác định khoảng tích phân. 3. Tính diện tích phần tô đậm bằng cách tính diện tích giữa hai parabol trong khoảng đã xác định. Bước 1: Xác định phương trình của hai parabol Từ Hình 2, ta thấy rằng: - Parabol \( y = f(x) \) có dạng \( y = -x^2 + 4 \). - Parabol \( y = g(x) \) có dạng \( y = x^2 - 4 \). Bước 2: Tìm giao điểm của hai parabol Để tìm giao điểm của hai parabol, ta giải phương trình: \[ -x^2 + 4 = x^2 - 4 \] Rearrange the equation: \[ -x^2 + 4 = x^2 - 4 \] \[ -x^2 - x^2 = -4 - 4 \] \[ -2x^2 = -8 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = \pm 2 \] Vậy hai giao điểm là \( x = -2 \) và \( x = 2 \). Bước 3: Tính diện tích phần tô đậm Diện tích phần tô đậm là diện tích giữa hai parabol từ \( x = -2 \) đến \( x = 2 \). Ta tính diện tích này bằng cách lấy tích phân của hiệu giữa hai hàm số từ \( x = -2 \) đến \( x = 2 \): \[ A = \int_{-2}^{2} [(-x^2 + 4) - (x^2 - 4)] \, dx \] \[ A = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4 - x^2 + 4) \, dx \] \[ A = \int_{-2}^{2} (-2x^2 + 8) \, dx \] Bây giờ, ta tính tích phân này: \[ A = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 8x \right]_{-2}^{2} \] Tính tại \( x = 2 \): \[ -\frac{2(2)^3}{3} + 8(2) = -\frac{16}{3} + 16 = \frac{-16 + 48}{3} = \frac{32}{3} \] Tính tại \( x = -2 \): \[ -\frac{2(-2)^3}{3} + 8(-2) = -\frac{-16}{3} - 16 = \frac{16 - 48}{3} = \frac{-32}{3} \] Diện tích tổng cộng: \[ A = \frac{32}{3} - \left( \frac{-32}{3} \right) = \frac{32}{3} + \frac{32}{3} = \frac{64}{3} \] Vậy diện tích phần tô đậm là: \[ \boxed{\frac{64}{3}} \]