giải bài tập trắc nghiệm toán

Câu 18. Để xác định điểm nào thuộc đường thẳng \(d\), ta cần kiểm tra tọa độ của mỗi điểm có thỏa mãn phương trình tham số của đường thẳng \(d\) hay không. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \[ \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = -1 - t \\ z = -3 + 2t \end{cases} \] Ta sẽ lần lượt kiểm tra từng điểm: 1. Kiểm tra điểm \(M(2; -1; -3)\): - Thay \(x = 2\), ta có \(2 = 2 + 3t \Rightarrow 3t = 0 \Rightarrow t = 0\) - Thay \(y = -1\), ta có \(-1 = -1 - t \Rightarrow t = 0\) - Thay \(z = -3\), ta có \(-3 = -3 + 2t \Rightarrow t = 0\) Tất cả các phương trình đều đúng khi \(t = 0\), vậy điểm \(M(2; -1; -3)\) thuộc đường thẳng \(d\). 2. Kiểm tra điểm \(N(-2; 1; 3)\): - Thay \(x = -2\), ta có \(-2 = 2 + 3t \Rightarrow 3t = -4 \Rightarrow t = -\frac{4}{3}\) - Thay \(y = 1\), ta có \(1 = -1 - t \Rightarrow t = -2\) - Thay \(z = 3\), ta có \(3 = -3 + 2t \Rightarrow 2t = 6 \Rightarrow t = 3\) Các giá trị của \(t\) không đồng nhất, vậy điểm \(N(-2; 1; 3)\) không thuộc đường thẳng \(d\). 3. Kiểm tra điểm \(P(5; -2; 1)\): - Thay \(x = 5\), ta có \(5 = 2 + 3t \Rightarrow 3t = 3 \Rightarrow t = 1\) - Thay \(y = -2\), ta có \(-2 = -1 - t \Rightarrow t = -1\) - Thay \(z = 1\), ta có \(1 = -3 + 2t \Rightarrow 2t = 4 \Rightarrow t = 2\) Các giá trị của \(t\) không đồng nhất, vậy điểm \(P(5; -2; 1)\) không thuộc đường thẳng \(d\). 4. Kiểm tra điểm \(Q(-1; 0; 5)\): - Thay \(x = -1\), ta có \(-1 = 2 + 3t \Rightarrow 3t = -3 \Rightarrow t = -1\) - Thay \(y = 0\), ta có \(0 = -1 - t \Rightarrow t = -1\) - Thay \(z = 5\), ta có \(5 = -3 + 2t \Rightarrow 2t = 8 \Rightarrow t = 4\) Các giá trị của \(t\) không đồng nhất, vậy điểm \(Q(-1; 0; 5)\) không thuộc đường thẳng \(d\). Kết luận: Điểm \(M(2; -1; -3)\) thuộc đường thẳng \(d\). Đáp án: \(A.~M(2; -1; -3)\). Câu 19. Để xác định tâm và bán kính của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2+4x-2y+2z-3=0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình dưới dạng tổng bình phương hoàn chỉnh: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến mỗi biến lại và thêm bớt các hằng số để hoàn chỉnh bình phương: \[ x^2 + 4x + y^2 - 2y + z^2 + 2z - 3 = 0 \] Ta thêm bớt các hằng số để hoàn chỉnh bình phương: \[ (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) + (z^2 + 2z + 1) - 4 - 1 - 1 - 3 = 0 \] Điều này dẫn đến: \[ (x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 1)^2 - 9 = 0 \] Hay: \[ (x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 1)^2 = 9 \] 2. Xác định tâm và bán kính: Phương trình trên có dạng chuẩn của mặt cầu $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $(a, b, c)$ và bán kính là $R$. So sánh với phương trình đã viết ở trên, ta thấy: \[ a = -2, \quad b = 1, \quad c = -1, \quad R^2 = 9 \Rightarrow R = 3 \] Do đó, tâm của mặt cầu là $I(-2, 1, -1)$ và bán kính là $R = 3$. Vậy đáp án đúng là: \[ B.~I(-2;1;-1),~R=3. \] Câu 20. Xác suất của biến cố B khi biến cố A xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A. Lập luận từng bước: - Biến cố A đã xảy ra, ta chỉ quan tâm đến xác suất của biến cố B trong trường hợp này. - Điều này được gọi là xác suất của B với điều kiện A. Do đó, đáp án đúng là: C. Xác suất của B với điều kiện A. Câu 21. Để xác định khẳng định đúng về xác suất điều kiện, ta cần hiểu rõ công thức xác suất điều kiện. Xác suất của biến cố \( A \) xảy ra khi biết biến cố \( B \) đã xảy ra được ký hiệu là \( P(A|B) \) và được tính theo công thức: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Tương tự, xác suất của biến cố \( B \) xảy ra khi biết biến cố \( A \) đã xảy ra được ký hiệu là \( P(B|A) \) và được tính theo công thức: \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: - Khẳng định A: \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) Đây là công thức đúng theo định nghĩa xác suất điều kiện. - Khẳng định B: \( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) Đây là công thức sai vì nó không tuân theo định nghĩa xác suất điều kiện của \( P(B|A) \). - Khẳng định C: \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \) Đây là công thức sai vì nó không tuân theo định nghĩa xác suất điều kiện của \( P(A|B) \). - Khẳng định D: \( P(B|A) = \frac{P(A)}{P(B)} \) Đây là công thức sai vì nó không tuân theo định nghĩa xác suất điều kiện của \( P(B|A) \). Do đó, khẳng định đúng là: \[ \boxed{A} \] Câu 22. Để tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6, biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm, ta làm như sau: 1. Xác định các trường hợp có thể xảy ra: - Con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm. - Con xúc xắc thứ hai có thể xuất hiện các mặt từ 1 đến 6 chấm. 2. Xác định các trường hợp thuận lợi: - Để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6, con xúc xắc thứ hai phải xuất hiện mặt 2 chấm (vì 4 + 2 = 6). 3. Tính xác suất: - Số trường hợp có thể xảy ra là 6 (vì con xúc xắc thứ hai có thể xuất hiện các mặt từ 1 đến 6 chấm). - Số trường hợp thuận lợi là 1 (vì chỉ có 1 trường hợp là con xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt 2 chấm). Vậy xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6 là: \[ P = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{số trường hợp có thể xảy ra}} = \frac{1}{6} \] Đáp án đúng là: $C.~\frac{1}{6}$. Câu 23. Để tìm $F(x)$, ta cần tính nguyên hàm của $f(x) = e^x + 2x$ và sau đó xác định hằng số tích phân sao cho $F(0) = \frac{3}{2}$. Bước 1: Tính nguyên hàm của $f(x)$: \[ F(x) = \int (e^x + 2x) \, dx \] Bước 2: Tính từng phần nguyên hàm: \[ \int e^x \, dx = e^x \] \[ \int 2x \, dx = x^2 \] Do đó: \[ F(x) = e^x + x^2 + C \] trong đó $C$ là hằng số tích phân. Bước 3: Xác định hằng số $C$ bằng cách sử dụng điều kiện $F(0) = \frac{3}{2}$: \[ F(0) = e^0 + 0^2 + C = 1 + C \] \[ 1 + C = \frac{3}{2} \] \[ C = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \] Bước 4: Thay $C$ vào biểu thức của $F(x)$: \[ F(x) = e^x + x^2 + \frac{1}{2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~F(x) = e^x + x^2 + \frac{1}{2} \] Câu 24. Để tìm $P(B|A)$, ta cần sử dụng công thức xác suất điều kiện và các thông tin đã cho. Công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Từ đây, ta có: \[ P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) \] Thay các giá trị đã cho vào: \[ P(A \cap B) = 0,25 \cdot 0,3 = 0,075 \] Tiếp theo, ta sử dụng công thức xác suất điều kiện để tìm $P(B|A)$: \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ P(B|A) = \frac{0,075}{0,4} = 0,1875 \] Vậy đáp án đúng là: A. 0,1875.