Giai bai tap

Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tính xác suất cho từng trường hợp theo yêu cầu của đề bài. a) Xác suất để cả hai động cơ đều hoạt động bình thường: - Xác suất để động cơ I hoạt động bình thường là 0,95. - Xác suất để động cơ II hoạt động bình thường là 1 - 0,1 = 0,9. - Vậy xác suất để cả hai động cơ đều hoạt động bình thường là: \[ P(\text{cả hai động cơ đều hoạt động bình thường}) = 0,95 \times 0,9 = 0,855 \] b) Xác suất để cả hai động cơ đều bị hỏng: - Xác suất để động cơ I bị hỏng là 1 - 0,95 = 0,05. - Xác suất để động cơ II bị hỏng là 0,1. - Vậy xác suất để cả hai động cơ đều bị hỏng là: \[ P(\text{cả hai động cơ đều bị hỏng}) = 0,05 \times 0,1 = 0,005 \] c) Xác suất để động cơ I hoạt động bình thường và động cơ II bị hỏng: - Xác suất để động cơ I hoạt động bình thường là 0,95. - Xác suất để động cơ II bị hỏng là 0,1. - Vậy xác suất để động cơ I hoạt động bình thường và động cơ II bị hỏng là: \[ P(\text{động cơ I hoạt động, động cơ II bị hỏng}) = 0,95 \times 0,1 = 0,095 \] d) Xác suất để ít nhất một động cơ hoạt động: - Xác suất để ít nhất một động cơ hoạt động là 1 trừ đi xác suất để cả hai động cơ đều bị hỏng. - Xác suất để cả hai động cơ đều bị hỏng đã tính ở phần b là 0,005. - Vậy xác suất để ít nhất một động cơ hoạt động là: \[ P(\text{ít nhất một động cơ hoạt động}) = 1 - 0,005 = 0,995 \] Tóm lại: a) Xác suất để cả hai động cơ đều hoạt động bình thường là 0,855. b) Xác suất để cả hai động cơ đều bị hỏng là 0,005. c) Xác suất để động cơ I hoạt động bình thường và động cơ II bị hỏng là 0,095. d) Xác suất để ít nhất một động cơ hoạt động là 0,995. Câu 2. Để giải quyết các câu hỏi về chuyển động của vật, chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp phân tích đạo hàm và tìm giá trị cực tiểu của hàm số. a) Tốc độ của vật tại thời điểm \( t = 2 \) Tốc độ của vật là đạo hàm của hàm vị trí \( s(t) \): \[ v(t) = s'(t) \] Tính đạo hàm của \( s(t) \): \[ s(t) = t^3 - 3t^2 + 7t - 2 \] \[ s'(t) = 3t^2 - 6t + 7 \] Thay \( t = 2 \) vào biểu thức đạo hàm: \[ v(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 7 = 3 \cdot 4 - 12 + 7 = 12 - 12 + 7 = 7 \] Vậy tốc độ của vật tại thời điểm \( t = 2 \) là \( 7 \, \text{m/s} \). b) Gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 2 \) Gia tốc của vật là đạo hàm của tốc độ \( v(t) \): \[ a(t) = v'(t) \] Tính đạo hàm của \( v(t) \): \[ v(t) = 3t^2 - 6t + 7 \] \[ v'(t) = 6t - 6 \] Thay \( t = 2 \) vào biểu thức đạo hàm: \[ a(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 \] Vậy gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 2 \) là \( 6 \, \text{m/s}^2 \). c) Gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng \( 16 \, \text{m/s} \) Ta cần tìm thời điểm \( t \) sao cho \( v(t) = 16 \): \[ 3t^2 - 6t + 7 = 16 \] \[ 3t^2 - 6t + 7 - 16 = 0 \] \[ 3t^2 - 6t - 9 = 0 \] \[ t^2 - 2t - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ t = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ t = \frac{2 \pm 4}{2} \] \[ t = 3 \quad \text{hoặc} \quad t = -1 \] Vì \( t > 0 \), ta chọn \( t = 3 \). Bây giờ, ta tính gia tốc tại thời điểm \( t = 3 \): \[ a(3) = 6(3) - 6 = 18 - 6 = 12 \] Vậy gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng \( 16 \, \text{m/s} \) là \( 12 \, \text{m/s}^2 \). d) Thời điểm \( t \) tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( v(t) \), ta cần tìm đạo hàm của \( v(t) \) và đặt nó bằng 0: \[ v(t) = 3t^2 - 6t + 7 \] \[ v'(t) = 6t - 6 \] Đặt \( v'(t) = 0 \): \[ 6t - 6 = 0 \] \[ 6t = 6 \] \[ t = 1 \] Kiểm tra tính chất của đạo hàm để xác định đây là giá trị nhỏ nhất: \[ v''(t) = 6 \] Vì \( v''(t) > 0 \), hàm số \( v(t) \) đạt giá trị nhỏ nhất tại \( t = 1 \). Vậy thời điểm \( t \) tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất là \( t = 1 \). Câu 1. Để giải bất phương trình $3^{2x+1} > \frac{1}{9}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại bất phương trình: Ta nhận thấy rằng $\frac{1}{9}$ có thể viết dưới dạng lũy thừa cơ số 3: \[ \frac{1}{9} = 3^{-2} \] Vậy bất phương trình trở thành: \[ 3^{2x+1} > 3^{-2} \] 2. So sánh các lũy thừa cùng cơ số: Vì cơ số 3 là số dương lớn hơn 1, nên ta có thể so sánh các mũ của chúng: \[ 2x + 1 > -2 \] 3. Giải bất phương trình tuyến tính: Ta giải bất phương trình $2x + 1 > -2$ như sau: \[ 2x + 1 > -2 \] \[ 2x > -2 - 1 \] \[ 2x > -3 \] \[ x > -\frac{3}{2} \] 4. Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình $3^{2x+1} > \frac{1}{9}$ là: \[ x > -\frac{3}{2} \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ \left( -\frac{3}{2}, +\infty \right) \] Câu 2. Để tính độ mở của màn hình máy tính, ta cần tìm số đo góc nhị diện giữa hai mặt phẳng chứa các tam giác ABC và ACD. Ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tam giác ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 30 cm và BC = 30√3 cm. 2. Tìm góc BAC bằng cách sử dụng định lý余弦定理来找到角BAC的度数。 根据余弦定理： \[ \cos(\angle BAC) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} \] 代入已知值： \[ \cos(\angle BAC) = \frac{30^2 + 30^2 - (30\sqrt{3})^2}{2 \cdot 30 \cdot 30} \] \[ \cos(\angle BAC) = \frac{900 + 900 - 2700}{1800} \] \[ \cos(\angle BAC) = \frac{-900}{1800} \] \[ \cos(\angle BAC) = -\frac{1}{2} \] 因此，角BAC的度数为： \[ \angle BAC = 120^\circ \] 所以，屏幕的打开角度是120度。 Câu 3. Để tính xác suất của biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Mai và Lan đứng ở đầu hàng", ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số cách xếp 7 bạn vào hàng ngang: - Số cách xếp 7 bạn vào hàng ngang là \(7!\). \[ 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \] 2. Tìm số cách xếp sao cho cả hai bạn Mai và Lan không đứng ở đầu hàng: - Đầu tiên, chọn 1 trong 5 bạn khác đứng ở vị trí đầu tiên (không phải Mai hoặc Lan). Có 5 cách chọn. - Sau đó, chọn 1 trong 5 bạn còn lại đứng ở vị trí cuối cùng (không phải Mai hoặc Lan). Có 5 cách chọn. - Cuối cùng, xếp 5 bạn còn lại vào 5 vị trí còn lại. Có \(5!\) cách xếp. \[ 5 \times 5 \times 5! = 5 \times 5 \times 120 = 3000 \] 3. Tìm số cách xếp sao cho có ít nhất một trong hai bạn Mai và Lan đứng ở đầu hàng: - Số cách này bằng tổng số cách xếp trừ đi số cách xếp mà cả hai bạn Mai và Lan không đứng ở đầu hàng. \[ 5040 - 3000 = 2040 \] 4. Tính xác suất của biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Mai và Lan đứng ở đầu hàng": - Xác suất là tỉ số giữa số cách xếp có ít nhất một trong hai bạn Mai và Lan đứng ở đầu hàng và tổng số cách xếp. \[ P = \frac{2040}{5040} \approx 0.40476 \] - Làm tròn đến hàng phần trăm: \[ P \approx 0.40 \] Vậy xác suất của biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Mai và Lan đứng ở đầu hàng" là 0.40. Câu 1 Để tính thể tích bê tông cần thiết để làm một viên gạch có dạng khối lăng trụ lục giác đều, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy của khối lăng trụ lục giác đều: - Diện tích đáy của một khối lăng trụ lục giác đều được tính bằng diện tích của một hình lục giác đều. - Công thức tính diện tích của một hình lục giác đều là: \[ S_{\text{lục giác}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \] trong đó \( a \) là độ dài cạnh của hình lục giác đều. - Thay \( a = 21,5 \) cm vào công thức: \[ S_{\text{lục giác}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times (21,5)^2 \] - Tính toán: \[ S_{\text{lục giác}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 462,25 = \frac{3 \times 1,732}{2} \times 462,25 = 2,598 \times 462,25 = 1200,075 \text{ cm}^2 \] 2. Tính thể tích của khối lăng trụ lục giác đều: - Thể tích của một khối lăng trụ được tính bằng diện tích đáy nhân với chiều cao. - Công thức tính thể tích là: \[ V = S_{\text{đáy}} \times h \] trong đó \( h \) là chiều cao của khối lăng trụ. - Thay \( S_{\text{đáy}} = 1200,075 \text{ cm}^2 \) và \( h = 4 \text{ cm} \) vào công thức: \[ V = 1200,075 \times 4 = 4800,3 \text{ cm}^3 \] 3. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười: - Kết quả đã tính toán là 4800,3 cm³, do đó không cần làm tròn thêm. Vậy, thể tích bê tông cần thiết để làm một viên gạch là 4800,3 cm³. Câu 2. Để tính xác suất của sự kiện "rút được thẻ mang số chia hết cho 2 hoặc 3", chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng số kết quả có thể xảy ra: - Hộp đựng 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. - Tổng số kết quả có thể xảy ra là 20. 2. Xác định số kết quả thuận lợi: - Tìm các số chia hết cho 2 trong khoảng từ 1 đến 20: Các số chia hết cho 2 là: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Số lượng các số này là 10. - Tìm các số chia hết cho 3 trong khoảng từ 1 đến 20: Các số chia hết cho 3 là: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Số lượng các số này là 6. - Tìm các số chia hết cho cả 2 và 3 (tức là chia hết cho 6): Các số chia hết cho 6 là: 6, 12, 18. Số lượng các số này là 3. - Áp dụng công thức bao lồi để tính số kết quả thuận lợi: Số kết quả thuận lợi = Số kết quả chia hết cho 2 + Số kết quả chia hết cho 3 - Số kết quả chia hết cho cả 2 và 3 Số kết quả thuận lợi = 10 + 6 - 3 = 13 3. Tính xác suất: - Xác suất của sự kiện "rút được thẻ mang số chia hết cho 2 hoặc 3" là: \[ P = \frac{\text{Số kết quả thuận lợi}}{\text{Tổng số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{13}{20} \] Vậy xác suất để rút được thẻ mang số chia hết cho 2 hoặc 3 là $\frac{13}{20}$. Câu 3. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x+1}{x-1}$ tại điểm $A(2;3)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{x+1}{x-1}$. \[ y' = \left(\frac{x+1}{x-1}\right)' = \frac{(x-1) - (x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2} \] Bước 2: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $x = 2$. \[ y'(2) = \frac{-2}{(2-1)^2} = \frac{-2}{1^2} = -2 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $A(2;3)$ là $a = -2$. Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $A(2;3)$. Phương trình tiếp tuyến có dạng: \[ y = y'(2)(x - 2) + 3 \] Thay $y'(2) = -2$ vào phương trình trên: \[ y = -2(x - 2) + 3 = -2x + 4 + 3 = -2x + 7 \] Vậy phương trình tiếp tuyến là $y = -2x + 7$. Từ đó suy ra $a = -2$ và $b = 7$. Bước 4: Tính $a + b$. \[ a + b = -2 + 7 = 5 \] Đáp số: $a + b = 5$.