Toán lớp 11

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của lôgarit và phép nâng lên lũy thừa. Biểu thức đã cho là: \[ \log_a(a^3 \cdot \sqrt[4]{a}) + (\sqrt[3]{a})^{\log_a 8} \] Bước 1: Tính giá trị của \(\log_a(a^3 \cdot \sqrt[4]{a})\) Áp dụng tính chất lôgarit \(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\): \[ \log_a(a^3 \cdot \sqrt[4]{a}) = \log_a(a^3) + \log_a(\sqrt[4]{a}) \] Áp dụng tính chất lôgarit \(\log_a(a^x) = x\): \[ \log_a(a^3) = 3 \] \[ \log_a(\sqrt[4]{a}) = \log_a(a^{1/4}) = \frac{1}{4} \] Do đó: \[ \log_a(a^3 \cdot \sqrt[4]{a}) = 3 + \frac{1}{4} = \frac{12}{4} + \frac{1}{4} = \frac{13}{4} \] Bước 2: Tính giá trị của \((\sqrt[3]{a})^{\log_a 8}\) Áp dụng tính chất lôgarit \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\) và phép nâng lên lũy thừa: \[ (\sqrt[3]{a})^{\log_a 8} = (a^{1/3})^{\log_a 8} \] Áp dụng tính chất lũy thừa \((a^m)^n = a^{mn}\): \[ (a^{1/3})^{\log_a 8} = a^{(1/3) \cdot \log_a 8} \] Áp dụng tính chất lôgarit \(\log_a a^x = x\): \[ \log_a 8 = \log_a (2^3) = 3 \log_a 2 \] Do đó: \[ a^{(1/3) \cdot \log_a 8} = a^{(1/3) \cdot 3 \log_a 2} = a^{\log_a 2} = 2 \] Bước 3: Cộng hai kết quả lại \[ \log_a(a^3 \cdot \sqrt[4]{a}) + (\sqrt[3]{a})^{\log_a 8} = \frac{13}{4} + 2 = \frac{13}{4} + \frac{8}{4} = \frac{21}{4} \] Vậy giá trị của biểu thức là: \[ \boxed{\frac{21}{4}} \] Đáp án đúng là: C. \(\frac{21}{4}\). Câu 2. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = (x^2 - 1)^{-8} \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong ngoặc không bằng 0 vì nếu bằng 0 thì sẽ không thể lấy lũy thừa âm. Bước 1: Xác định điều kiện để biểu thức trong ngoặc không bằng 0: \[ x^2 - 1 \neq 0 \] Bước 2: Giải phương trình \( x^2 - 1 = 0 \): \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] Bước 3: Kết luận tập xác định: Hàm số \( y = (x^2 - 1)^{-8} \) sẽ không xác định tại \( x = 1 \) và \( x = -1 \). Do đó, tập xác định của hàm số là tất cả các số thực ngoại trừ \( x = 1 \) và \( x = -1 \). Vậy tập xác định \( D \) của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{ \pm 1 \} \] Đáp án đúng là: \( B.~D=\mathbb{R}\setminus\{\pm1\}. \) Câu 3. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = (x + 1)^{\frac{3}{4}} \), chúng ta cần đảm bảo rằng biểu thức bên trong dấu căn bậc bốn là dương hoặc bằng không vì căn bậc bốn chỉ xác định khi số dưới căn không âm. 1. Xét biểu thức \( x + 1 \): - Để \( (x + 1)^{\frac{3}{4}} \) xác định, ta cần \( x + 1 \geq 0 \). 2. Giải bất phương trình: \[ x + 1 \geq 0 \implies x \geq -1 \] 3. Kết luận tập xác định: - Tập xác định của hàm số là \( D = [-1; +\infty) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D = [-1; +\infty)} \] Câu 4. Để biểu thức $T = \log_2(x + 2) - \log_3(1 - x) + 2$ có nghĩa, ta cần đảm bảo rằng các biểu thức trong đó đều có nghĩa. 1. Biểu thức $\log_2(x + 2)$ có nghĩa khi: \[ x + 2 > 0 \] \[ x > -2 \] 2. Biểu thức $\log_3(1 - x)$ có nghĩa khi: \[ 1 - x > 0 \] \[ x < 1 \] Do đó, để biểu thức $T$ có nghĩa, ta cần cả hai điều kiện trên cùng thỏa mãn: \[ -2 < x < 1 \] Vậy, các giá trị thực của $x$ để biểu thức $T$ có nghĩa là: \[ \boxed{-2 < x < 1} \] Đáp án đúng là: C. $-2 < x < 1$. Câu 5. Để xác định các giá trị của \(a\), \(b\), và \(c\) trong đồ thị hàm số mũ \(y = a^x\), \(y = b^x\), và \(y = c^x\), chúng ta sẽ dựa vào các tính chất của hàm số mũ. 1. Tính chất của hàm số mũ: - Nếu \(a > 1\), hàm số \(y = a^x\) là hàm số đồng biến và đồ thị đi qua điểm (0,1). - Nếu \(0 < a < 1\), hàm số \(y = a^x\) là hàm số nghịch biến và đồ thị đi qua điểm (0,1). 2. Phân tích đồ thị: - Đồ thị của \(y = a^x\) nằm phía trên đồ thị của \(y = b^x\) và \(y = c^x\) khi \(x > 0\). Điều này cho thấy \(a > 1\). - Đồ thị của \(y = b^x\) nằm giữa đồ thị của \(y = a^x\) và \(y = c^x\) khi \(x > 0\). Điều này cho thấy \(b > 1\) nhưng \(b < a\). - Đồ thị của \(y = c^x\) nằm phía dưới đồ thị của \(y = a^x\) và \(y = b^x\) khi \(x > 0\). Điều này cho thấy \(c > 1\) nhưng \(c < b\). 3. Kết luận: - Từ các phân tích trên, ta có thể suy ra \(a > b > c > 1\). Do đó, khẳng định đúng là: \[ D.~c > b > a. \] Đáp án: \(D.~c > b > a.\) Câu 6. Để tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính thể tích khối chóp S.ABC: - Diện tích đáy ABC là tam giác đều cạnh a: \[ S_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] - Thể tích khối chóp S.ABC: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times SA \times S_{ABC} = \frac{1}{3} \times a\sqrt{2} \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{a^3 \sqrt{6}}{12} \] 2. Tính diện tích mặt phẳng (SBC): - Ta tính diện tích tam giác SBC. Trước hết, tính độ dài SB và SC: \[ SB = SC = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = a\sqrt{3} \] - Diện tích tam giác SBC: \[ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times BC \times \text{Chiều cao từ S xuống BC} \] Chiều cao từ S xuống BC là: \[ h_{SBC} = \sqrt{SB^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{3a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{12a^2 - a^2}{4}} = \sqrt{\frac{11a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{11}}{2} \] Vậy diện tích tam giác SBC là: \[ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{11}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{11}}{4} \] 3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC): - Gọi khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là d. Thể tích khối chóp S.ABC cũng có thể được tính qua diện tích đáy SBC và chiều cao hạ từ A xuống (SBC): \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{SBC} \times d \] Thay vào công thức: \[ \frac{a^3 \sqrt{6}}{12} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{11}}{4} \times d \] Giải phương trình này để tìm d: \[ \frac{a^3 \sqrt{6}}{12} = \frac{a^2 \sqrt{11}}{12} \times d \] \[ d = \frac{a^3 \sqrt{6}}{12} \times \frac{12}{a^2 \sqrt{11}} = \frac{a \sqrt{6}}{\sqrt{11}} = \frac{a \sqrt{66}}{11} \] Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là $\frac{a \sqrt{66}}{11}$. Đáp án đúng là: B. $\frac{a \sqrt{66}}{11}$. Câu 7 Để tìm giá trị lớn nhất của thể tích hình hộp ABCD-A'B'C'D', ta cần biết diện tích đáy ABCD và chiều cao AA'. 1. Diện tích đáy ABCD: - Vì đáy ABCD là hình chữ nhật, diện tích đáy \( S_{ABCD} \) sẽ là \( AB \times AD \). 2. Chiều cao AA': - Chiều cao AA' đã cho là \( 2a \). 3. Thể tích hình hộp: - Thể tích \( V \) của hình hộp được tính bằng công thức: \[ V = S_{ABCD} \times AA' \] - Thay vào, ta có: \[ V = (AB \times AD) \times 2a \] 4. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích: - Để thể tích lớn nhất, diện tích đáy \( S_{ABCD} \) cần lớn nhất. - Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật ABCD xảy ra khi nó là hình vuông, tức là \( AB = AD \). 5. Áp dụng điều kiện \( AC = 2a \): - \( AC \) là đường chéo của hình chữ nhật ABCD, do đó: \[ AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} \] - Khi \( AB = AD \), ta có: \[ 2a = \sqrt{AB^2 + AB^2} = \sqrt{2AB^2} = AB\sqrt{2} \] - Giải phương trình này để tìm \( AB \): \[ AB = \frac{2a}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2} \] 6. Diện tích đáy khi \( AB = AD = a\sqrt{2} \): - Diện tích đáy: \[ S_{ABCD} = AB \times AD = (a\sqrt{2}) \times (a\sqrt{2}) = 2a^2 \] 7. Thể tích lớn nhất: - Thay vào công thức thể tích: \[ V = 2a^2 \times 2a = 4a^3 \] Vậy giá trị lớn nhất của thể tích hình hộp ABCD-A'B'C'D' là \( 4a^3 \). Đáp án đúng là \( C.~4a^3 \). Câu 8. Để tính thể tích khối chóp \( B.CMND \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính thể tích khối chóp \( A.BCD \): - Tứ diện đều \( ABCD \) có cạnh bằng \( a \). - Diện tích đáy \( S_{BCD} \) của tam giác đều \( BCD \) là: \[ S_{BCD} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] - Chiều cao \( h_A \) từ đỉnh \( A \) hạ vuông góc xuống mặt phẳng \( (BCD) \) là: \[ h_A = \frac{a \sqrt{6}}{3} \] - Thể tích khối chóp \( A.BCD \) là: \[ V_{A.BCD} = \frac{1}{3} \times S_{BCD} \times h_A = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \times \frac{a \sqrt{6}}{3} = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} \] 2. Tính thể tích khối chóp \( A.MND \): - \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AC \) và \( AD \), do đó \( CM = \frac{a}{2} \) và \( DN = \frac{a}{2} \). - Diện tích đáy \( S_{MND} \) của tam giác đều \( MND \) là: \[ S_{MND} = \frac{\left(\frac{a}{2}\right)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{16} \] - Chiều cao \( h_A \) từ đỉnh \( A \) hạ vuông góc xuống mặt phẳng \( (MND) \) vẫn là: \[ h_A = \frac{a \sqrt{6}}{3} \] - Thể tích khối chóp \( A.MND \) là: \[ V_{A.MND} = \frac{1}{3} \times S_{MND} \times h_A = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{16} \times \frac{a \sqrt{6}}{3} = \frac{a^3 \sqrt{2}}{48} \] 3. Tính thể tích khối chóp \( B.CMND \): - Thể tích khối chóp \( B.CMND \) bằng thể tích khối chóp \( A.BCD \) trừ đi thể tích khối chóp \( A.MND \): \[ V_{B.CMND} = V_{A.BCD} - V_{A.MND} = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} - \frac{a^3 \sqrt{2}}{48} = \frac{4a^3 \sqrt{2}}{48} - \frac{a^3 \sqrt{2}}{48} = \frac{3a^3 \sqrt{2}}{48} = \frac{a^3 \sqrt{2}}{16} \] Vậy thể tích khối chóp \( B.CMND \) là \( \frac{a^3 \sqrt{2}}{16} \). Đáp án đúng là: \( B.~\frac{a^3 \sqrt{2}}{16} \). Câu 9. Để tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều ABC - A'B'C', ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy (tam giác đều ABC): - Tam giác đều có cạnh bằng 1. - Diện tích tam giác đều được tính theo công thức: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times AB^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \] 2. Tính chiều cao của lăng trụ: - Chiều cao của lăng trụ là khoảng cách giữa hai đáy, tức là AA' = 2. 3. Tính thể tích khối lăng trụ: - Thể tích khối lăng trụ được tính theo công thức: \[ V = S_{ABC} \times AA' \] - Thay các giá trị đã tính vào công thức: \[ V = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Vậy thể tích khối lăng trụ ABC - A'B'C' là $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Đáp án đúng là: $A.~\frac{\sqrt{3}}{2}$.