Giải giúp mình với

Câu 1. a) Ta tính khoảng cách giữa hai điểm A và M: \[ AM = \sqrt{(4 - 1)^2 + (0 + 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29} \] Vì \(\sqrt{29} > 5\), nên điểm \(M\) không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị. b) Tập hợp tất cả các điểm thuộc vùng phủ sóng của thiết bị được giới hạn bởi mặt cầu có tâm tại \(A(1, -2, 3)\) và bán kính bằng 5. Phương trình của mặt cầu là: \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 25 \] c) Để kiểm tra xem tấm sắt có chắn được sóng của thiết bị hay không, ta cần xem xét khoảng cách từ tâm \(A\) đến mặt phẳng \((P): x + 2y + z = 0\). Khoảng cách từ điểm \(A(1, -2, 3)\) đến mặt phẳng \((P)\) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|1 + 2(-2) + 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|1 - 4 + 3|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{|0|}{\sqrt{6}} = 0 \] Vì khoảng cách này bằng 0, tức là tâm \(A\) nằm trên mặt phẳng \((P)\), do đó tấm sắt chắn được sóng của thiết bị. d) Để tìm vùng nhận được tín hiệu trên mặt phẳng \((Q): y = -2\), ta thay \(y = -2\) vào phương trình mặt cầu: \[ (x - 1)^2 + (-2 + 2)^2 + (z - 3)^2 = 25 \] \[ (x - 1)^2 + 0 + (z - 3)^2 = 25 \] \[ (x - 1)^2 + (z - 3)^2 = 25 \] Phương trình này biểu diễn một đường tròn trên mặt phẳng \(y = -2\) với tâm \((1, -2, 3)\) và bán kính bằng 5. Tuy nhiên, vì tâm của đường tròn này nằm trên mặt phẳng \(y = -2\), nên bán kính thực tế của đường tròn này là 5, không phải 4 như trong đề bài. Do đó, vùng nhận được tín hiệu trên mặt phẳng \((Q): y = -2\) là hình tròn có bán kính bằng 5. Kết luận: a) Điểm \(M(4, 0, 7)\) không thuộc vùng phủ sóng. b) Tập hợp tất cả các điểm thuộc vùng phủ sóng của thiết bị được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 25\). c) Tấm sắt chắn được sóng của thiết bị. d) Vùng nhận được tín hiệu trên mặt phẳng \((Q): y = -2\) là hình tròn có bán kính bằng 5. Câu 2. Để giải quyết các yêu cầu trên, chúng ta sẽ tính xác suất của các biến cố theo từng bước. Bước 1: Tính xác suất của biến cố A (P(A)) Biến cố A là "Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Toán". Số học sinh tham gia câu lạc bộ Toán là 28. Tổng số học sinh là 45. \[ P(A) = \frac{\text{số học sinh tham gia câu lạc bộ Toán}}{\text{tổng số học sinh}} = \frac{28}{45} \] Bước 2: Tính xác suất của biến cố B (P(B)) Biến cố B là "Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Vật lý". Số học sinh tham gia câu lạc bộ Vật lý là 20. Tổng số học sinh là 45. \[ P(B) = \frac{\text{số học sinh tham gia câu lạc bộ Vật lý}}{\text{tổng số học sinh}} = \frac{20}{45} \] Bước 3: Tính xác suất của biến cố A | B (P(A|B)) Biến cố A | B là "Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Toán biết rằng học sinh đó đã tham gia câu lạc bộ Vật lý". Số học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ Toán và Vật lý là 10. Số học sinh tham gia câu lạc bộ Vật lý là 20. \[ P(A|B) = \frac{\text{số học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ Toán và Vật lý}}{\text{số học sinh tham gia câu lạc bộ Vật lý}} = \frac{10}{20} = 0,5 \] Bước 4: Tính xác suất của biến cố B | A (P(B|A)) Biến cố B | A là "Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Vật lý biết rằng học sinh đó đã tham gia câu lạc bộ Toán". Số học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ Toán và Vật lý là 10. Số học sinh tham gia câu lạc bộ Toán là 28. \[ P(B|A) = \frac{\text{số học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ Toán và Vật lý}}{\text{số học sinh tham gia câu lạc bộ Toán}} = \frac{10}{28} \] Kết luận: - \( P(A) = \frac{28}{45} \) - \( P(B) = \frac{20}{45} \) - \( P(A|B) = 0,5 \) - \( P(B|A) = \frac{10}{28} \) Như vậy, các kết quả đã được tính toán và lập luận chi tiết như trên. Câu 1. Để tính góc giữa hai đường thẳng \( d \) và \( \Delta \) trong không gian, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng \( d \) có phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 3 - t \\ z = 2t \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của \( d \) là \( \vec{u} = (1, -1, 2) \). - Đường thẳng \( \Delta \) có phương trình tham số: \[ \Delta: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3s \\ y = -1 + s \\ z = 4 - s \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của \( \Delta \) là \( \vec{v} = (3, 1, -1) \). 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 3 - 1 - 2 = 0 \] 3. Tính độ dài của hai vectơ chỉ phương: \[ |\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ |\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11} \] 4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ chỉ phương: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{0}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{11}} = 0 \] 5. Xác định góc giữa hai đường thẳng: \[ \theta = \cos^{-1}(0) = 90^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng \( d \) và đường thẳng \( \Delta \) là \( 90^\circ \).