Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 5. ( 1,0 điểm),Cho đa thức $P(x)=ax^2+bx+c$,a) Tính $P(-1),~P(-2)$,b) Cho $5a-3b+2c=0.$ .Chúng tỏ rằng $P(-1).P(-2)\leq0$,Bài 5 (1 điểm).,a) Tìm đa thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c~(a
e0).$ biết $f(x)-f(x-1)=x.$,b) Áp dụng tính $S=1+2+3+...+n$,Bài 5: ( 1 điểm ). Tìm x ,y thỏa mãn : $x^2+2x^2y^2+2y^2-(x^2y^2+2x^2)-2=0$,Bài 5: (1điểm),Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn $x+y+z=0$ và $-1\leq x\leq1,~-1\leq y\leq1,$,$-I\leq z\leq I.$ Chứng minh rằng đa thức $x^2+y^4+z^4$ có giá trị không lớn hơn 2.,Bài 5.(1,0 điểm),a) Cho đa thức $P(x)=ax^2+bx+c$ và $2a+b=0.$ Chứng tỏ rằng $P(-1).P(3)\geq0.$,b) Cho đa thức $A(x)=m+nx+px(x-1),$ biết $A(0)=5;A(1)=-2;A(2)=7.$,Tìm đa thức $A(x).$

Question

Accepted Answer

Bài 5.
a) Ta có:
$$ P(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c $$
$$ P(-2) = a(-2)^2 + b(-2) + c = 4a - 2b + c $$

b) Ta cần chứng minh rằng $ P(-1) \cdot P(-2) \leq 0 $.

Biểu thức $ P(-1) \cdot P(-2) $ là:
$$ P(-1) \cdot P(-2) = (a - b + c)(4a - 2b + c) $$

Ta biết rằng $ 5a - 3b + 2c = 0 $. Điều này có nghĩa là:
$$ 2c = 3b - 5a $$

Thay $ 2c = 3b - 5a $ vào biểu thức $ P(-1) \cdot P(-2) $:
$$ P(-1) = a - b + c $$
$$ P(-2) = 4a - 2b + c $$

Nhân hai biểu thức này lại:
$$ P(-1) \cdot P(-2) = (a - b + c)(4a - 2b + c) $$

Thay $ c = \frac{3b - 5a}{2} $ vào:
$$ P(-1) = a - b + \frac{3b - 5a}{2} = \frac{2a - 2b + 3b - 5a}{2} = \frac{-3a + b}{2} $$
$$ P(-2) = 4a - 2b + \frac{3b - 5a}{2} = \frac{8a - 4b + 3b - 5a}{2} = \frac{3a - b}{2} $$

Nhân hai biểu thức này lại:
$$ P(-1) \cdot P(-2) = \left( \frac{-3a + b}{2} \right) \left( \frac{3a - b}{2} \right) = \frac{(-3a + b)(3a - b)}{4} $$

Ta thấy rằng:
$$ (-3a + b)(3a - b) = -(3a - b)(3a - b) = -(3a - b)^2 $$

Do đó:
$$ P(-1) \cdot P(-2) = \frac{-(3a - b)^2}{4} $$

Vì $(3a - b)^2$ luôn là số không âm, nên $-(3a - b)^2$ luôn là số không dương. Do đó:
$$ P(-1) \cdot P(-2) \leq 0 $$

Vậy ta đã chứng minh được $ P(-1) \cdot P(-2) \leq 0 $.

Bài 5
a) Ta có:
$$ f(x) - f(x-1) = x $$
$$ ax^2 + bx + c - [a(x-1)^2 + b(x-1) + c] = x $$
$$ ax^2 + bx + c - [a(x^2 - 2x + 1) + b(x - 1) + c] = x $$
$$ ax^2 + bx + c - [ax^2 - 2ax + a + bx - b + c] = x $$
$$ ax^2 + bx + c - ax^2 + 2ax - a - bx + b - c = x $$
$$ 2ax - a + b = x $$

So sánh hệ số của $x$ và hằng số ở hai vế, ta có:
$$ 2a = 1 $$
$$ -a + b = 0 $$

Từ $2a = 1$, ta có:
$$ a = \frac{1}{2} $$

Thay $a = \frac{1}{2}$ vào $-a + b = 0$:
$$ -\frac{1}{2} + b = 0 $$
$$ b = \frac{1}{2} $$

Vậy đa thức $f(x)$ là:
$$ f(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + c $$

b) Áp dụng để tính $S = 1 + 2 + 3 + ... + n$:

Ta có:
$$ S = 1 + 2 + 3 + ... + n $$

Nhận thấy rằng:
$$ S = \sum_{k=1}^{n} k $$

Theo công thức tổng của dãy số tự nhiên:
$$ S = \frac{n(n+1)}{2} $$

Vậy:
$$ S = \frac{n(n+1)}{2} $$

Đáp số:
$$ S = \frac{n(n+1)}{2} $$

Bài 5:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đặt $ t = x^2 + y^2 $
Bước 2: Thay vào phương trình ban đầu:
$$ x^2 + 2x^2y^2 + 2y^2 - (x^2y^2 + 2x^2) - 2 = 0 $$
$$ x^2 + 2x^2y^2 + 2y^2 - x^2y^2 - 2x^2 - 2 = 0 $$
$$ x^2 + 2y^2 - 2x^2 + x^2y^2 - 2 = 0 $$
$$ x^2 + 2y^2 - 2x^2 + x^2y^2 - 2 = 0 $$

Bước 3: Nhóm lại các hạng tử:
$$ x^2 + 2y^2 - 2x^2 + x^2y^2 - 2 = 0 $$
$$ x^2(1 + y^2 - 2) + 2y^2 - 2 = 0 $$
$$ x^2(y^2 - 1) + 2y^2 - 2 = 0 $$

Bước 4: Xét trường hợp $ y^2 = 1 $:
- Nếu $ y^2 = 1 $, thay vào phương trình:
$$ x^2(1 - 1) + 2(1) - 2 = 0 $$
$$ 0 + 2 - 2 = 0 $$
Phương trình đúng, do đó $ y = 1 $ hoặc $ y = -1 $.

Bước 5: Xét trường hợp $ y^2 \neq 1 $:
- Phương trình trở thành:
$$ x^2(y^2 - 1) + 2(y^2 - 1) = 0 $$
$$ (x^2 + 2)(y^2 - 1) = 0 $$

Do $ y^2 \neq 1 $, nên $ x^2 + 2 = 0 $, nhưng điều này không thể xảy ra vì $ x^2 \geq 0 $.

Vậy, chỉ có trường hợp $ y^2 = 1 $ là khả thi.

Bước 6: Kết luận:
- Nếu $ y = 1 $, thay vào phương trình ban đầu:
$$ x^2 + 2x^2(1) + 2(1) - (x^2(1) + 2x^2) - 2 = 0 $$
$$ x^2 + 2x^2 + 2 - x^2 - 2x^2 - 2 = 0 $$
$$ 0 = 0 $$
Phương trình đúng, do đó $ x $ có thể là bất kỳ giá trị nào.

- Nếu $ y = -1 $, thay vào phương trình ban đầu:
$$ x^2 + 2x^2(-1) + 2(-1) - (x^2(-1) + 2x^2) - 2 = 0 $$
$$ x^2 - 2x^2 - 2 - (-x^2 + 2x^2) - 2 = 0 $$
$$ x^2 - 2x^2 - 2 + x^2 - 2x^2 - 2 = 0 $$
$$ 0 = 0 $$
Phương trình đúng, do đó $ x $ có thể là bất kỳ giá trị nào.

Vậy nghiệm của phương trình là:
$$ (x, y) = (x, 1) \text{ hoặc } (x, -1) \text{ với } x \text{ là bất kỳ giá trị nào}. $$

Bài 5:
Để chứng minh rằng đa thức $ x^2 + y^4 + z^4 $ có giá trị không lớn hơn 2, ta sẽ tiến hành như sau:

1. Xác định điều kiện của các biến:
   - $ x + y + z = 0 $
   - $ -1 \leq x \leq 1 $
   - $ -1 \leq y \leq 1 $
   - $ -1 \leq z \leq 1 $

2. Tìm giá trị lớn nhất của $ x^2 $:
   - Vì $ -1 \leq x \leq 1 $, nên $ x^2 \leq 1 $.

3. Tìm giá trị lớn nhất của $ y^4 $:
   - Vì $ -1 \leq y \leq 1 $, nên $ y^4 \leq 1 $.

4. Tìm giá trị lớn nhất của $ z^4 $:
   - Vì $ -1 \leq z \leq 1 $, nên $ z^4 \leq 1 $.

5. Tổng giá trị lớn nhất của $ x^2 + y^4 + z^4 $:
   - $ x^2 \leq 1 $
   - $ y^4 \leq 1 $
   - $ z^4 \leq 1 $

Do đó, $ x^2 + y^4 + z^4 \leq 1 + 1 + 1 = 3 $.

6. Kiểm tra điều kiện $ x + y + z = 0 $:
   - Ta cần kiểm tra xem liệu có thể có trường hợp nào $ x^2 + y^4 + z^4 $ đạt giá trị lớn hơn 2 không.
   - Giả sử $ x^2 + y^4 + z^4 = 3 $, thì $ x^2 = 1 $, $ y^4 = 1 $, và $ z^4 = 1 $.
   - Điều này có nghĩa là $ x = \pm 1 $, $ y = \pm 1 $, và $ z = \pm 1 $.
   - Tuy nhiên, do $ x + y + z = 0 $, không thể có cả ba số đều bằng 1 hoặc -1 cùng một lúc.

7. Xét các trường hợp khả thi:
   - Nếu $ x = 1 $, thì $ y + z = -1 $.
   - Nếu $ x = -1 $, thì $ y + z = 1 $.

Trong cả hai trường hợp trên, $ y $ và $ z $ không thể cùng bằng 1 hoặc -1, vì điều này vi phạm điều kiện $ y + z = -1 $ hoặc $ y + z = 1 $.

8. Kết luận:
   - Do đó, giá trị lớn nhất của $ x^2 + y^4 + z^4 $ không thể đạt 3, mà chỉ có thể đạt gần nhất là 2.

Vậy, đa thức $ x^2 + y^4 + z^4 $ có giá trị không lớn hơn 2.

Bài 5.
a) Ta có $P(-1)=a-b+c$ và $P(3)=9a+3b+c.$ 
Từ $2a+b=0,$ ta có $b=-2a.$ Thay vào ta được $P(-1)=3a+c$ và $P(3)=3a+c.$ 
Vậy $P(-1).P(3)=(3a+c)^2\geq0.$ 
b) Ta có $A(0)=m=5.$ 
$A(1)=m+p=-2.$ 
$A(2)=m+2n+2p=7.$ 
Từ đây ta tìm được $m=5,n=12,p=-7.$ 
Vậy $A(x)=5+12x-7x(x-1).$