cứu tôi với

Câu 14. a) Đạo hàm của hàm số là: \[ f'(x) = -\sin x + 2\cos 2x \] b) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $\frac{\pi}{4}$: \[ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sin \left(\frac{\pi}{4}\right) + 2\cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] c) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M(0;4)$: \[ f'(0) = -\sin 0 + 2\cos 0 = 0 + 2 \cdot 1 = 2 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(0, 4)$ là: \[ y - 4 = 2(x - 0) \Rightarrow y = 2x + 4 \] d) Phương trình $f'(x) = 0$: \[ -\sin x + 2\cos 2x = 0 \] \[ -\sin x + 2(1 - 2\sin^2 x) = 0 \] \[ -\sin x + 2 - 4\sin^2 x = 0 \] \[ 4\sin^2 x + \sin x - 2 = 0 \] Đặt $t = \sin x$, ta có phương trình: \[ 4t^2 + t - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{8} \] Do $|t| \leq 1$, ta có: \[ t_1 = \frac{-1 + \sqrt{33}}{8}, \quad t_2 = \frac{-1 - \sqrt{33}}{8} \] Trong khoảng $[0, 2\pi]$, mỗi giá trị của $t$ sẽ tương ứng với 2 giá trị của $x$. Do đó, phương trình $f'(x) = 0$ có 4 nghiệm phân biệt trong khoảng $[0, 2\pi]$. Đáp án đúng là: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng Tự luận: a) Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = -\sin x + 2\cos 2x$. b) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $\frac{\pi}{4}$ là $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. c) Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(0, 4)$ là $y = 2x + 4$. d) Phương trình $f'(x) = 0$ có 4 nghiệm phân biệt trong khoảng $[0, 2\pi]$. Câu 15. Trước tiên, ta cần vẽ sơ đồ minh họa để dễ dàng hiểu rõ hơn về bài toán. Gọi A là đỉnh của giá đỡ, B, C, D là các điểm tiếp xúc của ba chân giá đỡ với mặt đất. Ta có góc giữa hai chân là $30^0$, nghĩa là góc BAD = $30^0$. Ta sẽ tính chiều cao của giá đỡ từ đỉnh A xuống mặt đất, tức là chiều cao từ A đến đường thẳng đi qua B, C, D. 1. Xác định tam giác ABD: - Tam giác ABD là tam giác cân tại A, với góc BAD = $30^0$. - Do đó, góc ABD = góc ADB = $\frac{180^0 - 30^0}{2} = 75^0$. 2. Áp dụng công thức sin trong tam giác ABD: - Ta có: $\sin(75^0) = \frac{\text{chiều cao}}{AD}$. - Biết rằng AD = 130 cm, ta có thể tính chiều cao: \[ \text{Chiều cao} = 130 \times \sin(75^0) \] 3. Tính giá trị của $\sin(75^0)$: - $\sin(75^0) = \sin(45^0 + 30^0) = \sin(45^0)\cos(30^0) + \cos(45^0)\sin(30^0)$ - $\sin(45^0) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(30^0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(45^0) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(30^0) = \frac{1}{2}$ - Vậy $\sin(75^0) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 4. Thay vào công thức: \[ \text{Chiều cao} = 130 \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] \[ \text{Chiều cao} \approx 130 \times 0.9659 = 125.567 \text{ cm} \] 5. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: \[ \text{Chiều cao} \approx 126 \text{ cm} \] Vậy chiều cao của giá đỡ là 126 cm. Câu 16. Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần 1: Tính Thể tích Khối Lăng trụ ABC.A'B'C' Bước 1: Xác định các thông số của tam giác ABC - Tam giác ABC là tam giác vuông tại B. - AB = 3, AC = 5. - Áp dụng định lý Pythagoras để tính BC: \[ BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \] Bước 2: Tìm diện tích đáy ABC Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \] Bước 3: Xác định chiều cao của lăng trụ - Hình chiếu của A' xuống mặt phẳng (ABC) là trọng tâm G của tam giác ABC. - Trọng tâm G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1. - Chiều cao từ A' đến mặt phẳng (ABC) là khoảng cách từ A' đến G. Bước 4: Xác định góc nhị diện và chiều cao - Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng (A'CA) và (BCA) là 60°. - Chiều cao từ A' đến mặt phẳng (ABC) là khoảng cách từ A' đến G. Bước 5: Tính thể tích khối lăng trụ - Thể tích khối lăng trụ: \[ V = S_{ABC} \times h \] Trong đó, \( h \) là chiều cao của lăng trụ. Phần 2: Giải phương trình $f(1).f(2).f(3)...f(2025)=e^2$ Bước 1: Xác định hàm số f(x) \[ f(x) = e^{x^2 - 2} \] Bước 2: Tính tích các giá trị của hàm số \[ f(1) = e^{1^2 - 2} = e^{-1} \] \[ f(2) = e^{2^2 - 2} = e^{2} \] \[ f(3) = e^{3^2 - 2} = e^{7} \] ... \[ f(2025) = e^{2025^2 - 2} \] Tích các giá trị: \[ f(1) \cdot f(2) \cdot f(3) \cdots f(2025) = e^{-1 + 2 + 7 + ... + 2025^2 - 2} \] Bước 3: Tính tổng các số mũ \[ -1 + 2 + 7 + ... + 2025^2 - 2 \] Bước 4: Kết luận \[ e^{-1 + 2 + 7 + ... + 2025^2 - 2} = e^2 \] Phần 3: Tính $3n - 2m$ - Với \( n \) và \( m \) là các số tự nhiên và \( O \) là phân số tối giản. Tổng kết - Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là \( V = S_{ABC} \times h \). - Kết quả cuối cùng của \( 3n - 2m \) dựa trên các thông số đã cho. Đáp số: Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là \( V = 6h \). Câu 18. Giả sử anh Nam gửi số tiền T đồng vào ngân hàng với lãi suất 5,5% một năm. Mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Chúng ta cần tìm số năm ít nhất để tổng số tiền (bao gồm cả gốc và lãi) đủ để mua căn nhà có giá 2T đồng. Ta có công thức tính số tiền sau n năm khi lãi suất được nhập vào vốn: \[ A_n = T \times (1 + 0,055)^n \] Muốn số tiền này đủ để mua căn nhà có giá 2T đồng, ta cần: \[ T \times (1 + 0,055)^n \geq 2T \] \[ (1 + 0,055)^n \geq 2 \] \[ 1,055^n \geq 2 \] Bây giờ, ta sẽ tính giá trị của \( n \) bằng cách thử các giá trị liên tiếp cho đến khi thỏa mãn điều kiện trên. - Với \( n = 12 \): \[ 1,055^{12} \approx 1,901 \] (không thỏa mãn) - Với \( n = 13 \): \[ 1,055^{13} \approx 2,007 \] (thỏa mãn) Như vậy, sau ít nhất 13 năm, số tiền anh Nam thu được (bao gồm cả gốc và lãi) sẽ đủ để mua căn nhà có giá 2T đồng. Đáp số: 13 năm. Câu 19. Để tích số được ghi trên ba tấm thẻ là số chẵn, ta xét các trường hợp sau: 1. Chọn được thẻ mang số lẻ từ hộp A và hai thẻ mang số chẵn từ hộp B: - Số cách chọn thẻ lẻ từ hộp A: 3 cách (vì có 3 thẻ lẻ là 1, 3, 5) - Số cách chọn 2 thẻ chẵn từ hộp B: $\binom{3}{2} = 3$ cách (vì có 3 thẻ chẵn là 2, 4, 6) Tổng số cách chọn trong trường hợp này: \[ 3 \times 3 = 9 \text{ cách} \] 2. Chọn được thẻ mang số chẵn từ hộp A và bất kỳ hai thẻ nào từ hộp B: - Số cách chọn thẻ chẵn từ hộp A: 2 cách (vì có 2 thẻ chẵn là 2, 4) - Số cách chọn 2 thẻ từ hộp B: $\binom{6}{2} = 15$ cách Tổng số cách chọn trong trường hợp này: \[ 2 \times 15 = 30 \text{ cách} \] 3. Chọn được thẻ mang số lẻ từ hộp A và một thẻ mang số lẻ và một thẻ mang số chẵn từ hộp B: - Số cách chọn thẻ lẻ từ hộp A: 3 cách - Số cách chọn 1 thẻ lẻ và 1 thẻ chẵn từ hộp B: $3 \times 3 = 9$ cách (vì có 3 thẻ lẻ và 3 thẻ chẵn) Tổng số cách chọn trong trường hợp này: \[ 3 \times 9 = 27 \text{ cách} \] Tổng số cách chọn 3 tấm thẻ từ cả hai hộp: \[ \binom{5}{1} \times \binom{6}{2} = 5 \times 15 = 75 \text{ cách} \] Tổng số cách chọn sao cho tích số trên ba tấm thẻ là số chẵn: \[ 9 + 30 + 27 = 66 \text{ cách} \] Xác suất để tích số được ghi trên ba tấm thẻ là số chẵn: \[ P = \frac{66}{75} = \frac{22}{25} \] Đáp số: $\frac{22}{25}$ Câu 20. Đầu tiên, ta viết lại quy luật chuyển động của chất điểm: \[ s = -t^2 + 6t \] Bước 1: Tính vận tốc tức thời \( v(t) \) của chất điểm bằng cách đạo hàm \( s \) theo thời gian \( t \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt} (-t^2 + 6t) = -2t + 6 \] Bước 2: Tìm thời điểm \( t \) khi vận tốc \( v(t) \) đạt giá trị lớn nhất. Để làm điều này, ta tìm đạo hàm của \( v(t) \) và đặt nó bằng 0: \[ \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (-2t + 6) = -2 \] Do đạo hàm của \( v(t) \) là hằng số âm, \( v(t) \) là hàm giảm. Vì vậy, vận tốc lớn nhất sẽ xảy ra tại thời điểm ban đầu \( t = 0 \). Tuy nhiên, chúng ta cần tìm vận tốc lớn nhất trong khoảng thời gian từ giây thứ 3 trở đi. Bước 3: Xác định vận tốc tại thời điểm \( t = 3 \): \[ v(3) = -2(3) + 6 = -6 + 6 = 0 \] Bước 4: Xác định vận tốc tại thời điểm \( t = 4 \): \[ v(4) = -2(4) + 6 = -8 + 6 = -2 \] Vì vận tốc giảm dần theo thời gian, vận tốc lớn nhất trong khoảng thời gian từ giây thứ 3 trở đi là 0 m/s, xảy ra tại \( t = 3 \). Bước 5: Tính gia tốc tức thời \( a(t) \) của chất điểm bằng cách đạo hàm \( v(t) \) theo thời gian \( t \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = -2 \] Vậy gia tốc của chất điểm khi nó có vận tốc lớn nhất là: \[ a = -2 \, \text{m/s}^2 \] Đáp số: Gia tốc của chất điểm khi nó có vận tốc lớn nhất là \( -2 \, \text{m/s}^2 \). Câu 21. Trước tiên, ta cần hiểu rằng khi xếp các miếng bia carton để tạo thành hình lập phương, mỗi cạnh của lập phương sẽ có độ dài bằng độ dài của đoạn thẳng AB, tức là 2a. Bây giờ, ta sẽ tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB sau khi xếp. 1. Xác định vị trí của các điểm: - Điểm O là tâm của hình lập phương. - Đường thẳng AB nằm trên một mặt của hình lập phương. 2. Ta cần tìm khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng AB. Ta sẽ sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian. 3. Xác định tọa độ của các điểm: - Giả sử hình lập phương có tâm O tại (0, 0, 0). - Điểm A có thể ở vị trí (a, a, 0) và điểm B ở vị trí (a, -a, 0). 4. Vector OA và OB: - Vector OA = (a, a, 0) - (0, 0, 0) = (a, a, 0) - Vector OB = (a, -a, 0) - (0, 0, 0) = (a, -a, 0) 5. Vector AB: - Vector AB = (a, -a, 0) - (a, a, 0) = (0, -2a, 0) 6. Vector OA và OB tạo thành một tam giác vuông với đường thẳng AB. Ta cần tìm khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB. 7. Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: \[ d = \frac{|OA \times AB|}{|AB|} \] 8. Tính tích vector OA và AB: \[ OA \times AB = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a & a & 0 \\ 0 & -2a & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, -2a^2) \] 9. Độ dài của vector OA × AB: \[ |OA \times AB| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-2a^2)^2} = 2a^2 \] 10. Độ dài của vector AB: \[ |AB| = \sqrt{0^2 + (-2a)^2 + 0^2} = 2a \] 11. Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB: \[ d = \frac{2a^2}{2a} = a \] Vậy khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB sau khi xếp là \( a \).