Cho hình chop SABC có tam giác SAB đều nằm trong mặt phảng vg góc với đáy tam giác ABC vg cân tại A , AB=6 H là trung điểm AB cm SH vg góc ABC AC vg góc SAB tính thể tích SABC d(AC,SB)

Trước tiên, ta sẽ chứng minh các tính chất đã cho: 1. Chứng minh SH vuông góc với ABC: - Vì tam giác SAB đều nên SH là đường cao hạ từ S xuống AB, do đó SH vuông góc với AB. - Mặt khác, vì tam giác ABC cân tại A và H là trung điểm của AB, nên AH vuông góc với BC. - Kết hợp hai điều trên, ta thấy SH vuông góc với cả AB và BC, do đó SH vuông góc với mặt phẳng ABC. 2. Chứng minh AC vuông góc với SAB: - Vì tam giác ABC cân tại A, nên AC vuông góc với AB. - Ta đã biết SH vuông góc với mặt phẳng ABC, do đó SH vuông góc với AC. - Kết hợp hai điều trên, ta thấy AC vuông góc với cả AB và SH, do đó AC vuông góc với mặt phẳng SAB. Bây giờ, ta tính thể tích của hình chóp SABC: - Diện tích đáy ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \] - Chiều cao SH của hình chóp: \[ SH = \frac{\sqrt{3}}{2} \times AB = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3} \] - Thể tích V của hình chóp SABC: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SH = \frac{1}{3} \times 18\sqrt{3} \times 3\sqrt{3} = \frac{1}{3} \times 18 \times 9 = 54 \] Cuối cùng, ta tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB: - Ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: \[ d(AC, SB) = \frac{|(\vec{AC} \times \vec{SB}) \cdot \vec{AB}|}{|\vec{AB}|} \] - Vector AC: \[ \vec{AC} = (0, 6\sqrt{3}, 0) \] - Vector SB: \[ \vec{SB} = (-3, 0, 3\sqrt{3}) \] - Tích vector AC và SB: \[ \vec{AC} \times \vec{SB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 6\sqrt{3} & 0 \\ -3 & 0 & 3\sqrt{3} \end{vmatrix} = (18, 0, 18\sqrt{3}) \] - Tích vô hướng của (AC × SB) và AB: \[ (\vec{AC} \times \vec{SB}) \cdot \vec{AB} = (18, 0, 18\sqrt{3}) \cdot (6, 0, 0) = 18 \times 6 = 108 \] - Độ dài vector AB: \[ |\vec{AB}| = 6 \] - Khoảng cách d: \[ d(AC, SB) = \frac{108}{6} = 18 \] Vậy, thể tích của hình chóp SABC là 54 và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB là 18.