giuppppppppp

Câu 1. Để giải quyết các phần của bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về xác suất và tính chất của biến cố độc lập. a) Biến cố \(A_1\) "Người thứ nhất trúng tuyển" và biến cố \(A_2\) "Người thứ hai trúng tuyển" là hai biến cố độc lập. Điều này có nghĩa là xác suất của mỗi biến cố không phụ thuộc vào kết quả của biến cố kia. b) Xác suất của biến cố "Cả hai người trúng tuyển" là: \[ P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2) = 0,9 \times 0,8 = 0,72 \] c) Xác suất của biến cố "Người thứ nhất trúng tuyển, người thứ hai không trúng tuyển" là: \[ P(A_1 \cap \overline{A_2}) = P(A_1) \times P(\overline{A_2}) = 0,9 \times (1 - 0,8) = 0,9 \times 0,2 = 0,18 \] d) Xác suất của biến cố "Có ít nhất một người trúng tuyển" là: \[ P(A_1 \cup A_2) = 1 - P(\overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = 1 - P(\overline{A_1}) \times P(\overline{A_2}) = 1 - (1 - 0,9) \times (1 - 0,8) = 1 - 0,1 \times 0,2 = 1 - 0,02 = 0,98 \] Đáp số: a) \(A_1\) và \(A_2\) là hai biến cố độc lập. b) Xác suất biến cố "Cả hai người trúng tuyển" là 0,72. c) Xác suất biến cố "Người thứ nhất trúng tuyển, người thứ hai không trúng tuyển" là 0,18. d) Xác suất biến cố "Có ít nhất một người trúng tuyển" là 0,98. Câu 2. Đầu tiên, ta cần tìm đạo hàm của hàm số $y = x^2 - 2x^2 + x - 1$. Hàm số đã cho là: \[ y = -x^2 + x - 1 \] Ta tính đạo hàm của hàm số này: \[ y' = (-x^2)' + (x)' - (1)' \] \[ y' = -2x + 1 \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi: a) Đạo hàm của hàm số là: \[ y' = -2x + 1 \] b) Phương trình $y' = 0$: \[ -2x + 1 = 0 \] \[ -2x = -1 \] \[ x = \frac{1}{2} \] c) Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x_1 = 1$: \[ y'(1) = -2(1) + 1 = -2 + 1 = -1 \] d) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm $M(2;1)$: - Ta cần kiểm tra xem điểm $M(2;1)$ có thuộc đồ thị (C) hay không: \[ y = -(2)^2 + 2 - 1 = -4 + 2 - 1 = -3 \] Như vậy, điểm $M(2;1)$ không thuộc đồ thị (C). Do đó, ta thấy rằng: - Đạo hàm của hàm số là $y' = -2x + 1$. - Phương trình $y' = 0$ có nghiệm là $x = \frac{1}{2}$. - Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x_1 = 1$ là $-1$. - Điểm $M(2;1)$ không thuộc đồ thị (C), nên không thể có tiếp tuyến tại điểm này. Kết luận: - Đáp án đúng là: a) $y' = -2x + 1$, b) $x = \frac{1}{2}$, c) Hệ số góc là $-1$, d) Điểm $M(2;1)$ không thuộc đồ thị (C). Câu 1. Giả sử người đó gửi số tiền ban đầu là 100 đơn vị tiền tệ. Lãi suất là 6% mỗi năm, tức là mỗi năm số tiền tăng thêm 6% so với số tiền hiện tại. Sau 1 năm, số tiền sẽ là: \[ 100 + 100 \times 0.06 = 100 \times 1.06 \] Sau 2 năm, số tiền sẽ là: \[ 100 \times 1.06 + 100 \times 1.06 \times 0.06 = 100 \times 1.06^2 \] Sau n năm, số tiền sẽ là: \[ 100 \times 1.06^n \] Ta cần tìm số năm n sao cho số tiền gấp đôi số tiền ban đầu, tức là: \[ 100 \times 1.06^n = 200 \] \[ 1.06^n = 2 \] Bây giờ, ta sẽ thử các giá trị của n để tìm giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên. - Sau 10 năm: \[ 1.06^{10} \approx 1.7908 \] (không đủ) - Sau 11 năm: \[ 1.06^{11} \approx 1.9112 \] (không đủ) - Sau 12 năm: \[ 1.06^{12} \approx 2.0122 \] (đủ) Như vậy, sau ít nhất 12 năm, số tiền sẽ gấp đôi số tiền ban đầu. Đáp số: 12 năm. Câu 2. Để tính xác suất chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn Bóng đá hoặc Bóng bàn, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm số học sinh thích ít nhất một trong hai môn Bóng đá hoặc Bóng bàn: - Số học sinh thích môn Bóng đá là 19. - Số học sinh thích môn Bóng bàn là 17. - Số học sinh thích cả hai môn là 15. Áp dụng công thức tính số phần tử của tập hợp hợp: \[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \] Trong đó: - \( |A| \) là số học sinh thích môn Bóng đá. - \( |B| \) là số học sinh thích môn Bóng bàn. - \( |A \cap B| \) là số học sinh thích cả hai môn. Thay các giá trị vào công thức: \[ |A \cup B| = 19 + 17 - 15 = 21 \] Vậy, có 21 học sinh thích ít nhất một trong hai môn Bóng đá hoặc Bóng bàn. 2. Tính xác suất: - Tổng số học sinh trong lớp là 30. - Số học sinh thích ít nhất một trong hai môn là 21. Xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn Bóng đá hoặc Bóng bàn là: \[ P = \frac{\text{số học sinh thích ít nhất một trong hai môn}}{\text{tổng số học sinh}} = \frac{21}{30} = \frac{7}{10} \] Vậy xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn Bóng đá hoặc Bóng bàn là $\frac{7}{10}$. Câu 3. Để xác định thời điểm mà tại đó vận tốc của vật bằng không, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc: Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \( t \) là đạo hàm của hàm vị trí \( s(t) \). \[ v(t) = s'(t) \] Ta tính đạo hàm của \( s(t) = -t^3 + 6t^2 + 15t \): \[ s'(t) = -3t^2 + 12t + 15 \] Vậy, công thức của vận tốc là: \[ v(t) = -3t^2 + 12t + 15 \] 2. Xác định thời điểm mà vận tốc bằng không: Ta cần giải phương trình \( v(t) = 0 \): \[ -3t^2 + 12t + 15 = 0 \] Chia cả hai vế cho -3 để đơn giản hóa phương trình: \[ t^2 - 4t - 5 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( at^2 + bt + c = 0 \): \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 1 \), \( b = -4 \), và \( c = -5 \): \[ t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ t_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5 \] \[ t_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1 \] 3. Lựa chọn nghiệm phù hợp: Vì thời gian \( t \) không thể là số âm, ta loại bỏ nghiệm \( t = -1 \). Do đó, thời điểm mà vận tốc của vật bằng không là: \[ t = 5 \text{ giây} \] Đáp số: Thời điểm mà vận tốc của vật bằng không là \( t = 5 \) giây. Câu 4. Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính thể tích khối chóp S.ABC: - Diện tích đáy $\Delta ABC$: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 \] - Thể tích khối chóp S.ABC: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times SA \times S_{ABC} = \frac{1}{3} \times 2 \times 2 = \frac{4}{3} \] 2. Tính diện tích tam giác SBC: - Ta có $SB = SC = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ - Diện tích tam giác SBC: \[ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times SB \times BC = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 2 = 2\sqrt{2} \] 3. Áp dụng công thức thể tích để tìm khoảng cách từ A đến (SBC): - Gọi khoảng cách từ A đến (SBC) là h. - Thể tích khối chóp S.ABC cũng có thể được tính qua diện tích tam giác SBC và khoảng cách từ A đến (SBC): \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{SBC} \times h \] - Thay các giá trị đã biết vào: \[ \frac{4}{3} = \frac{1}{3} \times 2\sqrt{2} \times h \] - Giải phương trình để tìm h: \[ \frac{4}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times h \implies 4 = 2\sqrt{2} \times h \implies h = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \] 4. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: - $\sqrt{2} \approx 1.41$ Vậy khoảng cách từ A đến (SBC) là $\boxed{1.41}$. Câu 1. Để tính xác suất trong một lần bắn nào đó có đúng một bạn bắn vào tâm, ta sẽ sử dụng công thức xác suất của sự kiện tổng hợp. Gọi: - \( A \) là sự kiện bạn An bắn vào tâm. - \( B \) là sự kiện bạn Bình bắn vào tâm. - \( \overline{A} \) là sự kiện bạn An không bắn vào tâm. - \( \overline{B} \) là sự kiện bạn Bình không bắn vào tâm. Ta biết: - \( P(A) = 0,7 \) - \( P(B) = 0,45 \) Từ đó suy ra: - \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,7 = 0,3 \) - \( P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,45 = 0,55 \) Sự kiện "đúng một bạn bắn vào tâm" có thể xảy ra theo hai trường hợp: 1. Bạn An bắn vào tâm và bạn Bình không bắn vào tâm. 2. Bạn An không bắn vào tâm và bạn Bình bắn vào tâm. Xác suất của mỗi trường hợp này là: 1. \( P(A \cap \overline{B}) = P(A) \times P(\overline{B}) = 0,7 \times 0,55 = 0,385 \) 2. \( P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \times P(B) = 0,3 \times 0,45 = 0,135 \) Vậy xác suất trong một lần bắn nào đó có đúng một bạn bắn vào tâm là: \[ P(\text{đúng một bạn bắn vào tâm}) = P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = 0,385 + 0,135 = 0,52 \] Đáp số: 0,52 Câu 2. Để tính đạo hàm của hàm số $y = f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$, ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số. Công thức đạo hàm của thương hai hàm số là: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: - \( u = 2x - 1 \) - \( v = x + 1 \) Bước 1: Tính đạo hàm của \( u \) và \( v \): \[ u' = (2x - 1)' = 2 \] \[ v' = (x + 1)' = 1 \] Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \left( \frac{2x - 1}{x + 1} \right)' = \frac{(2x - 1)'(x + 1) - (2x - 1)(x + 1)'}{(x + 1)^2} \] Bước 3: Thay \( u', v', u, v \) vào công thức: \[ y' = \frac{2(x + 1) - (2x - 1) \cdot 1}{(x + 1)^2} \] Bước 4: Thực hiện phép nhân và trừ: \[ y' = \frac{2x + 2 - 2x + 1}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{3}{(x + 1)^2} \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = \frac{2x - 1}{x + 1} \) là: \[ y' = \frac{3}{(x + 1)^2} \] Câu 3. Để kiểm tra chiếc lều của bạn Nam có đảm bảo tiêu chuẩn cho giấc ngủ hay không, chúng ta cần tính thể tích của chiếc lều và so sánh nó với tiêu chuẩn tối thiểu là 3 m³. Chiếc lều có dạng chóp tứ giác đều, nghĩa là đáy là hình vuông và các mặt bên là các tam giác đều. Chúng ta sẽ tính thể tích của chóp tứ giác đều theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{đáy} \times h \] Trong đó: - \( S_{đáy} \) là diện tích đáy (hình vuông) - \( h \) là chiều cao của chóp Bước 1: Tính diện tích đáy (hình vuông) Diện tích đáy \( S_{đáy} \) của hình vuông được tính bằng: \[ S_{đáy} = a^2 \] Trong đó \( a \) là độ dài cạnh của hình vuông. Từ hình vẽ, ta thấy cạnh đáy là 2 m. \[ S_{đáy} = 2^2 = 4 \text{ m}^2 \] Bước 2: Tính chiều cao của chóp Chiều cao của chóp \( h \) là khoảng cách từ đỉnh chóp thẳng đứng xuống tâm của đáy. Từ hình vẽ, ta thấy chiều cao của chóp là 1,5 m. Bước 3: Tính thể tích của chóp Thể tích \( V \) của chóp được tính bằng: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{đáy} \times h \] \[ V = \frac{1}{3} \times 4 \times 1,5 \] \[ V = \frac{1}{3} \times 6 \] \[ V = 2 \text{ m}^3 \] Bước 4: So sánh thể tích với tiêu chuẩn Tiêu chuẩn tối thiểu cho không khí bên trong lều là 3 m³. Thể tích của chiếc lều bạn Nam làm được là 2 m³. Vì 2 m³ < 3 m³, nên chiếc lều của bạn Nam không đảm bảo tiêu chuẩn cho giấc ngủ. Đáp số: Chiếc lều của bạn Nam không đảm bảo tiêu chuẩn cho giấc ngủ vì thể tích của nó là 2 m³, nhỏ hơn tiêu chuẩn tối thiểu là 3 m³.